中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案 (2026年荆门)

中国精算师职业资格考试（准精算师概率论与数理统计）模拟试题及答案(2026年荆门)一、单项选择题（每题2分，共30分）1.某保险公司销售甲、乙、丙三款医疗险，投保人数占比分别为60%、30%、10%，三款产品的年度理赔概率分别为5%、10%、20%。现随机抽取一名投保人，已知该投保人年度内发生了理赔，则其投保的是丙款产品的概率为（）。A.10%B.25%C.30%D.40%2.已知某险种的单次索赔额X服从参数为λ=A.eB.eC.1D.13.设随机变量X与Y满足E(X)=2，E(Y)=A.7B.13C.19D.25$$\begin{align*}

\text{Var}(2X-Y)&=4\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)-4\text{Cov}(X,Y)\\

&=4\times4+9-4\times0.5\times\sqrt{4}\times\sqrt{9}\\

&=25-12=13

\end{align*}$$4.设二维随机变量(X,Y)服从标准二维正态分布，相关系数为A.1B.1C.1D.15.设随机变量X与Y的联合分布为：P(X=0,Y=0)=0.2A.-0.2B.0C.0.2D.0.56.某保险公司的车险保单共有10000份，每份保单的年度索赔额独立同分布，期望为2000元，标准差为1500元。根据中心极限定理，年度总索赔额超过2050万元的近似概率为（）（已知Φ(3.33)≈0.9996A.0.0004B.0.005C.0.025D.0.17.设X1,X(2)$分布的是（）。A.XB.(C.XD.(8.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,XA.XB.1C.SD.样本中位数9.设总体X服从正态分布N(μ,σ2)，其中σ2未知，从总体中抽取样本量为n(15)=2.131$，$t_{0.025}(16)=2.120$，$z_{0.025}=1.96$）。A.(45.86,54.14)B.(46.08,53.92)C.(46.27,53.73)D.(47.04,52.96)x代入得50±10.在假设检验中，当样本量固定时，若将显著性水平α从0.05提高到0.1，则第二类错误的概率β将（）。A.增大B.减小C.不变D.无法确定11.某保险公司声称其意外险的平均理赔额不超过1000元。为验证该声称，监管部门随机抽取了25笔理赔，算得样本均值为1080元，样本标准差为150元。假设理赔额服从正态分布，在显著性水平α=(24)=1.711$，$t_{0.025}(24)=2.064$，$z_{0.05}=1.645$）。A.拒绝原假设，认为平均理赔额超过1000元B.不拒绝原假设，认为平均理赔额不超过1000元C.拒绝原假设，认为平均理赔额不超过1000元D.不拒绝原假设，认为平均理赔额超过1000元12.在单因素方差分析中，因素有4个水平，每个水平下有5个观测值，则误差平方和的自由度为（）。A.16B.19C.3D.1513.在一元线性回归分析中，若判定系数R2A.0.8B.-0.8C.±D.0.6414.设某财产险公司的家财险索赔次数服从参数为λ=2次/年的泊松分布，车险索赔次数服从参数为A.泊松分布，参数为3B.泊松分布，参数为7C.负二项分布，参数为2和5D.正态分布，参数为7和715.设集合风险模型中，索赔次数N服从参数为λ的泊松分布，单次索赔额X服从均值为θ的指数分布，N与X独立，每次索赔额相互独立，则总索赔额S的方差为（）。A.λB.λC.2D.λVar其中Var(S|Var二、多项选择题（每题3分，共15分。每小题的备选答案中，有两个或两个以上符合题意，多选、少选、错选均不得分）1.设A、B为任意两个随机事件，概率均大于0，下列说法正确的有（）。A.若A、B相互独立，则PB.若A、B互不相容，则PC.若P(A)D.若P(AB)=E.若B⊂A2.关于伽马分布Ga(α,λ)（概率密度为fA.指数分布是伽马分布的特例（α=B.两个独立同尺度参数λ的伽马分布Ga(α1,C.伽马分布可用于描述索赔额的分布D.伽马分布的偏度为正E.当α很大时，伽马分布近似于正态分布3.设X1,X2,…,XnA.X是μ的无偏估计B.S2是σC.X服从正态分布ND.(n−1)SE.X与S24.关于假设检验的p值，下列说法正确的有（）。A.p值是在原假设为真的条件下，观测到的样本结果或更极端结果出现的概率B.p值越小，拒绝原假设的证据越充分C.当p<D.双侧检验的p值是对应单侧检验p值的2倍（检验统计量分布对称时）E.p值的大小与样本量无关5.关于一元线性回归模型Y=A.随机误差项ε的期望为0B.β1C.总平方和SST=回归平方和SSR+D.判定系数RE.若β1的t检验不显著，则X与Y三、计算题（每题10分，共40分）1.某寿险公司将投保人分为三类：低风险、中风险、高风险，占比分别为55%、30%、15%。三类投保人在一年内发生身故的概率分别为0.2%、1%、3%。（1）求该公司投保人一年内的总身故概率；（4分）（2）若某投保人在一年内发生了身故，求其属于高风险类别的概率。（6分）$$\begin{align*}

