中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案 (大连2026年)

中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案(大连2026年)一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设A、B为两个相互独立的事件，P(A)=0.3A.0.12B.0.58C.0.70D.1.002.设随机变量X∼N(A.NB.NC.tD.χ3.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则D(A.λB.λC.λD.14.设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则下列说法正确的是？A.PB.PC.PD.P5.设随机变量X与Y相互独立，D(X)=1A.5B.7C.17D.256.设X1,X2,…,A.X与S2B.X与S2C.X与S2D.X与S27.在对未知参数θ做区间估计时，置信水平为1−A.该随机区间以概率1−α包含参数B.参数θ落入该区间的概率为1C.区间长度以概率1−D.在每次抽样中区间都包含θ8.在假设检验中，犯第一类错误是指？A.原假设为真时拒绝原假设B.原假设为假时接受原假设C.原假设为真时接受原假设D.原假设为假时拒绝原假设9.设X1,X2,…,XnA.NB.tC.χD.F10.设随机变量X与Y的协方差Cov(A.X与Y相互独立B.X与Y不相关C.D(D.X与Y必服从同一分布二、计算题（每题10分，共60分）1.设随机变量X的概率密度为f求：(1)常数a；(2)P(0.5<X<答案：(1)由归一化条件−∞0所以a=(2)P(3)E(4)E因此D解析：连续型随机变量先利用密度函数归一化求未知常数；区间概率转化为密度积分；方差用E(2.设二维随机变量(Xf求：(1)常数c；(2)判断X与Y是否相互独立；(3)P(答案：(1)1故c=(2)边缘密度分别为ff因为f(x,y)(3)P解析：联合密度可分离变量且积分区域为矩形时，可直接判断独立；求P(X+Y≤3.设总体X服从参数为λ的指数分布，概率密度为fX1,X2,答案：(1)指数总体的E(X)=1λ(2)似然函数为L对数似然函数为ℓ令ℓ解得极大似然估计量λ(3)由大数定律，X→PE(Xλ因此矩估计量与极大似然估计量都是λ的相合估计量。解析：本题中矩估计量与极大似然估计量结果相同。相合性依靠大数定律证明；但注意1/X是λ的有偏估计（4.某保险公司理赔金额近似服从正态分布。现随机抽取16笔理赔记录，得到样本均值x=2500元，样本标准差s=t置信区间为x代入数据：$$\left(2500-2.131\times\frac{400}{4},\2500+2.131\times\frac{400}{4}\right)

=(2286.86,\2713.14).$$故平均理赔金额的95%置信区间约为(2286.86解析：正态总体、方差未知且样本容量较小时，必须用t分布构造区间；若已知σ或n足够大，才可使用正态分布近似。5.某保险公司过去某类保单的平均赔付额为1000元。现抽取25张该类保单，得样本平均赔付额x=1080元，样本标准差s=H使用t检验。检验统计量t在α=0.05下，右侧临界值t0.05(24结论：在5%显著性水平下，有充分证据认为当前平均赔付额显著高于1000元。解析：本题是单侧（右侧）检验。检验统计量用样本标准差替代总体标准差，服从t(24)6.某保险公司承保的100份相互独立保单，每份保单的年理赔额均值为500元，标准差为800元。用中心极限定理近似计算这100份保单年总理赔额超过58000元的概率。S根据独立同分布条件，E所以SD(S)=P故所求概率约为0.1587。解析：n=三、证明与综合题（每题10分，共20分）1.设X1,X2,…,XnS是总体方差σ2答案：先对偏差平方和变形：i两边取期望：$$E\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]

=\sum_{i=1}^nE(X_i^2)-nE(\bar{X}^2).$$其中E且E因此$$E\left[\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]

=n(\sigma^2+\mu^2)-n\left(\frac{\sigma^2}{n}+\mu^2\right)

=(n-1)\sigma^2.$$于是E所以S2是σ解析：证明的关键是利用∑(Xi−X)2=∑2.设一元线性回归模型y其中xi为不全相等的常数，εi相互独立，E((1)用最小二乘法求β0、β1的估计量β0(2)证明β0、β1分别是β0答案：(1)最小化离差平方和Q对β0、β∂∂记x=1n∑xi，$$\hat{\beta}_1=\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}

=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},$$β(2)将yi=β$$\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0,\qquad

\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})x_i=S_{xx},$$可得$$\hat{\beta}_1

=\beta_1+\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})\varepsilon_i}{S_{xx}}.$$因为E(εi又因为β且E于是E故β0、β1分别是β0解析：最小二乘估计的推导是回归分析的核心。证明无偏性时注意xi视为常数，随机性仅来自εi；同时利用∑(参考答案与解析一、单项选择题1.答案：B解析：因A与B独立，P(A∩2.答案：A解析：正态分布经标准化后得到标准正态分布，这是正态分布线性变换性质的直接结论。3.答案：A解析：泊松分布的均值与方差均等于参数λ，即E(4.答案：A解析：指数分布具有无记忆性，即已使用s时段后剩余寿命的分布与全新开始时相同。5.答案：D解析：独立情形下D(aX6.答案：A解析：正态总体下样本均值与样本方差相互独立，这是正态分布区别于其他分布的重要性质。7.答案：A解析：θ是未知常数，不能讨论它“落入”区间；置信区间是随机区间，反复抽样中约有1−8.答案：A解析：第一类错误即弃真，指H0为真时拒绝了H9.答案：B解析：总体方差未知时，用样本标准差S替换σ，相应统计量服从自由度为n−1