2026-2027学年云南省墨江第一中学高二上学期9月作业检测数学试卷（含解析）

/数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.已知，则的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.34.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.5.已知，，，则（）A. B.C. D.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则7.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（）A. B.事件与事件为对立事件C. D.事件与事件相互独立8.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.函数在上有3个零点二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B.数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6C.已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9D.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是2310.下列说法错误的是（）A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；B.直线与直线互相平行，则；C.过两点的所有直线的方程为；D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为．11.如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为C.直线平面D.二面角的大小为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量，若，则__________13.已知，，则______.14.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________．四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知的三个顶点分别为，求：（1）所在直线的方程；（2）过点与边平行的直线方程；（3）边的垂直平分线的方程．16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值．18.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数）（2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率．19.如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，分别是棱，，的中点，，.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离；

数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，得，所以，所以，，所以.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：根据复数的乘法和除法运算，结合复数的几何意义求解即可.解答过程：由，得，所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.3.已知，则的最大值为（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：思路：利用基本不等式可求最大值.解答过程：因为，要使根式有意义，则，所以，解得．又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为2．故选：C.4.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据单调性及奇偶性解不等式即可.解答过程：因为是偶函数，即关于轴对称，在上单调递减，又，即，所以，，解得，所以不等式的解集为.5.已知，，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：利用和作为中间量，比较的大小即可得解.解答过程：函数单调递增，又，所以，即；函数单调递减，又，所以，即；函数单调递增，又，所以，即，所以.6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则答案：C解析：解答过程：对于A，若，，则或与相交或与异面，故A错误；对于B，若，，则或与相交或，故B错误；对于C，因为，由线面平行的性质定理，内有直线，使，又，，则，又，则，C正确；对于D，若，，，则或与异面，故D错误.7.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件“朝上的面的点数为奇数”，事件“朝上的面的点数为或”，则下列说法正确的是（）A. B.事件与事件为对立事件C. D.事件与事件相互独立答案：D解析：思路：由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可.解答过程：由题可知，选项A：由题意知,根据古典概型概率公式，,A错误；选项B：因为,所以事件与事件不是对立事件，B错误；选项C：因为,所以，C错误;选项D：因为,所以，又因为，,显然成立，满足独立事件的条件，D正确.8.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.最小正周期为B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上单调递增D.函数在上有3个零点答案：C解析：思路：结合图象先求出函数解析式，即可判断A；再根据正弦函数的性质判断BCD即可.解答过程：由图可知，，，则，故A错误；又，则，所以，则，即，，又，所以，即，则，所以函数的图象不关于直线对称，故B错误；当时，，因为正弦函数在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故C正确；令，即，则，，即，，又，则或，所以函数在上有2个零点，故D错误.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B.数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6C.已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，9D.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23答案：ABD解析：思路：逐一计算各选项涉及的概率、极差、众数、方差及百分位数，验证每个选项的正误.解答过程：选项A：总体含50个个体，抽取容量为5的样本，个体被抽到的概率为，该选项正确.选项B：数据的极差为，众数为2，二者之和为，该选项正确.选项C：原数据极差为6，新数据的极差为；原数据方差为2，新数据方差为，该选项错误.选项D：将数据排序为，共8个数据，70百分位数的位置为，对应第6个数据23，该选项正确.故选：ABD10.下列说法错误的是（）A.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；B.直线与直线互相平行，则；C.过两点的所有直线的方程为；D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为．答案：ACD解析：思路：直接利用直线的垂直的充要条件和直线的倾斜角和斜率之间的关系，直线的两点式的使用条件和直线截距相等的直线方程的应用判定、、、的结论．解答过程：解：对于：当时，“直线与直线互相垂直”，当直线与直线互相垂直时，即解得或，故“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故错误．对于：直线与直线互相平行，所以解得或，经检验时平行，时重合；故正确；对于：过，，，（且，两点的所有直线的方程为，故错误．对于：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为：故①：经过原点的直线为，②设在坐标轴上的截距为，设直线方程为所以，解得，故，故错误．故选：．方法提示：本题考查的知识要点：直线的方程，直线垂直的充要条件，直线的倾斜角和斜率之间的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．11.如图，在棱长为1的正方体中，下列选项正确的是（）A.异面直线与所成的角为B.三棱锥的体积为C.直线平面D.二面角的大小为答案：BC解析：思路：对于A，利用线线角的定义及正方体的性质，结合等边三角形的性质即可求解；对于B，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于C，利用线面垂直的判定定理即可求解；对于D，根据已知条件及二面角的平面角的定义，结合锐角三角函数即可求解.解答过程：对于A，因为为正方体，所以,且，所以四边形为平行四边形，所以，且，所以异面直线与所成的角的大小即为与所成的角，故或其补角为所求.再由正方体的性质可得为等边三角形，故，即异面直线与所成的角为，故A错误；对于B，由题意可知，，故B正确；对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，所以，因为为正方体，所以四边形为正方形，即，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可证，又，平面，所以平面，故C正确；对于D，由正方体的性质可知，平面，平面，所以，因为为正方体，所以四边形为正方形，即，所以是二面角的平面角，因为为正方体，所以四边形为正方形，所以，即，所以二面角的大小为，故D错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知向量，若，则__________答案：解析：思路：由，构造方程，解方程求出x，有了的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出模．解答过程：由得：，解得，所以．方法提示：求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|=13.已知，，则______.答案：解析：思路：利用两角和差余弦公式将和分别展开，再将两式进行加和减，可求得和，两式相除即可求得结果.解答过程：…①，…②，①②得：，解得：；①②得：，解得：.故答案为.方法提示：本题考查两角和差余弦公式的应用，涉及到同角三角函数商数关系的应用，属于基础题.14.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________．答案：解析：解答过程：以为原点建立如图所示坐标系，则，设，则，则，由题意知，圆的半径为．因为点在弧（包括端点）上，所以，所以的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共77分）15.已知的三个顶点分别为，求：（1）所在直线的方程；（2）过点与边平行的直线方程；（3）边的垂直平分线的方程．答案：（1）；（2）；（3）.解析：思路：（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程；（2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程；（3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程.（1）如图，因为，所以直线的斜率为，由点斜式可得直线的方程为，即.（2）因为所求直线与直线平行，由（1）知可设所求直线方程为，又直线过点，所以将的坐标代入可得，解得，所以所求直线方程为.（3）因为，且其斜率都存在，所以，解得.又直线过线段的中点，由点斜式可得直线的方程为，即.16.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出；（2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长.（1）解：由及正弦定理得，∴，∵，∴，∵，∴.（2）解：由（1）及已知得，∴，由余弦定理知，∴，∴，∴△ABC的周长为.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值．答案：（1）（2），（3）时，有最小值，时，有最大值解析：思路：（1）将化简为正弦型函数后即可得；（2）借助正弦型函数单调性求法即可得；（3）结合定义域及正弦型函数图象性质即可得.（1），故；（2）由，令，，则，，故函数的单调递增区间为，；（3）当时，，则，即，即在区间上的最小值和最大值分别为、，当，即时，有最小值，当，即时，有最大值.18.学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）．（1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数）（2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分