2026-2027学年辽宁省营口市部分普通高中高二上学期入学学情检测数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.点关于平面对称的点的坐标为（）A. B.C. D.2.设平面向量，，则（）A.0 B.2 C.4 D.83.已知复数为纯虚数，则下列选项中，一定为虚数的是（）A. B.C. D.4.已知平面，平面与平面，分别相交于直线，．在平面内，直线与，分别相交，且与所成的角为，则与所成的角为（）A. B.C. D.5.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（）A. B. C. D.6.舞台上有一个可折叠双三角反光板，由两块三角形板与沿公共边铰接而成．已知两块板所在平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列直线中，一定垂直于平面的是（）A. B.C. D.7.矩形中，，其内部一点满足，若的长为整数，则（）A. B.C. D.8.记的内角，，所对的边分别为，，．若满足，，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知空间中的一个四棱柱，则该几何体为平行六面体的充分不必要条件可以是（）A.四个侧面均为矩形 B.所有的面均为矩形C.底面为平行四边形 D.所有的面均为菱形10.已知空间非零向量，，，则（）A.，可以相互垂直B.，为平面的共面向量C.是平面的一个法向量D.，不能作为其确定平面内的一组基底11.已知函数，则（）A.曲线关于点中心对称B.在上单调递增C.的最小正周期为D.的值域为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________．13.在中，内角所对的边分别为，且，则的外接圆直径为________．14.一位眼高（眼高为眼睛到地面的距离）为的同学希望测量水平地面上某圆台巨型建筑的高度，记该圆台的上底面边缘离他最近的点为．该同学眼睛在点处时，测得的长度为；随后他在地面上直线后退，此时眼睛到达点处，测得的长度为．若直线与点在同一铅垂面内，则该圆台的高度为________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数，．（1）求；（2）若函数在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．16.如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足．（1）若、、三点共线，求；（2）若，求长度的取值范围．17.已知方程（）存在两个不等虚根，，其在复平面中对应的点分别为，．（1）证明：，的纵坐标互为相反数；（2）若点，均在单位圆上，求实数的值．18.在中，，，．点，分别在线段与上，且，．将绕点旋转得到，其中点，旋转后分别为点，．（1）求的长；（2）证明：旋转过程中，为定值；（3）求旋转过程中，的最大值与最小值．19.在三棱柱中，点，分别为线段，上不与端点重合的点，且与平面不平行．设直线，，分别与平面交于，，三点．（1）证明：，，均在一条直线上；（2）若平面，且三棱柱的体积为四棱锥的体积的2倍，求的值；（3）若是以为斜边的直角三角形，判断1是否能为二面角的平面角，并说明理由．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.点关于平面对称的点的坐标为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据点关于平面对称的性质判断即可.解答过程：点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数，所以点关于平面对称的点的坐标为点.2.设平面向量，，则（）A.0 B.2 C.4 D.8答案：C解析：解答过程：由向量，，得，所以.3.已知复数为纯虚数，则下列选项中，一定为虚数的是（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：根据纯虚数的定义，设，其中且．根据共轭复数的定义，可得．选项A，，其虚部为，因为，所以，因此一定为虚数，A选项正确．选项B，，结果为实数，不是虚数，B选项错误．选项C，，结果为实数，不是虚数，C选项错误．选项D，计算，结果为实数，不是虚数，D选项错误．4.已知平面，平面与平面，分别相交于直线，．在平面内，直线与，分别相交，且与所成的角为，则与所成的角为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据面面平行的性质及平行线的性质求解即可.解答过程：因为平面，平面与平面，分别相交于直线，，所以.又与所成的角为，所以与所成的角为.5.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解.解答过程：平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为，因为，所以，所以，所以的坐标为.6.舞台上有一个可折叠双三角反光板，由两块三角形板与沿公共边铰接而成．已知两块板所在平面互相垂直，且，．设为的中点，则下列直线中，一定垂直于平面的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为是的中点，所以，又因平面平面,平面平面,平面,所以平面.而是平面的斜线，与平面不垂直；平面,显然与平面不垂直.7.矩形中，，其内部一点满足，若的长为整数，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：设，由题意化简得到，得到，结合点在矩形的内部，列出不等式组，求得，代入即可求解.解答过程：设，其中为正整数，因为，可得，两边同除以，可得，在矩形中，可得，则，因为点在矩形的内部，可得，且，即，可得，因为为正整数，所以，把代入可得.8.记的内角，，所对的边分别为，，．若满足，，的恰有两个且互不全等，则这两个三角形的周长之和的取值范围为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据余弦定理，将其整理为关于的一元二次方程，恰有两个且互不全等等价于该方程有两个不等的正实数根，于是要求，于是得到的取值范围，再根据两个三角形的周长之和为，可得其取值范围为.解答过程：由余弦定理可得，所以，整理为关于的一元二次方程，该方程有两个不等的正实数根，所以且且，解得.由韦达定理可知，所以这两个三角形的周长之和为.