第一章 空间向量与立体几何 空间坐标法解决线面关系的证明（题型专练）（原卷版）高二数学人教A版选择性必修第一册

空间向量与立体几何空间坐标法解决线面关系的证明（题型专练）▌题型01空间坐标法证面面平行1.核心逻辑

两个平面平行两个平面的法向量互相平行，且两平面无公共部分、不重合。2.解题步骤

（1）建立坐标系，标注全部点坐标；

（2）分别在两个平面内取两组相交直线，求出平面法向量、平面法向量；

（3）证明存在实数，满足，两法向量坐标成比例；

（4）补充说明两平面不重合，证面面平行。3.易错提醒

求解平面法向量计算出错；无法区分平面重合、平面平行两种情况。【例3】（2026高二·全国·专题练习）如图，长方体中，，，(1)求证：平面平面;(2)线段上，是否存在点，使得平面.【变式3-1】（2026高二·海南海口·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，，，点在线段上，且，、、分别为，，的中点.

(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在一点？使得点到平面的距离为，若存在，请说明点的位置.【变式3-2】（2026高二·四川遂宁·阶段检测）已知正方体的棱长为4，，，，分别为，，，的中点.(1)求证：面面；(2)求面与面的距离；(3)求四棱锥的体积.【变式3-3】（2026高二·广西南宁·期中）正八面体由八个完全相同的面构成，每个面都是等边三角形，它可以看作是两个所有棱长相等且底面重合的正四棱锥拼接而成的.如图，多面体是一个正八面体，是该正八面体的中心.

(1)证明：平面平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.▌题型02空间坐标法证线面平行1.核心逻辑

直线与平面平行需同时满足：①直线方向向量与平面法向量垂直；②直线上任意一点不在平面内。2.解题步骤

（1）建系，写出各顶点坐标；

（2）求出直线的方向向量；

（3）在平面内取两组相交向量，解方程组求出平面法向量；

（4）计算数量积，证明方向向量垂直法向量；

（5）取直线上一点，验证该点坐标不满足平面方程，证得线面平行。3.易错提醒

仅证明，忽略直线在平面内的特殊情况。【例2】（2026高一·山东枣庄·期中）如图､在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点.(1)证明：平面.(2)求点到平面的距离.【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）如图，分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，.

(1)求证：平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心？【变式2-2】（2026高三·北京·专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【变式2-3】（2026高三·北京·专题练习）如图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．(1)设点是的中点，证明：平面；(2)求与平面所成的角的正弦值；题型03空间坐标法证四点共面1.核心逻辑

已知四点，若能证明一组对边方向向量平行（如），且两条平行线有公共平面，则四点共面；

原理：两条平行直线确定唯一一个平面，直线上所有点都在这个平面内。2.解题步骤

（1）建立空间直角坐标系，写出四个点坐标；

（2）选取一组对边，构造向量、；

（3）验证两向量坐标对应成比例，证明，即直线直线；

（4）两条平行直线确定一个平面，在直线上，在直线上；

（5）得出结论：四点共面。3.易错提醒

（1）选错向量，证明邻边平行，无法推出四点共面；

（2）只证向量平行，不说明是两组对边，推导逻辑不完整。【例1】（2026高二·浙江温州·期中）如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，.(1)用、、表示；(2)证明：、、、四点共面.【变式1-1】（2026高二·河北邢台·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，分别是棱的中点.

(1)求点的坐标.(2)证明：四点共面.(3)证明：平面.【变式1-2】（2026高三·河北承德·期末）在如图所示的多面体中，正方形与直角梯形所在的平面垂直，，.(1)证明：四点共面；(2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值．【变式1-3】（2026·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体.(1)证明：四点共面；(2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.▌题型04空间坐标法证线线垂直1.核心逻辑

两条直线垂直（相交/异面均可）两条直线的方向向量数量积等于0。2.解题步骤

（1）建立空间直角坐标系，写出直线端点坐标；

（2）求出两条直线对应的方向向量；

（3）对应坐标相乘再求和，计算数量积；

（4）若计算结果为0，直接得出两直线垂直。3.易错提醒

向量坐标抄写错误，导致数量积计算失误。【例4】（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，已知正三棱柱的底面边长为2，高为4，点满足，．(1)证明：；(2)求平面与平面夹角的余弦值．【变式4-1】（2026高二·上海·期中）如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面．(1)求证：．(2)求二面角的平面角的余弦值．(3)在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．【变式4-2】（2026·江西新余·模拟预测）在多面体ABCDE中，平面平面为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，M，N分别为AD，BE的中点.

(1)求证：；(2)求直线MN与平面ACE所成角的正弦值.【变式4-3】（2026高三·广西柳州·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，平面底面是的中点．(1)证明：．(2)求平面与平面夹角的余弦值．▌题型05空间坐标法证线面垂直1.核心逻辑

直线垂直平面有两种判定方式：

（1）直线方向向量与平面法向量互相平行；

（2）直线垂直平面内两条相交直线。2.解题步骤

（1）建系并写出所有点坐标；

（2）求直线方向向量、平面法向量；

（3）证明与坐标对应成比例（），即可证线面垂直。3.易错提醒

仅证明直线垂直平面内一条直线，缺少“两条相交直线”条件。【例5】（2026高二·浙江绍兴·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，．(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成二面角的正弦值．【变式5-1】（2026高二·江苏无锡·期中）如图，在平行六面体中，，，．

(1)求的长；(2)求证：直线平面．【变式5-2】（2026·天津）正方体的棱长为4，分别为中点，．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)求三棱锥的体积．【变式5-3】（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，为等边三角形，为的中点，且平面平面，.(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.▌题型06空间坐标法证面面垂直1.核心逻辑

两个平面垂直两个平面的法向量数量积等于0。2.解题步骤

（1）建立坐标系，标出全部关键点坐标；

（2）分别求出平面法向量，平面法向量；

（3）计算数量积；

（4）数量积计算结果为0，直接证明两个平面互相垂直。3.易错提醒

求平面法向量时方程组求解错误；混淆面面平行、面面垂直的向量判定条件。【例6】（2026高二·上海·随堂练习）如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：

(1)平面平面；(2)平面平面.【变式6-1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，正方体的棱长为，为线段上的动点，，分别是线段，上的点，且，为的中点.(1)求证：平面平面；(2)两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另外一条直线距离的最小值，求异面直线与之间的距离；(3)求异面直线与所成角的余弦值的最大