北师大版数学八年级下册 第6章 平行四边形（高效培优单元自测·提升卷） 试卷 含答案

平行四边形（高效培优单元自测·提升卷）（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在平行四边形中，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．2．如图，在中，于E，于F，若，，，则长为（

）A．2 B． C．3 D．43．如图，在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（

）A．20 B．21 C．22 D．234．四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．，C．， D．，5．如图，中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（

）A．3 B． C．2 D．7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，，则的长为（

）A．12 B．13 C．14 D．158．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（

）A．3 B． C． D．9．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（

）A．3 B．2 C．2.5 D．410．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______．12．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________．13．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________．14．如图，中，过对角线的交点O，如果，，，则四边形的周长为________．15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________．16．如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，，．求证：四边形是平行四边形．18．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：．19．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．(1)求证：；(2)若，，求的长．20．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．(1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形；(2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．21．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、．(1)证明：平分；(2)当时，求的长；(3)当等腰三角形时，求的长．22．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．(1)设的面积为，请用含的式子表示；(2)当为何值时，四边形是平行四边形？(3)当为何值时，的长度为？23．已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角．24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长；(3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．25．如图，在中，于点，，连接交于点．(1)如图1所示，，，求的值．(2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接．①证明：．②直接写出的等量关系．

平行四边形（高效培优单元自测·提升卷）（考试时间：60分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在平行四边形中，已知，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行四边形对角相等的性质，结合已知条件即可求出的度数．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴．2．如图，在中，于E，于F，若，，，则长为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：∵在中，，，，，∴，即，∴．3．如图，在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（

）A．20 B．21 C．22 D．23【答案】B【分析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分，求出和的长度，再结合已知的长度，即可计算的周长．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，，的周长．4．四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．，C．， D．，【答案】C【详解】解：对于选项C：∵，，，∴．∴．同理可得．∴四边形为平行四边形．选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件．5．如图，中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据平行四边形的性质证明，从而得出阴影部分的面积等于的面积，即平行四边形面积的四分之一；利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出平行四边形的面积即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，在和中，∠OBE=∠ODF∴，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴．6．如图，在中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，∴是的中位线，∴．7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，，则的长为（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】由平行四边形的性质得到，再由角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，由三线合一定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵的平分线交于点E，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．8．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可．【详解】解：延长，交的延长线于点M，∵是边的中点，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵F是边上的中点，∴，，∵，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴．9．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（

