第1课时 单项式

第四章整式的加减4．1整式第1课时单项式教学目标课题4.1第1课时单项式授课人素养目标1.理解单项式的概念.2.能确定一个单项式的系数和次数. 3.会列单项式表示简单的数量关系，初步培养学生的抽象能力和应用意识. 教学重点列单项式表示数量关系，确定一个单项式的系数和次数.教学难点确定一个单项式的系数和次数.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新知【情境引入】代数式的类型多种多样，下面我们研究一类基本的代数式——整式.我们来看看本章引言中的问题（1）.汽车在主桥上行驶的平均速度为92km/h，根据路程、速度、时间之间的关系：路程＝速度×时间，汽车在主桥上行驶th的路程（单位：km）是92×t＝92t.今天我们先来研究92t这样的代数式，它是整式中的一种.【教学建议】可以先让学生说说所列代数式中包含哪种类型的运算.设计意图为单项式的引入做铺垫.活动二：交流讨论，探究新知探究点1单项式的概念（教材P89观察）我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式a2，0.9p，a2h.问题它们都是通过哪种运算得到的？这些代数式有什么共同特点？概念引入：上面的代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式.注意：单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，-6，x都是单项式.【对应训练】以下式子：①-b，②2m+5n，③5，④-3a3b，⑤，⑥.其中是单项式的是①③④⑤.（填序号）【教学建议】这里教师要注意强调单独一个数或一个字母的情况，还需关注学生能否从运算的角度分析式子的特征，发现它们表示的是“数与字母的乘积，或字母与字母的乘积”，对于字母的乘方，运用乘方的意义可以转化为几个相同字母的积.设计意图总结单项式的概念，强化符号意识.设计意图探究点2单项式的系数和次数Ⅰ.单项式的系数问题1上面探究点1中92t，a2，0.9p，eq\f(1,3)a2h都是数或字母的积，其中数也就是数字因数，指出92t，a2，0.9p，eq\f(1,3)a2h的数字因数分别是什么？分别是92，1，0.9，eq\f(1,3).【教学建议】强调单项式的系数包括它前面的符号，例如-7xy2的系数是-7，而不是7.引出单项式的次数的概念.教学步骤师生活动对于这些单项式中的数字因数，我们在数学中这么定义：单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.注意：①单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如92t.②单项式的系数是1或－1时，1通常省略不写，如a3，-x.问题2指出单项式a2的系数.它的系数是1.Ⅱ.单项式的次数问题1说一说单项式92t，a2，0.9p，a2h中，各个字母的指数是多少？对于每个单项式中各个字母的指数的和，我们在数学中这么定义：单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式.注意：对于一个非零的数，规定它的次数为0.问题2分别指出单项式92t，a2，0.9p，eq\f(1,3)a2h的次数，并说一说它们分别是几次单项式.问题3试指出单项式－6的次数.它的次数是0.【对应训练】教材P91练习第1题.【教学建议】强调单项式的次数是指式子中所有的字母的指数的和，而且仅仅与字母有关.例如52x3y4，它的次数是3＋4＝7，与5的指数无关.设计意图引出单项式的次数的概念.

