2026-2027学年山西省吕梁市汾阳市第二高级中学校、方山县高级中学等高三上学期开学考试数学试卷（含解析）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.2.设命题，，则（）A.， B.，C.， D.，3.已知幂函数的定义域为，则（）A.0 B.2 C.3 D.14.已知为实数，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则5.已知函数，则（）A.2 B.1 C.0 D.66.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（）参考数据：．A.年 B.年 C.年 D.年7.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知和都是定义在上的奇函数，设则下列说法正确的是（）A.是减函数 B.是奇函数C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的有（）A.B.C.D.10.已知集合，，则（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“中只有一个元素”是“”的充要条件D.“”是“”的既不充分也不必要条件11.设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（）A.曲线关于轴对称 B.是周期函数C.当时， D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为______．13.已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．14.设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．16.已知.（1）若不等式的解集为，求实数，的值；（2）解关于的不等式.17.已知函数，．（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；（2）若，均有，求的取值范围．18.已知函数．（1）当时，解不等式（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．19.已知函数.（1）是否可以为的极值点？请说明理由；（2）证明：若在上单调，则在上单调；（3）若有三个零点，证明.

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用补集的定义可求得集合.解答过程：已知全集，，则.故选：B2.设命题，，则（）A.， B.，C.， D.，答案：B解析：思路：根据存在量词命题的否定的定义求解即可.解答过程：根据存在量词命题的否定的规定，由命题，，可得，.故选：B.3.已知幂函数的定义域为，则（）A.0 B.2 C.3 D.1答案：C解析：思路：由函数是幂函数解得或，再检验即可.解答过程：由题意，解得或，当时，的定义域为，符合题意，当时，的定义域不为，不符合题意，综上，.故选：C.4.已知为实数，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则答案：C解析：思路：由不等式的性质逐项判断即可.解答过程：对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误；对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误；对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：C.5.已知函数，则（）A.2 B.1 C.0 D.6答案：A解析：解答过程：令，则，所以，所以．6.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入．若该公司年全年投入芯片制造方面的研发资金为亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过亿元的年份是（）参考数据：．A.年 B.年 C.年 D.年答案：C解析：思路：由题可知每年投入的研发资金数成以为公比，以为首项的等比数列，再令，通过取对数运算可得，进而可得所求年份.解答过程：由题意知，从年起，每年投入的研发资金数成以为公比的等比数列，设该数列为，则.令，得，两边取对数，得，即，所以，即.所以时，该公司全年投入的研发资金开始超过亿元，即研发资金开始超过亿元的年份为年．7.已知，且，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：设，则得且，由，利用基本不等式推得，解不等式即得.解答过程：因，设，则，由可得，则有，当且仅当，即时，等号成立，即得，解得，即的最小值为.故选：D.8.已知和都是定义在上的奇函数，设则下列说法正确的是（）A.是减函数 B.是奇函数C. D.答案：D解析：思路：举反例即可求解ABC，根据，以及的表达式即可求解D.解答过程：若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，而，由于，故不是定义在R上的奇函数，且不是单调递减函数，故AB错误；若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，而,而，当时，，不满足，C错误；，而，故，而考虑到，故因此因此时，时，，故，D正确，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列求导运算正确的有（）A.B.C.D.答案：AC解析：思路：由常见函数的导数和求导法则计算可得.解答过程：选项A：这是复合函数求导，令，，代入，所以，运算正确.选项B：因为是常数，常数的导数为，因此，并非，运算错误.选项C：根据商的求导法则，所以，运算正确.选项D：根据基本求导公式，，，因此，并非​，运算错误.10.已知集合，，则（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“中只有一个元素”是“”的充要条件D.