2026-2027学年云南省昭通市第一中学高三上学期8月检测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则（）A.， B.，C.， D.，2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则的离心率为（）A. B. C. D.5.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.6.已知，则（）A. B. C. D.7.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.36种 B.72种 C.24种 D.240种8.已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知圆，则下列说法正确的有（）A.点在圆内B.直线截圆所得的弦长为C.圆与圆外离D.圆在点处的切线方程为10.已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（）A. B.当且仅当时，取最小值C.数列是等比数列 D.11.已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（）A.B.的周长小于36C.的三个顶点到轴的距离之和为9D.上一动点到直线的距离的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中的系数为_________．13.已知函数有零点，则的取值范围是_________．14.在平面直角坐标系中，若、，则称“”为、两点的“曼哈顿距离”，若动点到两定点、的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点为该“曼哈顿椭圆”上一点，则该“曼哈顿椭圆”的面积为_________．四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，的周长为12，求的面积．16.2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值以及第80百分位数；（2）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列、期望及方差．17.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）当且时，求平面与平面夹角的余弦值．18.著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为.（1）求椭圆C的标准方程.（2）设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ⅱ）求面积的最大值.19.已知函数，，．（1）若时，求在处的切线方程；（2）若时，证明：当时，；（3）已知数列满足，其前项和为，证明：对任意正整数，都有．

数学满分150分，考试用时120分钟．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，则（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：解答过程：由，得，因为，所以.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先根据集合中的元素求出集合,再利用交集定义求出结果.解答过程：将1，2，3，4，5分别代入得到,即,所以3.已知向量，满足，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题可知，所以.4.已知双曲线的渐近线与圆相切，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求出双曲线的渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径可求出双曲线的离心率的值.解答过程：双曲线的渐近线方程为，圆的圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，解得，故双曲线的离心率为.5.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面的夹角为，则该圆台的表面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：如图，作出符合题意的图形，作，由题意得，则在直角三角形中，有，，解得，即圆台的母线长.可得圆台的表面积.6.已知，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据，利用诱导公式及二倍角公式求值.解答过程：因为，所以.7.某校举行“数学文化节”活动，有5个不同的节目参加汇演，其中包含一个舞蹈节目和一个合唱节目，要求舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，且这两个节目不能相邻，则不同的节目顺序有（）A.36种 B.72种 C.24种 D.240种答案：A解析：思路：先给除舞蹈节目和合唱节目外的三个节目排序，再用插空法排舞蹈节目和合唱节目.解答过程：参加汇演的节目除一个舞蹈节目和一个合唱节目外，其余3个有种排列方法；此时，可产生4个空位，让一个舞蹈节目和一个合唱节目插空，且舞蹈节目必须在合唱节目之前演出，即顺序确定，所以有种排法.因此，共有种不同的节目顺序.8.已知定义在上的连续函数，其导函数为，若．且当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：构造函数，分析出该函数为偶函数，结合导数可知函数在上为减函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与奇偶性可得出关于的不等式，解之即可.解答过程：构造函数，该函数的定义域为，且函数在上连续，则，故函数为偶函数，当时，，所以函数在上为减函数，由可得，即，可得，所以，则，整理可得，解得，所以不等式的解集为.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知圆，则下列说法正确的有（）A.点在圆内B.直线截圆所得的弦长为C.圆与圆外离D.圆在点处的切线方程为答案：ACD解析：解答过程：圆的圆心为，半径.选项：点到圆心的距离平方为，故该点在圆内，正确.选项：圆心到直线的距离，弦长为，错误.选项：圆的圆心为，半径，圆心距，而，故两圆外离，正确.选项：点满足，在圆上.圆在点处的切线方程为，代入得，正确.10.已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（）A. B.当且仅当时，取最小值C.数列是等比数列 D.答案：AC解析：思路：根据等差数列的通项公式及前项和公式、等比数列的性质，结合韦达定理及数列的函数性质求解即可.解答过程：对于A，设等差数列的首项为，则，.可将，看作方程的两根，解得或.因为，所以，故，.公差，.故通项公式为，A正确.