北师大版数学 第2章 有理数及其运算（拔高卷） 同步练习 含答案

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷第二章有理数及其运算（拔高卷）时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．−2025的倒数是（

）A．2025 B．−12025 C．120252．为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（

）A．70元 B．71元 C．72元 D．73元3．下列各对数中，数值相等的是（

）A．−32与−23 C．−32与−32 D．4．在某次例行体温检查中，检查人员将高出37°C的部分记作正数，将低于37°C的部分记作负数，体温正好是37°C时记作“0”．一名人员在一周内的体温测量结果（单位：°C）分别为+0.1，−0.3，−0.5，+0.1，+0.2，−0.6，A．37.1°C B．37.31°C C．36.69°C5．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（

）A．1+B．−C．1+D．4.5+6．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=ab−a；当a<b时，a⊕b=ab+a．按上述规定计算−2⊕−1A．−1 B．−2 C．−5 D．−47．计算3+3+⋯+3a个+A．3a+6b B．3a+6b C．a38．数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足a+b>0，a⋅c<0，则原点在（）A．点A左侧B．点A和点B之间（不含点A点B）C．点B和点C之间（不含点B点C）D．点C右侧9．在下面五个说法中正确的有（

）①互为相反数的两个数的绝对值相等②正数的绝对值等于它本身③一个数的相反数等于它本身，这个数是0④没有最大的整数⑤几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点A，其表示的数是−2．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在−2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（

）A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度11．如图所示，将−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则a−b+c的值为（

）4a2−113b5cA．−5 B．−4 C．0 D．512．第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为0112，1002，转化成十进制数分别为0112=0×2A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．某条河流的水位第一天上升了8cm，第二天下降了7cm，第三天又下降了9cm，第四天又上升了3cm．经测量得知此时的水位为62.6cm，则该河流的初始水位为cm．14．四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人．15．若a−2+b−3=0，则16．在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下尺．三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．计算：（12分）(1)−3+40+−32+−8；(3)(−2)3−13÷−1218．（10分）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了一道这样的题目：计算3924小瑞很快给出了他的解法：原式=−999小晨经过思考后也给出了他的解法：原式==39×−5+________=−195+________=________．(1)请补全小晨的解题过程．(2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？(3)用你认为最合适的方法计算：−9991719．（10分）已知一列数：−1，−−12，−−2，(1)将这一列数在数轴上分别表示出来；(2)用“＜”把这列数连起来；(3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______．20．（10分）学校为了迎接新同学，假期里开展了教室墙面的油漆工程，油漆工共做40工时，用了120升油漆，已知油漆每升128元，共粉刷75m2，在结算工钱时，有以下几种结算方案：方案一：按工时算，每5工时为200元；方案二：按油漆费用来算，油漆费用的10%为工钱；方案三：按粉刷面积来算，每521．（10分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示：(1)在数轴上分别用A，B两点表示−a，−b；(2)若数b与−b表示的点相距20个单位长度，则b与−b表示的数分别是什么？(3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与−a表示的数是多少？22．（10分）下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）星期一二三四五六七水位变化/米+0.21+0.81−0.35+0.03+0.28−0.36−0.01注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．(1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？(2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？23．（12分）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．(1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）：请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个）__________________________；__________________________；(2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（

）①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数

②只能计算出1，2，3，4，6③除5外的其它整数都能计算出

④除7和9外的其它整数都能计算出⑤以上选项均不正确24．（12分）阅读材料：求值：1+2+2解：设S=1+2+2将等式两边同时乘2，得2S=2+2②−①得，即S=1+2+请你仿照此法计算：(1)1+2+2(2)1+3+3(3)1+3+32+25．（12分）我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数x的点离原点（表示数0）的距离，x的绝对值表示为x，也可以写成x−0，比如2=2−0∣=2在数轴上表示两个数x，y的点之间的距离可以表示为x−y，比如，表示3的点与−1的点之间的距离表示为3−−1x+2+x−1可以表示点x与点1之间的距离跟点x与−2之间的距离的和，根据图示易知：当点x的位置在点A和点B之间（包含点A和点B）时，点x与点A的距离跟点x与点B的距离之和最小，且最小值为3，即x+2+x−1的最小值是3，且此时请根据以上阅读，解答下列问题：(1)表示3的点与−1的点之间的距离表示为__________；(2)x+2+x−1的最小值是__________，此时

2025-2026学年七年级上册数学单元检测卷第二章有理数及其运算（基础卷）时间：120分钟满分：120分一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.请从A、B、C、D四个选项中选出你认为的正确的选项）1．−2025的倒数是（

）A．2025 B．−12025 C．12025【答案】B【详解】解：−2025的倒数是−1故选：B．2．为了迎接体育节，温州市某小学买了8个足球和11个篮球共花费了1152元，如果买16个足球和6个篮球所花费的钱一样多，那么一个篮球的价格是（

