2026-2027学年浙江乐清市荆山公学高三上学期开学考数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数满足，则（）A.1 B.2 C. D.32.已知，，则（）A. B. C. D.3.“，”是“函数的图象关于原点对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.5.已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.6.已知随机变量的分布列为：123450.10.30.40.1则随机变量的期望等于（）A. B. C. D.7.《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（）.A. B.C. D.8.若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与互相垂直B.与向量共线的单位向量为C.，可以作为平面内的一组基底D.向量在上的投影向量为10.下列说法错误的是（）A.数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8B.已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为C.若随机变量满足，则D.若，，，则11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是以4为周期的周期函数C.D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列，，则的值为______.13.若直线与曲线恰有三个公共点，则=________.14.已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为______．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n.16.在中，内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若，，求的周长．17.在四棱锥中，平面，，，．（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．18.已知抛物线，的焦点分别为，且.（1）求直线的方程；（2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求.19.设为实数，已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求证：是上的增函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数满足，则（）A.1 B.2 C. D.3答案：B解析：解答过程：对化简得，故.2.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题得，．3.“，”是“函数的图象关于原点对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：函数的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数.令，得，解得.条件“”是“”的真子集：充分性：若，则，函数为奇函数，图象关于原点对称，充分性成立；必要性：图象关于原点对称时，还可取，必要性不成立.因此是充分不必要条件.4.已知为等比数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：当时，由可得，两式作差可得出等比数列的公比，然后在等式中，令，可求出的值，进而可求出数列的通项，即可得出的值.解答过程：因为，所以当时，．两式相减，得，所以，即等比数列的公比为．当时，，解得，所以，所以．5.已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用导数的几何意义，求出在点处的切线斜率，进而写出直线方程，然后计算直线方程与两坐标轴的交点，然后利用直角三角形的面积公式求解即可.解答过程：，所以，，所以在点处的切线方程为.当时，；当时，.所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为.6.已知随机变量的分布列为：123450.10.30.40.1则随机变量的期望等于（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意知：，所以.7.《九章算术·商功》记载：“斜解立方，得两堑堵；斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑．”其中，“阳马”特指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥（即直四棱锥）．今有一阳马如图所示，其中平面，，若与所成角的余弦值为，则（）.A. B.C. D.答案：B解析：思路：先将条件转化到同一个三角形中，进而通过三角形的三边关系进行求解解答过程：因为四边形为矩形且，所以四边形是正方形，，，；又因为与所成角的余弦值为，所以与所成角的余弦值为；因为平面，⊆平面，所以，，又因为，⊆平面,所以平面，又因为⊆平面，所以；在直角三角形中，因为，所以；所以在直角三角形中，，所以.8.若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用分段函数的特点进行求解.解答过程：对任意实数，都有成立，所以在上单调递增，当时，若使单调递增，则需满足；当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：，若在上单调递增，则需满足，即：，所以实数的取值范围为.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.与互相垂直B.与向量共线的单位向量为C.，可以作为平面内的一组基底D.