对于B，，这是开口向上的二次函数，对称轴.因为，所以当或时，均取最小值，B错误.对于C，令，则，所以是首项为、公比为4的等比数列，C正确.对于D，令，解得，当时，；当时，，易知，，，，，，，，，，所以，D错误.11.已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点．若，则（）A.B.的周长小于36C.的三个顶点到轴的距离之和为9D.上一动点到直线的距离的最小值为答案：ABC解析：思路：根据抛物线的定义性质，重心坐标公式，平行线间的距离公式逐项求解即可.解答过程：抛物线的焦点，设,由抛物线定义可知：,已知，即，又因为的重心为抛物线的焦点，即代入得或，因为所以，故A对抛物线.因为的重心为抛物线的焦点，所以(三角形两边之和大于第三边)，即的周长，故B对.的三个顶点到轴的距离之和，故C对.设与直线平行，与抛物线相切的直线方程为，联立得，，所以直线，两条平行线间的距离：，即动点到直线的距离的最小值为，故D错.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中的系数为_________．答案：解析：思路：根据二项式展开式通项公式求解即可.解答过程：展开式通项公式为.令，则.所以的展开式中的系数为.13.已知函数有零点，则的取值范围是_________．答案：解析：思路：利用导数求出函数的最小值，再结合零点存在性定理列式求得的取值范围.解答过程：由得.令，即，得.当时，；当时，.所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以.又当时，；当时，因为函数有零点，则.所以.14.在平面直角坐标系中，若、，则称“”为、两点的“曼哈顿距离”，若动点到两定点、的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点为该“曼哈顿椭圆”上一点，则该“曼哈顿椭圆”的面积为_________．答案：解析：思路：根据“曼哈顿距离”的定义，把“曼哈顿距离”表示出来直接去绝对值符号画图象即可求解.解答过程：设，则、两点的“曼哈顿距离”为，则、两点的“曼哈顿距离”为，所以，当且时，由可得，当且时，由可得，当且时，由可得，当且时，由可得，当且时，由可得，当且时，由可得.画出该“曼哈顿椭圆”的图象如下图所示：右侧梯形的上底为，下底为，所以该“曼哈顿椭圆”的面积为.四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.记的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求角的大小；（2）若，的周长为12，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理进行边角互化，再结合两角和的正弦公式进行化简可得，或由余弦定理角化边可得；（2）由余弦定理结合（1）的结论，求得，从而求得的面积．（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以，即，在中，可得，所以，因为，所以.方法二：因为，所以，化简得，，所以，因为，所以.（2）由的周长为，可得．由余弦定理得，则，即，所以，即，故的面积为．16.2026年，软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式”向“决策式”的全面跨越．行业焦点已从“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求的值以及第80百分位数；（2）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用表示其成绩在范围的人数，求的分布列、期望及方差．答案：（1），82.5（2），0123解析：思路：（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解；（2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数，再判断其服从二项分布，逐一求概率后列分布表并算期望；解答过程：（1）由频率分布直方图得，解得．又，故第80百分位数在，则，所以第80百分位数为82.5．（2）成绩在的频率为，用频率估计概率，则从全公司中随机抽取1人，成绩在的概率为0.25．随机抽取3人，成绩在范围的人数服从二项分布，则，，，，，0123得到，．17.如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点．（1）证明：平面；（2）当且时，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）证明：如图2，取的中点为，连接，．因为四边形是矩形，且点为的中点，所以，且，又因为，分别为，的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）取的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得，再根据线面平行的判定定理可得平面；（2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得.（1）略（2）因为平面，四边形为矩形，所以分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图3所示．因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即．又因为四边形是矩形，所以，所以，即．又，所以，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，即，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，即，令，则，所以．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18.著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为.（1）求椭圆C的标准方程.（2）设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ⅱ）求面积的最大值.答案：（1）（2）（i）由（1）可知，所以，所以右焦点为，设过点的直线方程为，将直线代入椭圆方程得，整理得，设，由韦达定理得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得.；（ⅱ）解析：思路：（1）利用已知求得的关系式，进而求解即可；（2）（i）求得右焦点为，设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，进而计算可证得结论.（ⅱ）利用，结合根与系数的关系可得，进而利用换元法与基本不等式可求得面积的最大值.（1）由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）（ⅱ），令，所以，所以，当且仅当，即（此时）取等号.所以面积的最大值为.