2026-2027学年浙江省Z20名校联盟高二上学期创新班开学学情诊断数学试卷（含解析）

/数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知命题：，，则为（）A.， B.，C.， D.，3.设一个随机事件的样本空间为，事件，，下列说法错误的是（）A.若，则B.若与互斥，则C.D.若与相互独立，则4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（）A. B. C. D.6.设，，，则（）A. B. C. D.7.已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知为双曲线：右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，均不为，则下列说法正确的是（）A.若，则的虚部为B.C.若，则的最小值为D.若，则10.已知的三个角，，对应的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若是所在平面内的一点，动点满足，则的轨迹经过的垂心D.若为锐角三角形，满足，则的取值范围为11.已知点在平面内的射影为，且，平面内不同于点的动点，满足与平面所成的角为，所有线段与平面围成的几何体记为．下列说法正确的是（）A.线段旋转一周扫过的面积为B.若，则几何体外接球的体积为C.若且直线与平面成角，则与直线成角的有三条D.若，半径为1的小球在几何体内任意滚动，未被小球接触过的几何体内壁的面积为第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______．13.已知，，直线和垂直，则的最小值为______．14.已知平面向量，，满足：，，，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，内角，，所对的边分别为，，．若，满足．（1）求角；（2）若，，求．16.某校高一年级为了解学生对“校园科技节”活动的满意度，采用简单随机抽样调查了100名学生，满意度评分满分为100分，按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计该高一学生对本次活动满意度的平均数和上四分位数；（2）从满意度低于70分的学生中，按，的人数比例，采用分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行座谈，求这2人都来自的概率．17.已知在中，，，将沿翻折至（点在平面外）．（1）证明：；（2）若为空间中的点，且满足，当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的正弦值．18.已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，．（1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值．19.设函数的定义域为．若存在常数，使得对任意，都有，则称为“伸缩函数”，常数称为其“伸缩比”．（1）若是“伸缩函数”，求出满足条件的的值；（2）已知函数（）是“伸缩函数”，其中，求实数的值；（3）设是定义在上的“伸缩函数”，其中．若在上有界，即存在常数，使得对任意，都有．证明：对任意，都有．

数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，，，所以.2.已知命题：，，则为（）A.， B.，C.， D.，答案：D解析：解答过程：因为命题为，，所以为，.3.设一个随机事件的样本空间为，事件，，下列说法错误的是（）A.若，则B.若与互斥，则C.D.若与相互独立，则答案：A解析：解答过程：A.根据加法公式，，若，则，于是，即.只有当时，才有，A错误.B.因为与互斥，所以，所以，于是，B正确.C.是的对立事件，因此恒有，C正确.D.因为与相互独立，所以，再由加法公式得，D正确.4.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：分段函数在全体实数单调递增，则每一段自身必须分别单调递增，且左边分段右端极限值≤右边分段起点函数值.解答过程：在上单调递增，需要同时满足3个条件：指数部分递增：2−a对数部分递增：底数,分段衔接处：,所以，联立以上三个不等式求交集，得的取值范围是5.已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解.解答过程：圆心到直线的距离，结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得.6.设，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据基本不等式、对数的换底公式、指数的运算，结合对数函数的单调性求解判断即可.解答过程：因为，所以，即，也即.又，，所以.综上，.7.已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围.解答过程：因为，且，，因为函数（）在区间上单调递增，所以，解第一个不等式，即，即，即，解第二个不等式，解得，即，即，又，则，因为，在区间内恰有两个零点，所以，则，解得，即，又，则，则的取值范围是.8.