向量在上的投影向量为答案：AC解析：思路：本题考查平面向量的核心性质，结合向量垂直判定、共线单位向量求解、基底定义、投影向量公式即可求解.解答过程：对于A，，所以，故A正确；对于B，向量共线的单位向量为，故B错误；对于C，平面向量，，所以，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，故C正确；对于D，向量在上的投影向量，故D错误.10.下列说法错误的是（）A.数据2，3，4，5，6，6，8，10，12，15的第70百分位数为8B.已知一组样本数据，，…，的平均数为4，极差为6，中位数为5，则，，…，的平均数为，极差为12，中位数为C.若随机变量满足，则D.若，，，则答案：AC解析：解答过程：选项A：该组数据共10个，第70百分位数的位置为，所以第70百分位数是，A错误；选项B：若原数据平均数为、中位数为、极差为，则形式的新数据平均数为、中位数为、极差为，代入，得新数据平均数为，极差为，中位数为，B正确；选项C：根据方差性质，得，不是15，C错误；选项D：由全概率公式，D正确.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（）A.的图象关于直线对称B.是以4为周期的周期函数C.D.答案：AD解析：思路：A选项，由可得，结合为偶函数以及对称轴的定义即可判断；B选项，先求出的周期，再由可得的周期；C选项，令可得；D选项，根据及可类推出即可求解.解答过程：对于A：因为为奇函数，所以，又，所以，所以，所以，又为偶函数，则，所以，则的图象关于直线对称，故A正确；对于B：因为，所以，又为奇函数，所以，所以，又为偶函数，，所以，则，即，即，所以是以8为周期的周期函数，由于，则，即也是以8为周期的周期函数，故B错误；对于C：由于为奇函数，则，令，则，所以，故C错误；对于D：由于，，则，，依次类推：，所以，故D正确.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知等比数列，，则的值为______.答案：4解析：思路：利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积.解答过程：设等比数列的公比为q，根据等比数列性质：若，则，可得，记，则，所以，所以.13.若直线与曲线恰有三个公共点，则=________.答案：解析：思路：数形结合，根据直线与圆的位置关系列式求的值.解答过程：由得或，所以曲线表示两个同心圆，如下图：因为直线，即与曲线恰有三个公共点，所以直线与圆相切.所以.所以.14.已知正六棱柱的体积为2，则其外接球表面积的最小值为______．答案：解析：思路：设正六棱柱的底面边长和高分别为．由体积条件得到为定值，再利用正六边形的外接圆半径等于边长，表示外接球半径，最后用基本不等式求最小值．解答过程：设正六棱柱的底面边长为，高为，外接球半径为．正六边形的外接圆半径等于其边长，因此取经过棱柱轴线和上下底面一对相对顶点的截面，可得如下矩形截面．由图可知正六棱柱的体积为，所以令，则从而由基本不等式，得当且仅当，即时，等号成立．所以外接球半径的最小值为，外接球表面积的最小值为.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前n项和为，且.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n.答案：（1）由，得，两式相减得，整理得同除以得：又由得，则所以数列则，所以（2）．解析：（1）略（2）由（1）可知，，则，所以，，显然数列为递增数列，且，，使成立的最大正整数．16.在中，内角所对的边分别为，．（1）求的值；（2）若，，求的周长．答案：（1）（2）周长为解析：思路：（1）利用正弦定理化简原式得到的关系，再代入中求解即可；（2）将第一问结果代入中求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得到三角形周长.（1）根据正弦定理可化为，因为，所以，又，（是三角形内角）.把代入：，，所以，由，得，所以.（2）.代入：，由余弦定理，已知：，所以，.所以周长为17.在四棱锥中，平面，，，．（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．答案：（1）记的中点为，连，，由、分别为、的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，且平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）先根据平行四边形的判定和性质得到，再根据线面平行的判定即可证明；（2）先建立空间直角坐标系，再利用面面角的向量求法求解即可．（1）略（2）由平面，，则、、两两垂直，则以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，又，则、、、，所以，，设面的法向量为，由，取，则，，则，易知平面的一个法向量为，记平面与平面所成锐二面角为，则，因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为．18.已知抛物线，的焦点分别为，且.（1）求直线的方程；（2）若直线与从左到右分别交于，两点，与从左到右分别交于，两点，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据两焦点距离求出值得到焦点坐标，进而求出直线的方程；（2）再将直线分别与两个抛物线联立，得到四点的横坐标，由即可求解；（1）对于抛物线，其焦点坐标为，对于抛物线，其焦点坐标为；由两点间距离公式：，已知，故，结合解得，因此，直线的斜率，由斜截式得直线方程为，即.（2）由（2）知,则，.联立直线与的方程：，设的横坐标为，得联立直线与的方程：，设的横坐标为，得，因为点都在直线上，且斜率为，所以.19.设为实数，已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）求证：是上的增函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）；（