）A．70元 B．71元 C．72元 D．73元【答案】C【详解】解：∵8个足球和11个篮球的花费与16个足球和6个篮球的花费一样多，∴8个足球的价格等于5个篮球的价格，∴一个篮球的价格为：1152÷5+11故选：C．3．下列各对数中，数值相等的是（

）A．−32与−23 C．−32与−32 D．【答案】B【详解】解：A.−32=−9B.−23=−8C.−32=−9D.−3×22=36与故选：B．4．在某次例行体温检查中，检查人员将高出37°C的部分记作正数，将低于37°C的部分记作负数，体温正好是37°C时记作“0”．一名人员在一周内的体温测量结果（单位：°C）分别为+0.1，−0.3，−0.5，+0.1，+0.2，−0.6，A．37.1°C B．37.31°C C．36.69°C【答案】D【详解】解：根据题意，检查人员将高出37°C的部分记作正数，将低于37°C的部分记作负数，体温正好是37°C这位人员在一周内的体温分别是37.1，36.7，36.5，37.1，37.2，36.4，36.6则该人员一周内体温测量结果的平均值为37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6÷7=36.8°故选：D．5．下列交换加数的位置的变形中，正确的是（

）A．1+B．−C．1+D．4.5+【答案】D【详解】解：A、1+−4B、−1C、1+−2D、4.5+−1.7故选：D．6．定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=ab−a；当a<b时，a⊕b=ab+a．按上述规定计算−2⊕−1A．−1 B．−2 C．−5 D．−4【答案】A【详解】解：∵当a≥b时，a⊕b=ab−a；当a<b时，a⊕b=ab+a，∴−2⊕故选：A．7．计算3+3+⋯+3a个+A．3a+6b B．3a+6b C．a3【答案】D【详解】解：3+3+⋯+3=3a+6故选：D．8．数轴上的三点A、B、C所表示的数分别为a、b、c且满足a+b>0，a⋅c<0，则原点在（）A．点A左侧B．点A和点B之间（不含点A点B）C．点B和点C之间（不含点B点C）D．点C右侧【答案】B【详解】解：由图可知，a<b<c，，∵a⋅c<0，∴a<0<c，∵a+b>0，∴a<0<b<c，∴原点在点A点B之间（不含点A点B）．故选B．9．在下面五个说法中正确的有（

）①互为相反数的两个数的绝对值相等②正数的绝对值等于它本身③一个数的相反数等于它本身，这个数是0④没有最大的整数⑤几个有理数相乘，如果负因数有奇数个，则积为负数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：互为相反数的两个数的绝对值相等，故①正确；正数的绝对值等于它本身，故②正确；一个数的相反数等于它本身，这个数是0，故③正确；没有最大的整数，故④正确；几个有理数相乘，如果有因数为0，则积为0，故⑤错误；即正确的有4个，故选：D10．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点A，其表示的数是−2．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点A正好落在−2的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应（

）A．向右移动2个单位长度 B．向左移动2个单位长度C．向右移动4个单位长度 D．向左移动4个单位长度【答案】C【详解】解：∵点A原本表示的数为−2，现在却落在−2的相反数即2处，∴这两个位置之间的距离为2−−2即点A错误位置与正确位置相差4个单位长度．由于是数轴的原点标错了位置才导致点A位置错误，而点A的坐标从−2变为2，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了4个单位长度，所以要想把数轴画正确，原点应向右移动4个单位长度．故选：C．11．如图所示，将−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a，b，c分别表示其中的一个数，则a−b+c的值为（