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知空间中的一个四棱柱，则该几何体为平行六面体的充分不必要条件可以是（）A.四个侧面均为矩形 B.所有的面均为矩形C.底面为平行四边形 D.所有的面均为菱形答案：BD解析：思路：根据平行六面体的定义及充分条件、必要条件的概念判断即可.解答过程：因为空间中的一个四棱柱，其侧面都为平行四边形，所以只要底面是平行四边形，即为平行六面体，故A既不是充分条件也不是必要条件，B是充分不必要条件，C是充要条件，D是充分不必要条件.10.已知空间非零向量，，，则（）A.，可以相互垂直B.，为平面的共面向量C.是平面的一个法向量D.，不能作为其确定平面内的一组基底答案：BC解析：思路：根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误.解答过程：若，相互垂直，则，解得，与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误；，的竖坐标均为0，所以，均在平面内，所以，为平面的共面向量，所以选项B正确；，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴，是平面的一个法向量，所以选项C正确；因为，是非零向量，所以，所以，不共线，所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误.11.已知函数，则（）A.曲线关于点中心对称B.在上单调递增C.的最小正周期为D.的值域为答案：AD解析：思路：根据给定条件，利用辅助角公式及二倍角的余弦公式化简函数，利用中心对称的定义判断A；举例说明判断BC；换元并借助分式函数求出值域判断D.解答过程：函数，其定义域为R，对于A，因，则曲线关于点中心对称，故A正确；对于B，由，得，故B错误；对于C，由，得，故C错误；对于D，令，，易得函数为奇函数，因；当时，，函数在上单调递减，则，故，当时，由奇函数性质得，因此函数的值域为，即的值域为，故D正确.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若一个球在数值上体积等于其表面积的2倍，则该球的表面积为________．答案：解析：解答过程：设球的半径为，则，解得,所以球的表面积.13.在中，内角所对的边分别为，且，则的外接圆直径为________．答案：解析：思路：根据题意，利用正弦定理，求得，进而求得外接圆的直径，得到答案.解答过程：设的外接圆的半径为，因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，所以的外接圆直径为.14.一位眼高（眼高为眼睛到地面的距离）为的同学希望测量水平地面上某圆台巨型建筑的高度，记该圆台的上底面边缘离他最近的点为．该同学眼睛在点处时，测得的长度为；随后他在地面上直线后退，此时眼睛到达点处，测得的长度为．若直线与点在同一铅垂面内，则该圆台的高度为________．答案：解析：思路：根据题意画出示意图，结合余弦定理即可求解.解答过程：根据题意，得到示意图如下，其中，，，，表示圆台的高度，在中，由余弦定理可知，在直角三角形中，，所以，所以，因此圆台的高度四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数，．（1）求；（2）若函数在区间上有且仅有3个零点，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用三角恒等变换化简，再由即可求解；（2）由（1）得，进而得，再由在区间上有且仅有3个零点，得，解出即可.（1）由题意得：，又，所以，所以，又，所以；（2）由（1）得，又，所以，又因为函数在区间上有且仅有3个零点，所以，整理可得，所以的取值范围为．16.如图，平行六面体中，，，、分别为棱、的中点，为线段上一点（包含端点），且满足．（1）若、、三点共线，求；（2）若，求长度的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）设基向量，，，表示出，结合、、三点共线，可设，根据向量相等即可求解；（2）根据向量的线性运算可得，结合，可得相关参数的不等关系，即可求解.（1）设基向量，，，则，，因为，所以，因为、、三点共线，设，则，所以，，，得．（2）因为，且，，设，，，所以，得，即，故，即，所以长度的取值范围为．17.已知方程（）存在两个不等虚根，，其在复平面中对应的点分别为，．（1）证明：，的纵坐标互为相反数；（2）若点，均在单位圆上，求实数的值．答案：（1）因为方程存在两个不等虚数根，所以判别式，解得，根据求根公式，，其中是虚数单位，所以两个虚数根分别为与，对应的点分别为和，因此点，的纵坐标分别为与，或分别为与，所以，的纵坐标互为相反数.（2）解析：思路：（1）根据题意，结合求根公式得到两个复根，从而得到对应的点的坐标即可判断；（2）根据题意，得到，利用模长的公式计算即可求解.（1）略.（2）若点，均在单位圆上，则对应复数的模均为，即．由（1）可知，与，任一虚数根的模的平方为，解得，当时，，方程确有两个不等虚数根，所以实数的值为．18.在中，，，．点，分别在线段与上，且，．将绕点旋转得到，其中点，旋转后分别为点，．（1）求的长；（2）证明：旋转过程中，为定值；（3）求旋转过程中，的最大值与最小值．答案：（1）（2）设旋转角为，令．旋转保持线段长度不变，所以，．由于点在射线上，点在射线上，旋转时射线与同时转过同一个角，所以．由余弦定理得，．因此，所以旋转过程中，为定值12．（3）最大值为，最小值为．解析：思路：（1）直接用余弦定理求边长；（2）设旋转角，由旋转性质得、长度，余弦定理分别表示、，作差消去参数证定值；（3）利用平方差变形，结合，取值范围求最值.（1）由余弦定理得，所以．（2）略.（3）由（2）得，所以，从而．因为，所以．对任意旋转位置，线段的长度不小于，不大于；线段的长度不小于，不大于．所以不小于4，且不大于12．当旋转角为时，点在线段上，点在线段上，此时，，所以，．当旋转角为时，点在点，之间，且点在点，之间，此时，，所以，.的最小值为4，最大值为12．故的最大值为，最小值为．19.在三棱柱中，点，分别为线段，上不与端点重合的点，且与平面不平行．设直线，，分别与平面交于，，三点．（1）证明：，，均在一条直线上；（2）若平面，且三棱柱的体积为四棱锥的体积的2倍，求的值；（3）若是以为斜边的直角三角形，判断1是否能为二面角的平面角，并说明理由．答案：（1）设平面为，平面为，因为，，均在平面内，且，，分别在平面内，所以，，均为平面与平面的公共点．又，，所以与是两个不同平面，两个不同平面有公共点时，公共点在它们的交线