2026-2027学年浙江省新阵地教育联盟高三上学期第一次学情诊断数学试卷

/浙江省新阵地教育联盟2026-2027学年高三第一次学情诊断数学试题一、选择题1.若复数z=1−7i，则z=A.6 B.8 C.52 2.已知a=1，a⋅b=1，若a⋅A.−15 B.−1 C.153.曲线y=sinx+cosA.y=−x−1 B.y=−x+14.已知实数x>0，y>0，xy=1且xA.lnxy<0 B.lnxy<05.已知椭圆x2+ay2=1(0<aA.132 B.116 C.146.已知数列{an}满足a1=1,a2=3，对于∀n∈N∗A.5100 B.4999 C.5202 D.50007.已知函数fx=ex−m2A.0<m<e B.m<0 C.8.f(A.∀x∈0,+∞，fx=fx+1 B.∀x∈0,+∞，9.下列统计量中，不能度量样本的离散程度的是A.中位数 B.平均数 C.众数 D.标准差10.在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AD=3，CD=1，AB=3.点E在线段AB上，满足AE=1.现将▵BCE沿CE翻折至▵A.四棱锥P−AECD体积最大值为233

B.存在某个位置，使得PD⊥平面PCE

C.四棱锥P−AECD外接球表面积的最小值为11.已知圆O:x2+y2=1及定点A(4,0)，设l为圆O的一条动切线，切点为P.若A.恒有OQ⋅OP=1

B.无论切点P在何处，直线l上总存在两个不同的点Q满足条件

C.存在点P，使得△PQA为等边三角形

二、填空题12.2x+y6的展开式中x2y4的系数为13.已知函数fx=3cos2x+φ，(0<φ<π)满足fx+π414.已知数列an的前n项和Sn=1−−12nn∈N∗，若∃三、解答师15.已知在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=1，(1)求AC的长；(2)求sin∠ACB16.在四棱锥P−ABCD中，PA=PC=PD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD.已知(1)求证：PO⊥平面ABCD(2)若二面角P−CD−A的余弦值为17.某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试。已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为34，每次实操考试成绩合格的概率均为23(1)求他可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ18.已知双曲线C:x2a2−(1)求曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的动直线l与曲线C交于P，Q两点，且QF=λFP(λ≥1)，直线(i)当λ=2(ii)求四边形QROF19.取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数f(x)，在其定义域内存在一点x0，使得f(x(1)求函数f((2)若定义在R上的函数f(x)的图象绕原点逆时针旋转π4之后不变，x0(3)设常数a>0，函数f:R→R，满足|g(x)=f(x)−(1.【正确答案】C

2.【正确答案】D

3.【正确答案】C

4.【正确答案】D

5.【正确答案】B

6.【正确答案】A

7.【正确答案】B

8.【正确答案】B

9.【正确答案】ABC

10.【正确答案】AC

11.【正确答案】ACD

12.【正确答案】60

13.【正确答案】π2

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；

；

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；；14.【正确答案】98

/115.【正确答案】解：(1)如图，因为梯形ABCD中，∠DAB所以∠ADC由余弦定理可得CA所以CA=(2)在▵ADC中，cos又cos∠在▵ABC中，B所以BC=3又sin∠由正弦定理可得：CBsin∠CAB解得sin∠

16.【正确答案】解：(1)因为PA=PD，点O为AD的中点，所以在直角梯形ABCD中，连接CO，因为AD//BC，AB⊥所以CO⊥AD，在Rt▵ODC中，CD=2在▵POC和▵POD中，PC=所以∠POC=∠POD又OC∩AD=O，OC,AD⊂(2)以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PO=a，则O(0,0,0)，P(0,0,a设平面PCD的法向量为m=(x,y,由CD⋅m=−2x+2易知平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1)设二面角P−CD−A的大小为解得a=2

17.【正确答案】解：(1)设“理论考试合格”为事件A，“实操考试合格”为事件B，

P(A)=1−(14)2=1516，或P(A)=34+14×34=1516

，

P(B)=1−(13)2=89，或P18.【正确答案】解：(1)由双曲线C:x2a2得c=2,ca所以双曲线C的方程为x2(2)(i)显然直线l不垂直于y轴，设其方程为x=由消去x得(t2−3)yy1+y2=4t所以直线l的方程为y=±(ii)由(i)知R(−x1则S=S▵OQF+得y2=−λy1≤−yS▵OQF=12OF⋅(−而y1=2∀则2t1+33于是f(t)≥f(0)=3，而当t所以四边形QROF的面积的取值范围为[

19.【正确答案】解：(1)设函数f(x)=2x+x所以函数f(x)=(2)证明：记函数f(x)的图象为M，x函数f(x)的图象绕原点逆时针旋转π4之后不变，即同理B3B7(x得2x0(3)证明