）A．3 B．2 C．2.5 D．4【答案】A【分析】证明，三角形的中位线定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果.【详解】解：∵平行四边形中，平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵点F，G分别是和的中点，，，∴，∴.10．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根据余角的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，说明①正确；证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，判断②正确；根据，，，即可得出，判断③错误；根据勾股定理得出，根据，得出，即可判断④正确．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，在平行四边形中，，∴，故①正确；∵，，∴，∴为等腰直角三角形，∴，在和中，，，，在平行四边形中，，∴，故②正确；∵在平行四边形中，，∴，，，，，故③错误；∵在平行四边形中，，∴，，∵，，故④正确；综上，正确的有①②④．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______．【答案】米【分析】利用三角形中位线定理即可求解．【详解】解：∵是中点，是中点，∴是中位线，∴，∴（米），∴，两点间的距离为米．12．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________．【答案】【分析】由平行四边形的性质可得，，由三角形的中位线性质可得．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∵点、分别是、的中点，∴是的中位线，∴．13．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________．【答案】42【分析】根据平行四边形的性质得到轴，由点的坐标得到，，根据平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴轴，∵点的坐标为，∴，，∴．14．如图，中，过对角线的交点O，如果，，，则四边形的周长为________．【答案】【分析】利用平行四边形的性质得到相应条件，证明，再根据全等三角形的性质，得到，，再根据求解即可．【详解】解：根据平行四边形的性质，得，，，又，，，，，，，四边形的周长为：．15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________．【答案】【分析】根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴，∵的周长是，∴，∵点，分别是线段，的中点，∴是的中位线，∴．16．如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______．【答案】【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：如图，连接，∵点、分别是、的中点，∴，∴当取最小值时，可取得最小值，如图，过点作于点，此时线段的长最小，∵四边形是平行四边形，∴∴在中，，．∴，∴，∴，∴的最小值是．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．如图，，．求证：四边形是平行四边形．【答案】证明过程见详解【分析】本题主要考查平行四边形的判定，掌握其判定是关键，根据内错角相等，两直线平行得到，结合题意，根据两组对边平行的四边形是平行四边形即可求解．【详解】证明：∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形．18．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：．【答案】见解析【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质．根据平行四边形的性质证明，即可得出结论．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，，，，．19．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定，熟练掌握全等三角形、平行四边形的判定方法是解题的关键．（1）由点为的中点可得，由两直线平行，内错角相等，得出，利用即可证明；（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，从而得到，由点为的中点可得，即可求得的长．【详解】（1）证明：点为的中点，，，，在和中，，；（2）解：，，四边形是平行四边形，，点为的中点，，，．20．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．(1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形；(2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和网格的特点，掌握平行四边形的性质是解题的关键．（1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可．（2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可【详解】（1）取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形．（2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积．21．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、．(1)证明：平分；(2)当时，求的长；(3)当等腰三角形时，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)2【分析】（1）根据折叠的性质，以及同角的余角相等证明即可；（2）令与的交点为，利用平行四边形的性质和勾股定理，先求出，再结合折叠的性质，推出，进而证明，设，利用等面积法列方程求解即可．（3）当等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，过点作于点，证明，得到，即可得解；②当时，得出，结合垂线段最短，可得出不符合题意；③当时，结合斜边大于直角边，可得出不符合题意．【详解】（1）证明：，，，由折叠的性质可得，，，平分；（2）解：如图，令与的交点为，在中，，，，，，，，，由折叠的性质可知，，，，，，在和中，，，，设，则，，，解得：，即的长为；（3）解：分三种情况讨论：①当时，如图，过点作于点，，，由折叠的性质可知，，由（1）可知，平分，，，在和中，，，，，；②当时，，，，，，不符合题意；③当时，，，，不符合题意，综上可知，的长为2．22．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．(1)设的面积为，请用含的式子表示；(2)当为何值时，四边形是平行四边形？(3)当为何值时，的长度为？【答案】(1)(2)当时，四边形是平行四边形(3)当或时，的长度为【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可；（2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解；（3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒），∵其中一个动点到达端点时运动停止，∴的取值范围是，由题可知：，，则，∵，∴∵，∴点到的距离等于的长，∴；（2）解：∵，点在上，点在上，∴，若要使四边形为平行四边形，只需，即：解得：经检验，在范围内，符合题意，∴当时，四边形是平行四边形；（3）解：过点作于点，则∵，∴，∴又∴四边形为平行四边形，∴，，在中，由勾股定理得：其中，，，∴∴由此可得两种情况：①当时，解得②当时：解得经检验，和均在范围内，均符合题意，∴当或时，的长度为．23．已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q．(1)如图1，求证：；(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角．【答案】(1)见解析(2)，，，【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由平角的定义可得，则可证明，由线段中点的定义得到，则，据此可证明结论；（2）根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到；则可得到，进而得到，则，，再由平行四边形对角相等可得．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴；由折叠的性质可得，∵，∴，∴；∵点E是中点，∴，∴，又∵，∴；（2）解：由（1）得，∴；∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴图中所有与相等的角为，，，．24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点．(1)如图1，求证：；(2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长；(3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)【分析】（）根据平行四边形的性质得到，，再根据角平分线得到平分，平分，通过即可求证．（）延长交于,通过，点为中点，平分，平分，求得，，再根据，证得；同理可证,得到是的