“”是“”的既不充分也不必要条件答案：ABD解析：思路：根据充分条件、必要条件的概念判断解答过程：对于A：若，，或，则至少含有一个元素，；若，则不一定有，比如时，，；因此“”是“”的充分不必要条件，A正确；对于B：或，若，则必有；若，则不一定有，比如时，，不是的子集，因此“”是“”的必要不充分条件，B正确；对于C：若中只有一个元素，则，当，且时，，即“中只有一个元素”不是“”的充分条件，C错误；对于D：若，则，此时，不是的子集；若，则，，但所以“”是“”的既不充分也不必要条件，D正确；故选：ABD.11.设定义在上的奇函数的导函数为，对于，都有，当时，，则（）A.曲线关于轴对称 B.是周期函数C.当时， D.答案：ABD解析：思路：选项A：由，两边求导可得答案；选项B：由，得，从而证得是周期函数；选项C：结合的奇偶性和周期性可判断；选项D：结合的周期性即可求.解答过程：选项A：已知是奇函数，则，两边求导得：即，故是偶函数，曲线关于轴对称，选项A正确;选项B：由，替换为得：故，则的周期为4，替换为得：，故可设又由，设,故，由是奇函数，得易得，替换为得：，故，故的周期为4,故选项B正确；选项C：当时，，令，则，由选项B知，且是奇函数，得，故，则：，故选项C错误；选项D：由周期为4，即，替换为得：则，由选项B知，故，又，故，由，得，则：，故选项D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.曲线在点处的切线方程为______．答案：解析：思路：利用导数的几何意义，结合导数的运算、直线的点斜式方程进行求解即可.解答过程：由，所以在点处切线的斜率为，因此切线方程为：，故13.已知定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为__________．答案：解析：思路：利用偶函数性质和单调性即可求解不等式.解答过程：由定义在上的偶函数可得：，所以不等式等价于不等式，又因为在上单调递减，所以，整理得：，即解得：或，则不等式的解集为，故14.设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______．答案：①.2②.解析：思路：令，则，由得，进而得，作出的图象，利用数形结合即可求解；由题意，进而得，令，则，令，利用导数法研究单调性得，又时，，可得，即可求解.解答过程：令，则，所以，由，因为，所以，作出的图像：

由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2；由有，所以，所以，令，则，令，则，所以在上单调递减，所以当时，，所以，又因为时，，所以，且当时，，又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，所以，所以.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）计算，根据得到，考虑，两种情况可求解；（2）考虑，两种情况可求解.（1）因为，因为，所以，①当，即时，，符合题意；②当，即时，，若，则，所以．所以实数的取值范围是．（2）由（1）知当时，，不合题意；当时，，要使，必有且，故．综上，实数的取值范围是．16.已知.（1）若不等式的解集为，求实数，的值；（2）解关于的不等式.答案：（1）（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为.解析：思路：（1）利用是方程的两根，利用韦达定理可得值；（2）解得关于的方程的两根，根据两根大小分类讨论得不等式的解集．（1）因为的解集为，所以，是方程的两根，且.所以解得（2）由题意知，所以，方程的两根分别为，，①当，即时，不等式的解为，故的解集为；②当，即时，不等式的解为或，故的解集为；③当，即时，不等式的解为或，故的解集为.17.已知函数，．（1）若在区间上单调递增，求的取值范围；（2）若，均有，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）将单调性转化为在区间上恒成立，求导，分离参数，求解函数的最值即可得解，（2）利用换元，将问题转化为在恒成立，构造函数，利用导数求解最值即可求解.（1）由于在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，故，即在区间上恒成立，由于函数在区间上单调递增，故当时，取到最大值，故.（2）由题意可得对，恒成立，即，令，则，由于恒成立，故在单调递增，故，因此在恒成立，故，记，则，故当，因此在单调递减，在单调递增，故，故.18.已知函数．（1）当时，解不等式（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：(1)利用对数的性质可求解；（2）先利用对数函数的单调性得到，化简可得，分类讨论并结合定义域可求解.(3)利用复合函数的单调性可知在上单调递减，从而得到，分离参数可得，结合换元法和函数单调性可求解.（1）当时，，所以，即，由，得，或；由，得，故原不等式的解集为．（2）由，得，所以，由，得，即，①当时，方程①的解为，经检验符合题意；当，即时，方程①的解为，经检验符合题意；当且时，方程①的解为，或，若是原方程的解，则，所以，若是原方程的解，则，所以，因为中仅有一个是原方程的解，则和中仅有一个成立，所以．综上所述，的取值范围为．（3），令，则在上单调递减，所以，，由题意得，即，所以．设，因为，则，所以，当，即时，，当时，即，因为在上单调递减，所以，所以，所以，即的取值范围是．19.已知函数.（1）是否可以为的极值点？请说明理由；（2）证明：若在上单调，则在上单调；（3）若有三个零点，证明.答案：（1）不可以为的极值点.理由如下：函数的定义域为..若是的极值点，则，即，解得.此时，，.令，则.令，则.所以在上单调递增.因为，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以在处取得极小值，即最小值，最小值为.所以在上恒成立，所以在上恒成立.所以在上单调递增，无极值点.故不可以为的极值点.（2）函数的定义域为..当时，恒成立，所以在上单调递增，满足题意；当时，令.因为，当且仅当时，等号成立.所以若在上单调，则只能单调递增.所以在上恒成立，即在上恒成立.所以恒成立.因为，当且仅当时，等号成立.所以，即.则，令，则由（1）得在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立.所以在上单调递增.（3）有三个零点，所以.不妨设.由（2）知，且在上不单调.所以.函数的定义域为..令，则，令，则由（1）得在处取得极小值，即最小值，最小值为.所以.当时，；当时，.令，则.令，则.所以在和上各存