已知为双曲线：右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用双曲线的定义推得，结合对称性得，设，分别利用三角函数定义和余弦定理列方程，消去，得关于的齐次方程，求解即得.解答过程：如图，连接，由双曲线定义，，因，则，由对称性可知，，设，在等腰三角形中，，即（*）在中，由余弦定理，，即，将（*）代入，可得，整理得，则有，故.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，均不为，则下列说法正确的是（）A.若，则的虚部为B.C.若，则的最小值为D.若，则答案：BC解析：思路：根据复数的虚部的定义判断A，设，（），根据共轭复数定义及复数加法分别求即可判断B，结合复数的几何意义判断C，举反例，结合复数的模及乘法和复数相等的定义判断D.解答过程：对于选项A，复数的虚部是实数2，，A错误；对于选项B，设，（），且，，则

z1

z1所以，B正确；对于选项C，由知复平面内复数​对应的点的轨迹是以点为圆心、半径的圆，表示该圆上的点到原点的距离，原点到圆心的距离为，因此的最小值为，C正确；对于选项D，举反例：取，，满足，但，，显然，D错误,10.已知的三个角，，对应的边分别为，，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则为等腰三角形C.若是所在平面内的一点，动点满足，则的轨迹经过的垂心D.若为锐角三角形，满足，则的取值范围为答案：ACD解析：思路：选项A：用正弦定理进行边角互化为边，利用大边对大角，可证；选项B：利用正弦定理边化角，变形化为二倍角公式，利用正弦函数性质可得A，B角的关系；选项C：转化为，通过数量积公式进行化简，得到；选项D：在三角形中，结合，采取切化弦方法，最终结合锐角三角形的限制条件，得到，可求的取值范围.解答过程：选项A的三个角，，对的边分别为，，，根据正弦定理：，，，，>，>，选项A正确；选项B根据正弦定理：，，，，，，因为在中，有或，即：或，选项B错误；选项C，则的轨迹经过的垂心，选项C正确，选项D，，若为锐角三角形，，，选项D正确.方法提示：本题考查了正弦定理在解三角形中的边角互化的应用，以及在限定锐角三角形中构造关于的不等式；考查了向量解决三角形中的特征线的常用解决策略.11.已知点在平面内的射影为，且，平面内不同于点的动点，满足与平面所成的角为，所有线段与平面围成的几何体记为．下列说法正确的是（）A.线段旋转一周扫过的面积为B.若，则几何体外接球的体积为C.若且直线与平面成角，则与直线成角的有三条D.若，半径为1的小球在几何体内任意滚动，未被小球接触过的几何体内壁的面积为答案：ACD解析：思路：选项A：由题意与平面所成角，利用直角三角形中的三角函数的公式求出，，从而得到动点在平面内绕定点做圆周运动，母线绕定高旋转一周，扫出的封闭曲面为圆锥侧面，利用圆锥的侧面积公式得解；选项B：由题意可以得到外接球的球心在线段延长线上，利用勾股定理求出，利用球体体积公式得解；选项C：根据题意可以得到所有满足条件的母线，均分布在以为轴线、半顶角的圆锥面上，由直线与平面成，与其平面射影夹角为，得到直线与竖直线的夹角，设为与绕轴线的旋转角，利用公式求出，根据圆锥对称性得解；选项D：求出圆锥侧面积和圆锥底面积，从而得到圆锥内壁总面积，找到小球在几何体内任意滚动，未被小球接触过的几何体内壁的图形，利用圆锥的侧面积公式求解即可得解.解答过程：选项A：因为为在平面的射影，所以平面，所以线段是斜线在平面内的射影，故与平面所成角，在Rt中，，，，解得，，则动点在平面内绕定点做圆周运动，母线绕定高旋转一周，扫出的封闭曲面为圆锥侧面，设，则圆锥的侧面积为，故选项A正确；选项B：当时，圆锥底面半径，圆锥高，因为该圆锥为轴对称几何体，所以外接球的球心必然在圆锥的对称轴（高所在直线）上，设外接球半径为，球心在线段延长线上（圆锥内部无法容纳外接球球心），则球心到圆锥底面圆周上任意一点的距离为，球心到点的距离为，则，解得，即，则与题目给出的体积，二者不相等，选项B错误；选项C：当时，与平面线面角为，即，在Rt中，可得与的夹角，则所有满足条件的母线，均分布在以为轴线、半顶角的圆锥面上，因为直线与平面成，与其平面射影夹角为，所以直线与竖直线的夹角为：，则母线与轴线夹角，直线与轴线夹角，则母线与直线的夹角，设为与绕轴线的旋转角，由公式得到，解得，方程有解，因为固定直线为，圆锥半顶角、轴线与夹角，目标夹角介于最小夹角与最大夹角之间，所以根据圆锥对称性，可找到3条符合条件的母线，选项C正确；选项D：当时，线面角，在Rt中：圆锥底面半径：，圆锥母线长：，圆锥侧面积：，圆锥底面积：，圆锥内壁总面积：，小球半径，在固定圆锥内自由滚动，极限位置同时贴近圆锥侧面与底面，当小球同时与圆锥底面和侧面接触（或与侧面）相切时，小球不能向点与动点移动，此时小球与侧面或底面切点到点与动点间圆锥内壁部分的面积，即为小球在几何体内任意滚动，未被小球接触过的几何体内壁的面积，当小球球心到顶点的距离为时，此时小球只与侧切，且所有的切点形成一个圆，取切点形成的圆的直径为，此时以为直径的圆截几何体形成的新的圆锥，新圆锥的侧面是小球不能接触到的部分，此时的小球与母线相切的切点为，此时的球心到顶点的距离为，则，则新圆锥的底面圆的半径为，则此时小球不能接触到的这部分的面积为，当小球在底面上滚动时，球心距底面高度恒为，球心到顶点的最大距离为，小球与侧切时，小球球心距离母线为，设此时小球与底面的切点为动点，动点在几何体底面形成一个圆，这个圆与几何体底交形成一个圆环，圆环部分即为小球滚动中不能接触的部分.