常微分方程 课件 第一章 微分方程模型及其基本概念

第一章微分方程模型及其基本概念本章内容/MainContents/

第1节常微分方程模型第2节常微分方程的基本概念本节要求/Requirements/

了解常微分方程的基本形式；

通过具体实例了解建立常微分方程模型的基本方法。1、

代数方程(组)

一元n次代数方程：无理方程：方程组：三角方程：其特点：方程的解为实数（有限个或者无限个）方程/Equation/：一、什么是常微分方程？

含有未知量(数)的等式(或关系式)。2、函数方程（或泛函方程）其特点：方程的解为有限个或无穷多个函数。第1节常微分方程模型定义1：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式，称之

为微分方程。常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。微分方程的阶/Order/：

在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。

当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。n阶隐式微分方程的一般形式可表示为：n阶显式微分方程的一般形式为：其中F

及f

分别是它所依赖的变元的已知函数。

二、什么是常微分方程模型？反映客观世界中量与量之间的变化关系，往往与时间有关，是一个动态系统。三、模型的建立过程参数的确定模型的建立模型的讨论及推广模型的求解实际问题微分方程数学建模第1节常微分方程模型(一)根据物理、力学已确定的自然规律包含电阻R、电感L、电容C及电源的电路称为RLC电路，它是电子电路的基础。其中电源电压e(t)是时间t的已知函数.根据Kirchhoff第二定律，存在关系式1、RLC电路（线性微分模型）Kirchhoff第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。四、建立常微分方程模型的几种方法电流I为未知函数由于根据Kirchhoff第二定律建立微分模型！故对上式两边微分，得到以时间t为自变量、若电源电压e(t)=E时，上述微分方程变为如还有R=0时，则微分方程又变为的微分模型2、数学摆：

系于一根长度为

的线上而质量为的质点在重力的作用下在垂直于地面的平面上沿圆周运动，下面确定摆的运动方程.

（非线性微分模型）根据Newton第二定律，可以得到而代入上式得摆的运动方程为

如果只研究摆的微小振动，即当比较小时，又得到微小振动时摆的运动方程（无阻尼的情形）假设摆是在一个粘性的介质中摆动，则沿着摆运动方向就存在一个与速度v成比例的阻力.若阻力系数是，则摆的运动方程变为如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t)的作用，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为（有阻尼的情形）(1)Malthus人口模型：3、人口模型根据已发现的数据，通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理，寻找相关规律建立模型。(二)通过寻找规律建立相应的模型其中N(t)是t时刻的人口数量，r为生命系数.（线性微分模型）英国人口统计学家Malthus通过查看当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现规律：在人口自然增长的过程中，人口的增长速度与人口总数成正比！数据驱动Malthus人口模型的解为给定初值条件：，则Malthus人口模型满足上述初值条件的解为结果分析:当生命系数r>0时，人口总数N(t)将按指数规律无增长。若初始人口总数不大，生存空间、资源等极其充裕，人口总数指数增长是可能的。但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映事实：

环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以马尔萨斯模型在N(t)很大时是不合理的。(2)logistic人口模型：荷兰数学家威尔霍斯特(Verhulst)引入常数(称为环境最大容纳量),表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，易见（非线性微分模型）并假设净相对增长率为，即净相对增长率随N(t)的增加而减少，且按此假定，人口增长的方程就改为：（logistic模型）其中N(t)是t时刻的人口数量，r为生命系数.表示环境最大容纳量（该地区自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量。Logistic人口模型（非线性微分模型）：

Logistic模型是关于人口或种群增长的模型。它发现：

人口/种群增长会因为受到资源限制而达到某个极限。捕食鱼的自然增长率同其本身的数量及被捕食鱼数量成正比4、两生物种群竞争模型（非线性微分组）意大利生物学家棣安考纳(D’Ancona)发现某海港在第一次世界大战期间捕鱼量减少而捕获得的捕食鱼(食肉鱼)所占的百分比却急剧增加。为了解释这一现象，意大利数学家沃特拉(Volterra)建立了一个关于捕食鱼与被捕食鱼生长情形的数学模型。

表示t

时刻捕食鱼的总数量。

(1)Volterra（沃特拉）捕食-被捕食模型：

其中

表示t

时刻被捕食鱼的总数量；

单位时间内两种鱼相遇的次数(2)两种群共生模型（互相促进、互为依赖）其中

表示t时刻两种群的数量。

(3)两种群竞争模型（两种群竞争同一资源）

其中

表示t时刻两种群的数量。

(4)Volterra（沃特拉）模型的一般形式：

其中

表示两种群的数量。

(5)两种群竞争模型的一般形式:

其中

表示两种群相对于的增长率。

5、传染病模型：（非线性微分模型）(1)SI模型：(易感染者Susceptible-已感染者Infective)

其中

表示传染病传播期间某地区的人口总数，表示传染系数，

表示t

时刻的染病人数。

(2)SIS模型：其中

表示单位时间治愈率，表示平均传染期，

表示t

时刻的接触人数。

(3)SIR模型：对有接触强免疫性的传染病如天花、流感等，病人治愈后不会再被感染，称为被移除者(Removed)。其中

表示传染病传播期间某地区的人口总数，表示传染系数，

表示t

时刻的染病人数，表示健康人数。

1、Lorenz（洛伦兹）方程

根据一定的目的，通过反复的试验，建立适合要求的模型。(三)通过反复试验建立模型

气象学家洛伦茨(Lorenz)在美国天气预报中心工作，进行数值天气预报.他在20世纪60年代初开始用数字计算机，曾简化气象方程组，将大气对流现象化为14个变量，最后减为12个变量。然后用数字计算机进行数值模拟，能计算出两个月的天气变化。