P(B)&=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)\\

&=0.55\times0.002+0.3\times0.01+0.15\times0.03\\

&=0.0011+0.003+0.0045=0.0086=0.86\%

\end{align*}$$（2）由贝叶斯公式：P2.设二维随机变量(X$$f(x,y)=\begin{cases}

6x,&0<x<y<1\\

0,&\text{其他}

\end{cases}$$（1）求X和Y的边缘概率密度，并判断X与Y是否相互独立；（4分）（2）求条件概率密度fY（3）求P(答案：（1）fX(x)=6x（2）fY（3）P(解析：（1）X的边缘密度为联合密度对y积分：当0<x<Y的边缘密度为联合密度对x积分：当0<y<由于0<x<y<1时，（2）当0<f其他区域为0。（3）积分区域为0<x<$$\begin{align*}

P(X+Y<1)&=\int_{0}^{0.5}\int_{x}^{1-x}6xdydx\\

&=\int_{0}^{0.5}6x(1-2x)dx\\

&=\left[3x^2-4x^3\right]_0^{0.5}=0.75-0.5=\frac{1}{4}

\end{align*}$$3.设某险种的单次索赔额X服从帕累托分布，其分布函数为：F其中α>1为未知形状参数，已知期望（1）求α的矩估计量和矩估计值；（5分）（2）求α的极大似然估计量和极大似然估计值（已知i=答案：（1）矩估计量αM（2）极大似然估计量αM解析：（1）矩估计令样本均值等于总体期望：X=α样本均值x=代入得矩估计值：αM（2）概率密度函数为f(L取对数似然：ln对α求导并令导数为0：d解得极大似然估计量：α代入n=8和∑ln4.某保险公司的重疾险保单共有100份，每份保单的年度索赔次数独立同分布，服从参数为λ=2的泊松分布，单次索赔额独立同分布，服从均值为5000元、标准差为3000元的分布，且索赔次数与索赔额相互独立。用中心极限定理近似计算该公司年度重疾险总索赔额超过110万元的概率（已知Φ(1.22)E$$\begin{align*}