）4a2−113b5cA．−5 B．−4 C．0 D．5【答案】A【详解】解：由题意可得：a=−1+1+3−2−4=−3，b=−1+1+3−−1−4=0，∴a−b+c=−3−0+−2故选：A．12．第14届国际数学教育大会于2021年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办，大会标识以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原型，并将其与我国古老的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深．其中八卦符号可以用于记数，如图①，图②中八卦符号表示成二进制数为0112，1002，转化成十进制数分别为0112=0×2A． B． C． D．【答案】C根据十进制数换算成二进制数的方法计算即可．【详解】解：6÷2=3⋅⋅⋅03÷2=1⋅⋅⋅11÷2=0⋅⋅⋅1∴十进制数6换算成二进制数为110∴用八卦符号表示是：．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．某条河流的水位第一天上升了8cm，第二天下降了7cm，第三天又下降了9cm，第四天又上升了3cm．经测量得知此时的水位为62.6cm，则该河流的初始水位为cm．【答案】67.6本题考查了有理数加减混合运算的实际应用．正确的列出算式是解题的关键．【详解】解：该河流的初始水位为：62.6−3+9+7−8=67.6故答案为：67.6．14．四（1）班有46人，其中会弹钢琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有人．【答案】12【详解】解：∵四（1）班有46人，会弹钢琴的有30人，∴不会弹钢琴的有46−30=16（人），假设不会弹钢琴的这16人都会拉小提琴，则会弹钢琴的这30个人中会拉小提琴的有28−16=12（人），∴这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的至少有12（人）．故答案为：12．15．若a−2+b−3=0，则【答案】5【详解】解：∵a−2∴a−2=0，∴a=2，∴a+b=2+3=5．故答案为：516．在我国古代著名哲学著作《庄子•天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取一半，万世不竭．”这句话的大意是：“一尺长的木棒，第一天取一半，第二天取走剩下的一半，以后每天取走前一天所剩下的一半．这样下去，永远也取不尽．”按上面的取法，从星期一算起，到星期五，这根木棒还剩下尺．【答案】1【详解】解：第一天截取后剩余的长度为：1−1第二天截取后剩余的长度为：12第三天截取后剩余的长度为：12……第五天截取后剩余的长度为：12故答案为：1三、解答题（本大题共9小题，共98分，作答时需要写出必要的步骤或演绎过程）17．计算：（12分）(1)−3+40+(2)19(3)(−2)3(4)(−1)2021【答案】(1)−3；(2)−4；(3)18；(4)14．【详解】（1）解：(−3)+40+(−32)+(−8)=40+[(−3)+(−32)+(−8)]=40+(−43)=40−43=−3；（2）解：1==4−6−2=−4；（3）解：(−2)=−8−13×(−2)=−8+26=18；（4）解：(−1)=−1×3−(−8)+4÷=−3+8+4×=−3+8+9=14．18．（10分）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了一道这样的题目：计算3924小瑞很快给出了他的解法：原式=−999小晨经过思考后也给出了他的解法：原式==39×−5+________=−195+________=________．(1)请补全小晨的解题过程．(2)你还有不同于小瑞、小晨的解法吗？(3)用你认为最合适的方法计算：−99917【答案】(1)2425；−5；−24(2)有，见解析(3)−8999【小题1】解：原式==39×=−195+=−199故答案为：2425、−5

、−245

【小题2】解：有，可以这样计算：原式==40×=−200+=−199【小题3】解：−999==−1000×9+=−9000+=−899919．（10分）已知一列数：−1，−−12，−−2，(1)将这一列数在数轴上分别表示出来；(2)用“＜”把这列数连起来；(3)在数轴上找出互为相反数的一对数是：______．【答案】(1)见详解(2)−2(3)−−1【详解】（1）解：−−12=−1将−1，−−12，−−2，（2）解：依题意，−21（3）解：−−1观察数轴，−−12即互为相反数的一对数是−−1220．（10分）学校为了迎接新同学，假期里开展了教室墙面的油漆工程，油漆工共做40工时，用了120升油漆，已知油漆每升128元，共粉刷75m2，在结算工钱时，有以下几种结算方案：方案一：按工时算，每5工时为200元；方案二：按油漆费用来算，油漆费用的10%为工钱；方案三：按粉刷面积来算，每5【答案】第二种方案最省钱【详解】解：方案一：按工时算，工资为2005方案二：按油漆费用算，工资为120×128×10%方案三：按粉刷面积算，工资为1105因为1650>1600>1536，所以方案二最省钱．21．（10分）有理数a，b在数轴上的位置如图所示：(1)在数轴上分别用A，B两点表示−a，−b；(2)若数b与−b表示的点相距20个单位长度，则b与−b表示的数分别是什么？(3)在（2）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，则a与−a表示的数是多少？【答案】(1)见解析(2)b表示的数是−10，−b表示的数是10(3)a表示的数是5，则−a表示的数是−5【详解】（1）解：如图，（2）解：∵数b与−b表示的点相距20个单位长度，∴b和−b对应的点到原点的距离为10，∴b表示的数是−10，−b表示的数是10；（3）解：∵数a表示的点与数b表示的点相距15个单位，b表示的数是−10，∴a表示的数是5，则−a表示的数是−5．22．（10分）下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）星期一二三四五六七水位变化/米+0.21+0.81−0.35+0.03+0.28−0.36−0.01注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降．(1)本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？与警戒水位的距离分别是多少米？(2)与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？【答案】(1)本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上1.02米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上0.21米．(2)与上周相比，本周的水位上升了【详解】（1）解：（1）根据题意，设警戒水位为0，则：星期一为：+0.21米，星期二为：+0.21++0.81=+1.02米，星期三为：+1.02−0.35=+0.67米，星期四为：+0.67+0.03=+0.70米，星期五为：+0.70+0.28=+0.98米，星期六为：+0.98−0.36=+0.62米，星期日为：+0.62−0.01=+0.61米．∴本周星期二河流水位最高，位于警戒水位之上1.02米，星期一河流的水位最低，位于警戒水位之上0.21米．（2）根据题意，得：0.21+0.81−0.35+0.03+0.28−0.36−0.01=∵0.61>0，∴与上周相比，本周的水位上升了．23．（12分）“24点”游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．(1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）：请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个）__________________________；__________________________；(2)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是（

）①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数

②只能计算出1，2，3，4，6③除5外的其它整数都能计算出

④除7和9外的其它整数都能计算出⑤以上选项均不正确【答案】(1)4×12−8+2，8−4−2(2)①【详解】（