教学步骤师生活动活动二：交流讨论，探究新知例（教材P90例1）用单项式填空，并指出它们的系数和次数.（1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为__________.（2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为xcm，ycm，zcm，则这个长方体包装盒的体积为__________cm3.（3）有理数n的相反数是.（4）《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票，邮票1套共5枚，价格为6元，其中一种版式为一张10枚（2套）（见教材P90例1图）.某中学举行冬奥会有奖问答活动，买了m张这种版式的邮票作为奖品，共花费元.（5）《中华人民共和国国旗法》规定，国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为3∶2，有五种通用尺度（即尺寸规格）.若一种尺度的国旗的长为acm，则这种尺度的国旗旗面的面积为cm2.解：（1）eq\f(1,2)ah，它的系数是eq\f(1,2)，次数是2.（2）xyz，它的系数是1，次数是3.（3）－n，它的系数是－1，次数是1.（4）12m，它的系数是12，次数是1.（5）eq\f(2,3)a2，它的系数是eq\f(2,3)，次数是2.【对应训练】教材P91练习第2题.【教学建议】第（1）（2）小题列式时可先让学生回顾下小学学过的面积、体积公式.第（3）小题理解相反数的含义就能做出来.第（4）（5）小题是实际问题，学生答题时可能会遇到障碍，教师应引导学生理解关键性语句.第（4）小题关键是要理解这种版式的邮票一张10枚（2套），那么价格是12元（2×6）；第（5）小题关键是要求出高，注意理解关键语句“长与高之比为3∶2”.设计意图练习用单项式表示数量关系，并巩固单项式的系数与次数的概念.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么样的代数式是单项式？2.单项式的系数和次数是怎样判断的？3.你能列单项式表示特定的数量关系吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P93习题4.1第1，2，5题．2.《创优作业》主体本部分相应课时训练．板书设计4.1整式第1课时单项式1.单项式的概念.2.单项式的系数和次数教学反思单项式是整式的起始课，在数与代数的教学转化过程中，要帮助学生建立数感和符号意识，发展运算能力，建立模型思想.概念教学由具体到抽象，要让学生自主体会，感悟概念的形成和发展过程.学生在思考、探究、理解和应用的“慢过程”中才能真正掌握概念并学以致用.解题大招一准确识别单项式的系数和次数(1)识别单项式的系数时，准确找出其中的数字因数即可，对于以下几种情况要特别注意：①分数系数：如的系数是eq\f(1,3)；②数字因数含负号：如－x2的系数是－1；③数字因数含π：如2πr的系数是2π.(2)判断单项式的次数时，将所有字母的指数相加即可.对于以下几种情况要特别注意：①数字因数是幂的形式时，不要把幂指数算进去：如53a2b4，它的次数是2＋4＝6；②数字因数含π时，不要把π的指数算进去：如单项式πr2h，计算它的次数时，只计算r与h的指数的和，即πr2h的次数为2＋1＝3.例1填表：单项式3a－eq\f(1,2)xy2zeq\f(1,6)πr2h－32xy32×103ab2c3系数3－eq\f(1,2)－eq\f(5,2)eq\f(1,6)π－322×103次数145346解题大招二根据单项式的次数求字母参数的值如果两个单项式的次数相同，则所有字母的指数的和相同，根据这个等量关系求字母参数的值.例题可扫描下面二维码下载获取.培优点单项式的系数和次数的规律探究综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.-37的相反数是(A.-73 B.37 C.73 D2.我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000m.将数字21500000用科学记数法表示为()A.2.15×107 B.0.215×108 C.2.15×106 D.21.5×1063.下面是从小明同学作业本摘抄的内容,请你找出其中正确的是()A.方程2x+13−10x+16=1,去分母,得2(2B.方程2x-8x=-12,6x=-12,x=-2C.方程2(x+3)-5(1-x)=3(x-1),去括号,得2x+3-5-5x=3x-3D.方程9x=-4,系数化为1,得x=-44.某个月的月历表如图所示,若从中取一个2×2方块,已知这个方块所围成的4个方格的日期之和为44,求这4个方格中的日期.若设左上角的日期为x,则下列方程正确的是()A.x+(x+1)+(x+7)+(x+14)=44 B.x+(x+1)+(x+6)+(x+12)=44C.x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=44 D.x+(x+1)+(x+6)+(x+7)=445.若A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,则2A-B=()A.3 B.6 C.4x2y+6 D.4x2y+36.已知∠α+∠β=90°,若∠α=35°40',则∠β的度数为()A.54°20' B.54°60' C.55°20' D.55°40'7.如图,点B在线段AC上,D是AC的中点.若AB=a,BC=b,则BD=()A.12b-12a B.12a-12b C.b-12a 8.观察下列按一定规律排列的单项式:-a,0,a2,0,-a3,0,a4,0,…,则第2025个单项式为()A.-a2025 B.0 C.-a1013 D.a10139.如图,线段AB=24cm,动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB运动,M为线段AP的中点,N为线段BP的中点.以下说法正确的是()①运动4s后,PB=2AM;②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变;③2BM-BP的值不变.A.①② B.③ C.①②③ D.②③10.已知∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,则∠MOD的度数是()A.20°或50° B.20°或60° C.30°或50° D.30°或60°二、填空题(将结果填在题中横线上)11.计算:(-2)÷(-5)×15=.12.当m的值为时,5x3-2x-1与4mx+3的和不含x的一次项.

