2026-2027学年广东省广州市增城区增城中学高三上学期综合练习（一）数学试卷（含解析）

/数学满分为150分，考试时间为120分钟第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分．1.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量与的方向相同，，，则（）A. B. C. D.4.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.5.若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.7.已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.8.在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（）A.1 B. C. D.二、选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.若，，则B.“”是“”的充分不必要条件C.若，则D.设，则的最小值为10.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.若平面，则点的轨迹的长度为C.若，则点是的中点D.若，则点的轨迹的长度为11.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（）A.B.函数的一个周期为4C.当时，D.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分．12.已知为数列的前项和，若，则__________．13.已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________．14.互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称.（1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________.（2）若函数与函数互为反函数，则_______________.四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）．（1）证明：；（2）当时，求二面角的余弦值．16.已知等比数列中，，，数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.17.如图，在三棱台中，平面，，，为的重心．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．18.已知数列是等比数列，且，．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明：．（3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．19.设函数，.（1）若，求函数的零点；（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（3）设，，若对任意的，存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

数学满分为150分，考试时间为120分钟第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．多选、错选均不得分．1.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先求得，再求模即可.解答过程：复数z满足，则，所以.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：解分式不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.解答过程：由，则，即，解得，所以，由，即，解得，即，所以.故选：D3.已知向量与的方向相同，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：向量与的方向相同，，可设，，由，解得，所以有.4.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：因为在等差数列中，，，，所以，即，即，即，即.5.若圆锥的轴截面是底边长为4，顶角为的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意，圆锥的底面半径，设母线长为，则，所以该圆锥的侧面积为.6.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：先分析奇偶性，判断B、C；再利用特殊点辨析A、D.解答过程：，，是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C．，在x轴上方，所以排除A.故选：D．方法提示：思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．7.已知定义域为R的奇函数（a，m，），则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据奇函数性质求得，再求的定义域，并结合复合函数单调性法则“同增异减”判断即可.解答过程：，因为是定义在R上的奇函数，所以，即恒成立，所以，解得，所以，定义域为，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”可得在上单调递增，在上单调递减，所以，函数的单调递增区间为.8.在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（）A.1 B. C. D.答案：A解析：思路：通过余弦定理确定的中点为底面外接圆的圆心，再确定球心在上，通过列方程即可求解.解答过程：由题意四边形有外接圆，则，即，得，即，故，取的中点为，即为四边形外接圆的圆心，且外接圆半径，又，可得在底面上的投影为，即底面且，故外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，由，得，解得.二、选择题：本题包括3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中，正确的是（）A.若，，则B.“”是“”的充分不必要条件C.若，则D.设，则的最小值为答案：BCD解析：思路：通过反例验证选项A的错误；通过充分不必要条件的定义分析选项B；利用不等式的性质推导选项C；通过换元法结合函数单调性求解选项D的最值.解答过程：选项A：取反例：，，，，此时，，，故A错误.选项B：若，则，两边除以得；若，取，，满足，但不满足.故“”是“”的充分不必要条件，B正确.选项C：由，知（否则不等式不成立），故，两边除以得，C正确.