这个圆环的面积.设小球此时与侧面的切点为动点，动点在几何体侧面形成一个圆，这个圆与动点在侧面形成的圆之间的部分即为小球滚动中不能接触的部分.当动点与动点在同一母线时，小球球心与动点的距离为2，则此时间的距离为，间的距离为，则间的距离为，以为母线的圆锥的侧面积为，动点与动点之间部分的面积为.则半径为1的小球在几何体内任意滚动，未被小球接触过的几何体内壁的面积为，D选项完全正确.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知抛物线：的焦点为，若上的一点到直线的距离为8，则______．答案：5解析：解答过程：抛物线：的准线为直线，由上的一点到直线的距离为8，得点到直线的距离为5，由抛物线定义得.13.已知，，直线和垂直，则的最小值为______．答案：##解析：思路：利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.解答过程：由直线和垂直，得，即，而，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为.14.已知平面向量，，满足：，，，则的最大值为______．答案：##解析：思路：建立平面直角坐标系，设，，求出对应的方程，再根据，求出的最大值即可求出答案.解答过程：如上图，建立平面直角坐标系，并假设，，由条件得：，化为圆的标准方程：，这是一个以为圆心、半径为1的圆，同理，，由条件得：，化为圆的标准方程：，这是一个以为圆心、半径为的圆，在向量，都变化的情况下求的最大值很麻烦，所以先固定，，，当且仅当与同向时取得，，由，得：，令，得当即时取得，由图可知符合题意，所以的最大值为.方法提示：在向量，都变化的情况下求的最大值很麻烦，所以先固定，求出的最大值与的关系，再求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知在中，内角，，所对的边分别为，，．若，满足．（1）求角；（2）若，，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量平行，二倍角公式及同角三角函数的关系得出即可求解；（2）结合（1）求得，法一：过作，由求解；法二：由正弦定理表示出，再由三角形面积公式即可求解．（1）由，得，由正弦定理得，由，得，又，所以，，又因为，所以，所以．（2）由，则，代入，所以，由得，，则，法一：在中，过作，因为，所以，则，，，，整理得（负值舍）．法二：，由正弦定理得，，解得．16.某校高一年级为了解学生对“校园科技节”活动的满意度，采用简单随机抽样调查了100名学生，满意度评分满分为100分，按照，，…，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计该高一学生对本次活动满意度的平均数和上四分位数；（2）从满意度低于70分的学生中，按，的人数比例，采用分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机选取2人进行座谈，求这2人都来自的概率．答案：（1）77；85（2）解析：思路：（1）利用平均数与上四分位数的定义列式求解即可；（2）先求出5人中随机选取2人进行座谈的所有可能情况，再求出这2人都来自的所有可能情况，最后利用古典概型进行计算即可.（1）设上四分位数为，即，（2）从中抽取1人编号为1，从中抽取4人编号为2，3，4，5．，记“这2人都来自”，即，即这2人都来自的概率为17.已知在中，，，将沿翻折至（点在平面外）．（1）证明：；（2）若为空间中的点，且满足，当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的正弦值．答案：（1）证明：作，因为沿翻折至，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以（2）解析：思路：（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质定理证明；（2）建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程，得到三棱锥的体积最大时，的坐标为或，分别求出平面与平面的法向量，再利用夹角公式得到平面与平面夹角的正弦值为.（1）略（2）以为原点，方向为轴，方向为轴，过且垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系．，，，，设，由，即，得，当三棱锥的体积最大时，即或，不妨取，设平面的法向量为，由，，得，令，得，设平面的法向量为即，．所以，平面与平面夹角的正弦值为18.已知椭圆：的离心率为，过左焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点，且满足，．（1）求椭圆的方程；（2）求的值；（3）已知点，，过点的直线交椭圆于，两点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，证明：直线的斜率为定值．答案：（1）（2）（3）证明：设，，，，设直线：，联立，得，，，即，同理，，．