13.在手工制作课上,老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七年级一班共有学生50人,每名学生每小时剪筒身40个或剪筒底120个.要求一个筒身配两个筒底,那么安排人剪筒身,才能使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套.

14.已知A,B,C三点在同一条直线上,若D,E分别为线段AB,BC的中点,且AB=80,BC=60,则线段DE的长为.

15.2024年元旦,小颖在一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品,如图所示.已知宣纸的长为108cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻两个字的字距相等,且边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2,则这张长方形宣纸的面积为cm2.

16.如图,已知O是直线AE上一点,OC是一条射线,OB平分∠AOC,OD在∠COE内,∠COD=2∠DOE.若∠BOD=110°,则∠DOE的度数为.

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.计算:(1)(+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4);(2)[12-(14−16(3)-1.53×0.75+0.53×34-3.4×0.7518.解下列方程:(1)4x+3=2(x-1)+1;(2)x-19.先化简,再求值:9x2-4(2x2-3xy+y2)+4y2,其中x=1,y=-1320.如图,M是线段AB的中点,N是线段BD的中点,AB=8cm,BN=3NC,CD=6cm,求线段MN的长.21.如图,A,B,C,D四点在同一条直线上,根据图形填空:(1)图中共有条线段;

(2)AD=++;

(3)AC+BD-=AD;

(4)若C是线段BD的中点,AD=12cm,AB=2BC,求线段AC的长.22.某班组织交通安全知识竞赛,共设有20道选择题,各题分值相同,每题必答.下表记录了其中5位参赛者的得分情况,根据表中信息回答下列问题:参赛者答对题数答错题数得分A200100B19194C18288D14664E101040(1)这次竞赛中答对一题得分,答错一题得分;

(2)若参赛者F共答对了m题,则他的得分是分;(用含m的式子表示)

(3)若参赛者G比参赛者H多答对2题,两人总得分为128分,求参赛者H答对了几道题?23.某服装批发商促销一种裤子和文化衫,在促销活动期间,裤子每条定价100元,文化衫每件定价50元,并向客户提供两种优惠方案.方案一:买一条裤子送一件文化衫;方案二:裤子和文化衫都按定价的80%付款.现某客户要购买30条裤子,x件(x>30)文化衫:(1)按方案一,购买裤子和文化衫共需付款(50x+1500)元;按方案二,购买裤子和文化衫共需付款元.(用含x的式子表示)