选项D：令，则，.函数在上单调递增，故时，，即最小值为，D正确.故BCD10.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（）A.的最小值为B.若平面，则点的轨迹的长度为C.若，则点是的中点D.若，则点的轨迹的长度为答案：ABD解析：思路：选项A：把平面与平面展开成一个矩形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理求展开后与距离，得最小值．选项B：先证明平面平面，由线面平行性质可知，平面时，轨迹是线段，再用勾股定理求其长度．选项C：建立空间直角坐标系，得到向量与，根据向量垂直时数量积为0列方程求解点位置，判断不是中点．选项D：设坐标，根据空间两点距离公式列方程，得到轨迹方程，确定其轨迹是圆，用圆周长公式求轨迹长度．解答过程：将平面与平面展开在一个平面上，此时的最小值为展开后与两点间的距离．展开后得到一个矩形，矩形的两边长分别为和．根据勾股定理，则，所以的最小值为，故A正确．因为，，，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，若平面，则点的轨迹是线段．在正方形中，边长为，根据勾股定理可得，即点的轨迹长度为，故B正确．以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，设，．，．因为，所以，即，解得，所以不是的中点，故C错误．设，，，已知，由，根据空间两点间距离公式可得：，即．所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．根据圆的周长公式，则点的轨迹长度为，故D正确．11.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，均有.当时，，则下列结论正确的是（）A.B.函数的一个周期为4C.当时，D.答案：BD解析：思路：对于A，利用是定义在上的偶函数和，将转化至区间内求解.对于B，由得到，得到函数的一个周期为4对于C，利用的函数解析式，结合可以得到的函数解析式对于D，利用函数的周期性得到解答过程：当时，，则；对于B选项，由可知，所以，即，故函数的一个周期为4.故B选项正确.对于A选项，因为函数的一个周期为4，所以，又因为，所以，故A选项错误.对于C选项，设，则，所以.所以.所以C选项错误.对于D选项，由函数的一个周期为4，且是定义在上的偶函数可知，由可知，.由时，，且函数的一个周期为4可知，.所以.又因为函数的一个周期为4，所以，所以，故D选项正确.第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题包括3小题，每小题5分，共15分．12.已知为数列的前项和，若，则__________．答案：解析：思路：利用可得答案.解答过程：当时，，当且时，，将代入得，与不符，故不满足上式.综上，.13.已知命题：“,”为假命题，则的取值范围是____________．答案：解析：思路：首先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，求的取值范围.解答过程：命题的否定为“，”，为真命题，当时，恒成立，当时，，解得：，综上可得：的取值范围是14.互为反函数的两个函数图象关于直线对称，如：指数函数和对数函数的图象关于直线对称.（1）已知函数和函数互为反函数，点在的图象上，则_______________.（2）若函数与函数互为反函数，则_______________.答案：①.2②.6解析：思路：根据互为反函数的性质，定义域和值域互换，逐个分析计算即可解答过程：（1）函数和函数互为反函数，在的图象上，根据反函数性质，知道在图象上，代入计算.（2）与互为反函数，知道定义域和值域互换.的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，则，代入解析式得到，求出反函数得到，化简得到，即的反函数为.对照，得到.故2；6.四、解答题：本题包括5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）．（1）证明：；（2）当时，求二面角的余弦值．答案：（1）证明见解析（2）．解析：思路：（1）利用线面垂直的判定性质推理得证.（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.（1）在长方体中，连接，由，得底面是正方形，则，由平面，平面，得，又，平面，因此平面，无论点在线段上如何移动，平面，所以.（2）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，连接，则，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，则，由图知，二面角的余弦值为钝角，所以所求余弦值为.16.已知等比数列中，，，数列满足.（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）首先求出公比，即可求出的通项公式，再代入得到的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得.（1）设等比数列的公比为，因为，，则，解得，所以，又，所以；（2）由（1）可得，所以，则，所以，所以.17.如图，在三棱台中，平面，，，为的重心．（1）证明：平面；（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）延长，与交于点，过点作，垂足为，连接．根据重心的性质，知为的中点，且．由于，所以，又因为，所以，因为平面，平面，所以平面．因为，，所以，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，平面,所以平面．又因为，平面,所以平面平面，因为平面,所以平面．（2）．解析：思路：（1）证明线面平行可通过面面平行证明，借助三棱台性质、三角形重心的比例关系寻找平行线；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用向量夹角公式算平面与平面夹角的余弦值.（1）略（2）以为坐标原点，直线，分别为轴、轴，过作垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，平面，由已知可得，，，，的重心，由三棱台可得，，所以，从而，，所以，则，，，设是平面的法向量，则，即，取．，设是平面的法向量，则，即，取，所以，则平面与平面夹角的余弦值为．18.已知数列是等比数列，且，．（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，证明：．（3）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列前项的和．答案：（1）（2）由（1）知，代入得，则数列的前项和为，因为，所以，从而，故；又因为随着的增大而增大