\text{Var}(S)&=E(N)\text{Var}(X)+\text{Var}(N)[E(X)]^2\\

&=200\times9\times10^6+200\times(5000)^2\\

&=1.8\times10^9+5\times10^9=6.8\times10^9

\end{align*}$$总标准差σS由中心极限定理，S近似服从正态分布，标准化得：Z因此：P四、综合题（共15分）某保险公司统计了近10年的车险保费收入（单位：亿元，记为x）与理赔成本（单位：亿元，记为y）的数据，得到如下统计量：i=110xi=50，i假设理赔成本y与保费收入x满足一元线性回归模型y=β0要求：（1）求回归系数β0和β（2）计算判定系数R2（3）在显著性水平α=0.05下，检验保费收入对理赔成本的线性影响是否显著（已知t0.025（4）若下一年保费收入为8亿元，预测理赔成本的95%预测区间（结果保留两位小数）。（3分）答案：（1）β1=0.52，β（2）R2（3）线性影响显著；（4）95%预测区间为(3.46,5.66)亿元。解析：首先计算基础统计量：n=10，x=LxLyLx（1）最小二乘估计：ββ（2）回归平方和SSR=判定系数：R经济意义：理赔成本的波动中有84.5%可以由保费收入与理赔成本的线性关系解释，说明保费收入对理赔成本的线性解释能力较强，模型拟合效果较好。（3）采用t检验（或F检验）：原假设H0:β残差平方和SSE=均方误差σ2=SSEβ1se检验统计量：t因此拒绝原假设，认为保费收入对理赔成本的线性影响显著。（4）当x0=8预测区间公式为：y代入数值：1边际误差：2.306因此95%预测区间为4.56±参考答案与解析一、单项选择题1.答案：B解析：由贝叶斯公式，先通过全概率公式计算总理赔率：P(B)2.答案：A解析：指数分布具有无记忆性，即P(X>3.答案：B解析：由方差与协方差的性质：4.答案：D解析：标准二维正态分布的经典结论，可通过极坐标积分推导。当ρ=0时，X与Y独立，结果为14；当ρ=15.答案：A解析：边缘分布为X∼B(1,0.5)，Y∼B(16.答案：A解析：总索赔额S的期望E(S)=10000×20007.答案：B解析：χ2(n)是(1)$，两项相加为$\chi^2(2)$；C项是$\chi^2(2)/2$，不服从卡方分布；D项为$\chi^2(1)$。8.答案：A解析：泊松分布的期望与方差均为λ，其矩估计和极大似然估计均为样本均值X。9.答案：C解析：σ未知时，采用t分布构造置信区间，公式为：10.答案：B解析：样本量固定时，第一类错误概率α与第二类错误概率β此消彼长。α越大，拒绝域越大，越容易拒绝原假设，因此取伪的概率β减小。11.答案：A解析：原假设H0:μ≤1000(24)=1.711$，落在拒绝域，因此拒绝原假设，认为平均理赔额超过1000元。12.答案：A解析：总样本量n=4×5=20，总自由度为13.答案：C解析：判定系数R2是相关系数r的平方，相关系数的符号由回归系数的符号决定，题目未给出回归方向，因此为±14.答案：B解析：独立泊松变量的和仍服从泊松分布，参数为各分布参数之和，即2+15.答案：C解析：由条件方差公式：二、多项选择题1.答案：ABDE解析：A、D为随机事件独立的定义与等价条件，正确；B为互不相容事件的加法公式，正确；C错误，连续型随机变量的单点事件概率为0，但不是不可能事件；E为概率减法公式的特例，正确。2.答案：ABCDE解析：A项，α=1时伽马分布退化为指数分布，正确；B项为伽马分布的可加性，正确；C项，伽马分布是精算中常用的索赔额分布，正确；D项，伽马分布偏度为2/3.答案：ABCDE解析：A、B为样本均值和样本方差的无偏性，正确；C为正态总体样本均值的分布，正确；D、E为正态总体抽样分布的核心结论，均正确。4.答案：ABCD解析：A为p值的定义，正确；B、C为p值的决策规则，正确；D项，当检验统计量分布对称时，双侧p值为单侧的2倍，正确；E错误，样本量越大，检验统计量越极端，p值通常越小，与样本量相关。5.答案：ABCD解析：A为经典回归的零条件均值假设，正确；B为最小二乘估计的无偏性，正确；C、D为平方和分解与判定系数的定义，正确；E错误，t检验不显著可能由样本量不足、误差方差过大等原因导致，不能直接断定不存在线性相关关系。---三、计算题1.答案：（1）总身故概率为0.86