(2)计算一下,购买多少件文化衫时,两种优惠方案付款一样?(3)若两种优惠方案可同时使用,当x=40时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?若能,请直接写出该购买方案下共需付款的数目.24.现有一副三角尺AOB和COD按如图所示的方式放置,它们的直角顶点O重合,已知OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.(1)若∠BOC=30°,求∠BOE的度数;(2)若∠BOC=α°,求∠BOF的度数(用含α的式子表示);(3)在(2)的条件下,求∠EOF的度数,并说明∠EOF的度数是否随α的变化而变化.综合训练1.B2.A3.D4.C5.C解析:因为A=x2y+2x+3,B=-2x2y+4x,所以2A-B=2(x2y+2x+3)-(-2x2y+4x)=2x2y+4x+6+2x2y-4x=(2x2y+2x2y)+(4x-4x)+6=4x2y+6,故选C.6.A解析:因为∠α+∠β=90°,且∠α=35°40',所以∠β=90°-∠α=54°20'.7.A解析:因为AB=a,BC=b,所以AC=AB+BC=a+b.因为D是AC的中点,所以CD=12AC=12a+1因为BC=b,所以BD=BC-CD=b-12a+18.D解析:根据题意,知偶数位置对应的单项式均为0.奇数位置对应的单项式中,第1项,系数为-1,指数为1+12=1;第3项,系数为1,指数为1+32=2;第5项,系数为-1,指数为1+52=3;第7项,系数为1,指数为1+72=4;则第2025个单项式的系数为1,指数为1+20252=1故选D.9.D解析:运动4s后,AP=2×4=8(cm),PB=AB-AP=16(cm).因为M为线段AP的中点,所以AM=12AP=4所以4AM=PB,故①错误;设运动ts,则AP=2tcm,PB=24-2t(其中t大于或等于0,且t<12)cm,因为M为线段AP的中点,N为BP的中点,所以AM=PM=12AP=tcm,PN=BN=12PB=12-t所以PM+MN=PM+PM+PN=12+t(cm).所以PM+MN的值随着运动时间的改变而改变,故②正确;因为BM=AB-AM=24-t(cm),PB=24-2t(t大于或等于0,且t<12)(cm),所以2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24(cm),所以2BM-BP的值不变,故③正确.故选D.10.C解析:分为两种情况:如图1,当∠AOB在∠AOC内部时,图1因为∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,所以∠AOC=80°.因为OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°,∠AOM=∠COM=12∠AOC=所以∠MOD=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°.如图2,当∠AOB在∠AOC外部时,图2因为∠AOB=20°,∠AOC=4∠AOB,所以∠AOC=80°.因为OD平分∠AOB,OM平分∠AOC,所以∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°,∠AOM=∠COM=12∠AOC=所以∠MOD=∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°.综上所述,∠MOD的度数为30°或50°.11.225解析:原式=2×112.12解析:5x3-2x-1+4mx+3=5x3+(4m-2)x+2,由和不含x的一次项,知4m-2=0,解得m=113.30解析:设x人剪筒身,则(50-x)人剪筒底,根据每小时剪出的筒身与筒底恰好配套,列得方程2×40x=120(50-x),解得x=30.安排30人剪筒身,才能使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套.14.70或10解析:因为D是线段AB的中点,AB=80,所以AD=BD=12AB=40因为E是线段BC的中点,BC=60,所以BE=CE=12BC=30分两种情况讨论:如图1,当点C在线段AB的延长线上时,DE=BD+BE=70.图1如图2,当点C在线段AB上时,DE=BD-BE=10.图2故答案为70或10.15.3888解析:因为边空宽、字宽、字距之比为3∶6∶2,所以设边空宽为3xcm,则字宽、字距分别为6xcm,2xcm.因为宣纸的长为108cm,正方形格子的边长相等,正方形格子与纸边之间的边空宽相等,相邻两个字的字距相等,所以3x×2+6x×4+2x×3=108,解得x=3,所以宣纸的宽为3x×2+6x=12x=36(cm).所以这张长方形宣纸的面积为108×36=3888(cm2).16.40°解析:因为OB平分∠AOC,所以∠COB=12∠AOC因为∠COD=2∠DOE,所以∠COE=3∠DOE.因为∠AOC+∠COE=180°,所以∠AOC=180°-∠COE=180°-3∠DOE.所以∠COB=12(180°-3∠DOE)=90°-32∠因为∠BOD=110°,即∠COB+∠COD=110°,所以90°-32∠DOE+2∠DOE=110°所以∠DOE=40°.故答案为40°.17.解:(1)(+4.3)-(-4)+(-2.3)-(+4)=4.3+4-2.3-4=2.(2)12-14=12-14=12×(-12)-14×(-12)+16×=-6+3-2=-5.(3)-1.53×0.75+0.53×34-3.4×0.=34×(-1.53+0.53-3.=34×(-4.=-3.3.18.解:(1)去括号,得4x+3=2x-2+1.移项,得4x-2x=-2+1-3.合并同类项,得2x=-4.系数化为1,得x=-2.(2)去分母,得2(x-1)-(x+2)=3(4-x).去括号,得2x-2-x-2=12-3x.移项,得2x-x+3x=12+2+2.合并同类项,得4x=16.系数化为1,得x=4.19.解:9x2-4(2x2-3xy+y2)+4y2=9x2-8x2+12xy-4y2+4y2=x2+12xy,当x=1,y=-13时,原式=12+12×1×-1320.解:因为M是线段AB的中点,AB=8cm,所以MB=12AB=4cm因为N是线段BD的中点,所以BN=ND.因为BN=3NC,所以3NC=ND=NC+CD.所以CD=2NC.因为CD=6cm,所以NC=3cm.所以BN=9cm.所以MN=BM+BN=4+9=13(cm).21.解:(1)6(2)ABBCCD(3)BC(4)因为C是线