一次偶然离开，回来发现计算结果突然变化，重新输入计算，结果又不同。反复检查原因，原来是重新输入数据的小数位尾数误差所致，从而发现方程组的解对初值敏感的现象。含有3个变量的常微分方程组

后来，他访问另一天气中心时，了解到另有人得到了7个变量的类似的方程组。经过重新处理，他将其中4个变化不大的变量删去，得到了仅含有三个变量的非常简单的微分系统，但其解对初值却异常敏感，他将数值计算结果发表在美国气象学报上，这个方程组就是后来被称为混沌(chaos)现象第一例的著名的Lorenz方程：从这些实例可以看出：微分方程模型的特点是反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态系统。这里我们只是结合后续学习的需要介绍几个有代表性的常微分方程模型，实际上数学模型中有各种各样的数学模型，例如糖尿病检测模型、作战模型、交通模型、经济模型、判别艺术伪造品模型、化学动力学模型等等。通过学习微分模型，我们大致了解了建立数学模型的一般方法，同时，也体会到了微分方程来源于客观世界，并最终用之解决实际问题。自主学习：1、网上搜索经典的微分方程模型2、预习第二节3、习题1.28(2)(4)(6)课后作业：第一章微分方程模型及其基本概念

第1节常微分方程模型

第2节常微分方程的基本概念第一章微分方程模型及其基本概念本节要求/Requirements/

能快速判断微分方程的类型；

掌握高阶微分方程及其初值问题的一般形式；

理解微分方程解的意义。例：

定义1：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式，称之

为微分方程。一、常微分方程与偏微分方程/ODEandPDE/

1、RLC电路模型：2、数学摆模型：(有阻尼的)3、logistic人口模型：常微分方程/ODE/

在微分方程中，自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程/PDE/

自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。二、一阶与高阶微分方程/FirstandHigherODE/微分方程的阶/Order/：

在一个微分方程中所出现的未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。

当n=1时，称为一阶微分方程；当n>1时，称为高阶微分方程。例如：n阶隐式微分方程的一般形式可表示为：n阶显式微分方程的一般形式为：其中F

及f

分别是它所依赖的变元的已知函数。n阶微分方程的一般形式：特别地，一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：一阶常微分方程的一般显式形式可表示为：三、线性和非线性微分方程/LinearandNonlinearODE/如果n阶微分方程的左端为未知函数及其各阶导数的一次有理整式，则称它为线性微分方程，否则，称它为非线性微分方程。二阶线性微分方程一阶非线性微分方程例如：n阶线性微分方程的一般形式为：如：2阶线性方程的一般形式：其中均为的已知函数。RLC电路模型：数学摆模型：logistic人口模型：1、解和隐式解/Solution/对于n阶微分方程若将函数代入方程后使其有意义且两端成立，即则称函数为该方程的一个(显式)解.或如：一阶微分方程有解，即关系式

若方程的解是某关系式的隐函数，称这个关系式为该方程的隐式解。把方程解和隐式解统称为方程的解。包含了方程的解。四、微分方程的解/SolutionsofODE/2、通解和特解/GeneralSolutionandSpecialSolution/称含有n个相互独立的任意常数的解为该微分方程的通解。而常微分方程满足某个初始条件的解称为微分方程的特解。如：1、二阶微分方程的通解为.而是方程满足初始条件的解。对于n阶微分方程2、一阶方程的通解为.

说明：①微分方程的通解中所含独立常数的个数与方程的阶数相同；②通解中个任意常数相互独立

⇔存在点的某一领域，使得解的Jacobii行列式如：1、二阶微分方程的通解为.③一般的，通解不是方程的所有解，但线性微分方程的通解是方程的所有解。如：方程

有通解，但它还有特解，它不包含在通解中.④并非任一微分方程都有通解，如：

只有解，它没有通解。⑤常见的定解条件：初始条件和边界条件。五、初值条件/InitialValueConditions/对于n阶方程，其初值条件可表示为n阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示说明：一阶和二阶方程初值问题（CauchyProblem）的表示：例1

质量为m的物体在重力的作用下，沿铅直线下落，物体下落距离S(向下为正）随

时间t而改变。在不考虑空气阻力的情况下，试求出距离S应满足的微分方程。

微分方程模型举例/ModelingofODE/解：设在时刻t物体下落的距离为，根据牛顿第二定律，有化简得，解之得，又因，故例2

放射性元素镭因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象成为衰变，实验知镭的衰变率与其当时的质量成比例。试求镭衰变的规律。

微分方程模型：含有自变量，未知函数及未知函数导数（或变化率）的关系式。解：设在任意时刻t镭的质量为M(t),则有1、积分曲线和积分曲线族/IntegralCurve(s)/一阶微分方程而微分方程的通解的解平面的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线，表示表示平面的一族曲线，称它们为微分方程的积分曲线族。六、一阶ODE在几何上的几个概念2、方向场与等斜线在区域D上任意点处，以函数值为斜率作一方向(直线段)，则称区域D

若一阶微分方程右端的函数在

平面上的