陕西省渭南市华州区、华阴市校级联考2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省渭南市华州区、华阴市校级联考2025-2026学年高一上学期期末质量监测数学试题一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】依题意，，，所以.故选：C.2.已知扇形弧长为5，弧所对圆心角为，则该扇形的半径为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，弧所对圆心角为，且弧长为5，则扇形的半径为.故选：D.3.数据5，7，3，2，11，13的第70百分位数为（）．A.7 B.11 C.13 D.17【答案】B【解析】由题设，数据从小到大依次为，所以，故第70百分位数是第5个数，为11.故选：B.4.设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（）A.－1 B. C.1 D.2【答案】C【解析】当时，曲线与恰有一个交点，即时，方程只有一个实数根，方程化简为，问题可转化为函数在时只有一个零点，由在上为偶函数，则有，解得.时，函数，方程在时，只有一个解，所以当时，曲线与恰有一个交点.故选：C5.已知幂函数在区间上单调递增，则函数的图象过定点（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或，又为为增函数，则，故恒过定点.故选：C.6.已知奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为为奇函数，故在上为增函数，而，故的解为或，的解为或，当时，由可得，故或，此时不等式无解；当时，可得，故或，故.综上可得：不等式的解集为.故选：C.7.已知，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当，则，可得，即，当，则，可得，即，综上，.故选：C.8.如图是一段绳子在地面上的影子，看不出哪一部分在哪一部分的上面，假设绳子是完全随机摆放的，现在将绳子两头向左右拉紧，这根绳子会打成一个结的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】考虑绳子在三个交叉处的位置关系，每个交叉处有两种可能，所以共有8种可能.先固定中间，有如图所示的四种情形，这四种情形只有一种可以拉成结，将这四种情形翻转得到另外四种情形，所以共有两种情形可以拉成结，故所求概率为.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（）A.B与D互斥B.A与D互为对立事件C.D.【答案】ABD【解析】由题意，样本空间为，对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确；对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：ABD.10.已知函数的最大值为2，则（）A.B.的图象关于直线对称C.的最小正周期为D.方程在上有4个解【答案】ABD【解析】由辅助角公式可知，的最大值为，得（正值舍去），A正确；，则最小正周期为，故C错误；因，故的图象关于直线对称，B正确；，则，则或，，即或，，因，则、、、，共个，故D正确.故选：ABD.11.下列说法正确的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.对数恒有意义，则实数的取值范围是C.函数的值域为D.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围【答案】ABD【解析】对于A，因为的定义域为，则，解得，所以的定义域为，故A正确；对于B，若对数恒有意义，则恒成立，当即时，不等式，符合要求；当即时，因为恒成立，则满足，解得，综上，实数k的取值范围是，故B正确；对于C，，则，即，所以，因为，所以函数在上单调递减，当时，，所以，则函数的值域为，故C错误；对于D，令，则由得，由与复合而成，因为在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增，的开口向上，对称轴为，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.把答案填在答题卡相应横线上.12.在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________.【答案】【解析】二次函数的图象不经过第四象限，则对称轴且或顶点纵坐标，即或，由题意，两次摸球的数字组合可能有：，共9种，其中符合条件的组合有，共5种，所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为.故答案为：.13.______．【答案】【解析】.故答案为：.14.计算：__________.【答案】【解析】由题可得：，故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.温馨提示：考生请注意在答题卡规定区域内用黑色笔作答，超出指定区域答题不给分.15.已知.（1）当时，求证：在上为减函数；（2）若方程有且仅有一个实数根，求的最小值；（3）若存在使得在上恒成立，求证：.解：（1）当时，，设，且.则，因为，所以，所以.所以，所以在为减函数；（2）因为，所以，任取，，且，则，因为，，且，所以，，当时，，所以，即，当时，，所以，即，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.因为，当且仅当时等号成立，因为方程有且仅有一个实数根，所以，即，则，当且仅当即时取等，所以的最小值为4；（3）因为当时，，当且仅当时等号成立，由题意知，，所以，即.16.已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．（1）求a，b的值；（2）求不等式的解集；（3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．解：（1）由题意知，，即，解得：，所以，.（2）由（1）知，，所以，即，所以，令，则，解得；解得，所以，的解集为，即，解得，所以不等式的解集为.（3）由得函数，当时，，故，，当时，因为对任意，存在，使得成立，所以是的子集，所以，即，所以实数的取值范围为17.某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.解：（1）由题意有：，解得，设这n人的平均年龄为，则，由于前2组的频率为，前3组的频率为，则中位数在，设中位数为，则，解得，则中位数为31.（2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，，第五组抽取人，记为（乙），，对应的样本空间的样本点为：，共包含15个等可能的样本点，设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共包含9个等可能的样本点，所以.即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.18.已知.（1）求的单调递增区间；（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；（3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，，…，，求的值.解：（1）.令，，则，，故的单调递增区间为，.（1），即对任意的恒成立，则对任意的恒成立，令，因为，则，由对勾函数的性质知在上单调递减，又，所以，则的最大值为，故.（3）令，，，令，又，函数在上的图象如下图所示，由图可知，的图象与直线共有6个交点，即，，.19.设，函数.（1）若函数是奇函数，求实数的所有可能值；（2）当时，求函数的值域；（3）当时，函数在区间上的值域是，求实数的取值范围.解：（1）（方法一）若函数的定义域内含有，则，于是，从而；当时，检验：，定义域为，知，是奇函数，符合要求；若的定义域内不含，则，于是；当时，检验：，知定义域为，且，是奇函数，符合要求.综上，实数