2026-2027学年陕西省榆林市第十中学高三上学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

/数学考试时长：120分钟试卷总分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设是第三象限角，且，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.4.已知函数的图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.5.若直线与曲线相切，则实数（）A. B. C.1 D.26.一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（）A.2h B.4h C.20h D.40h7.已知函数满足，若函数与图像的交点为则A.0 B. C. D.8.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.二、选择题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.下列等式计算正确的有（）A. B.C. D.11.设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______.13.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．14.已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________．四、解答题：（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为．（1）求和的值；（2）求的值．16.已知幂函数为偶函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数，且在的最小值为，求的值.17.已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）求的极小值．18.已知．（1）求的值；（2）求的值．19.已知函数.（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，证明.

数学考试时长：120分钟试卷总分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，解得，，又，所以.2.设是第三象限角，且，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角答案：B解析：思路：由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限.解答过程：因是第三象限角，则，所以，当时，，即是第二象限角；当时，，即是第四象限角.又由可知，所以是第二象限角.3.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：∵，，且，∴，当且仅当，即时等号成立.将代入，解得，，满足，等号可取.∴的最小值为.4.已知函数的图象如下，则的解析式可能为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.解答过程：由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；又当时，此时，由图可知当时，，故C不符合，D符合.故选：D5.若直线与曲线相切，则实数（）A. B. C.1 D.2答案：D解析：思路：根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值.解答过程：对，求导得.由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为.代入曲线方程得，所以.6.一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（）A.2h B.4h C.20h D.40h答案：B解析：思路：由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.解答过程：设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选：B.7.已知函数满足，若函数与图像的交点为则A.0 B. C. D.答案：B解析：解答过程：[方法一]：直接法.由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，∴，故选B．[方法二]：特值法.由得不妨设因为，与函数的交点为∴当时，，故选B．[方法三]：构造法.设，则，故为奇函数.设，则，故为奇函数.∴对于每一组对称点.将，代入，即得∴，故选B．[方法四]：由题意得,函数和的图象都关于对称,所以两函数的交点也关于对称,对于每一组对称点和，都有.从而.故选B.考点：函数的性质.【易错方法提示：本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度.8.已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案解答过程：设，则，所以在上单调递增.于是，即，解得.二、选择题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：解答过程：，A选项正确；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确.10.下列等式计算正确的有（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解.解答过程：对于A，，故A错误；对于B，,故B正确；对于C，,故C正确；对于D，,故D正确.11.设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：先分析分段函数的图像特征，确定与有四个交点时的取值范围，再根据交点横坐标的关系判断各选项.解答过程：作出的函数图像如下，因为函数有四个零点，所以函数的图像有4个不同的交点，，所以，故A错误；由图可得关于对称，所以，故B正确；由图可得且，则有，即，所以，故C正确，令解得，所以，由，得，根据对勾函数性质可知在区间上单调递增，所以，即，故D正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______.答案：解析：解答过程：因为扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为.13.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______．答案：解析：思路：首先根据函数在上单调递减得到在上恒成立，接着参变分离求得参数的取值范围即可.解答过程：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，因为，所以在上恒成立，参变分离得在上恒成立，根据二次函数的图像性质得到：函数在上的最大值为，所以实数a的取值范围是，故答案为.14.已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________．答案：7解析：思路：画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数.解答过程：如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，，故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象，再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）．方程的解为或，由图可知的解有3个．因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解．综上，方程的所有实根个数为7．四、解答题：（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为．（1）求和的值；（2）求的值．答案：（1），；（2）解析：思路：（1）利用任意角的三角函数的定义求得，的值，即可求出，再根据二倍角公式求出的值；（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．解答过程：解：（1）由题意，，则，．，；（2）．16.已知幂函数为偶函数.（1）求函数的解析式；（2）若函数，且在的最小值为，求的值.答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可；（2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可.（1）由为幂函数，则，即，解得：或，当时，，由函数的定义域关于原点对称，且，此时函数为偶函数，满足题意，当时，，由函数的定义域关于原点对称，且，此时函数为奇函数，不满足题意，综上所述，函数.（2）由（1）知，则函数，所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数，①当时，在上单调递增，此时，又在的最小值为，所以，解得：，满足题意，②当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，又在的最小值为，所以，解得：（舍去）或，③当时，在上单调递减，此时，又在的最小值为，所以，解得：，不满足题意，综上所述，的值为或.17.已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）求的极小值．答案：（1）；（2）4解析：思路：（1）列出不等式直接求解即可.（2）求出函数的导数，并探讨单调性，再确定极值点并求出极值.（1）由，解得，所以x的取值范围为.（2）函数的定义域为，求导得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在单调递减；当时，在上单调递增，所以当时，取得极小值.18.已知．（1）求的值；（2）求的值．答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得.（2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得.（1）由，得，又，则，，所以.（2）由（1）知，而，则，因此，又，所以.19.已知函数.（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，证明.答案：（1）（2）因为是函数的两个极值点，所以，由（1）可知：，不妨设，要证明，只需证明，显然，由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，而，所以证明即可，即证明函数在时恒成立，由，显然当时，，因此函数单调递减，所以当时，有，