2026-2027学年广西北海市高三（上）模考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年广西北海市高三（上）模考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=2−5ii，则z=(

)A.−5−2i B.−5+2i C.2−5i D.2+5i2.命题“∀x∈N，x2>0”的否定为(

)A.∀x∈N，x2≤0 B.∃x∈N，x2≤0

C.∃x∈N，x23.已知集合A={x|x+2x−3≤0}，B={x|log2A.(−2,3) B.[−2,3) C.(0,3) D.[0,3)4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6=SA.11 B.12 C.13 D.145.已知sin(θ−π2)=14A.−78 B.18 C.−6.甲、乙两名游客来到广西旅游，准备分别从南宁、柳州、桂林、北海这4个城市中随机选一个游览，记事件A=“甲和乙至少有一人选择柳州”，事件B=“甲和乙选择的城市不同”，则条件概率P(B|A)=(

)A.12 B.34 C.677.某圆锥的侧面展开图是一个弧长为2π，圆心角为π的扇形.若将一个球放入该圆锥体内，则球的表面积的最大值为(

)A.π B.4π3 C.5π3 8.已知x，y为正实数，且x+y=1，则2x+3y−1xy的最小值为(

)A.3−22 B.3+22 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(−1,2)，b=(2,t)，则(

)A.当a⊥b时，t=1

B.与向量a平行的单位向量为(55,−255)

C.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围为10.已知双曲线x24−y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2A.F1到渐近线的距离为2

B.|AB|的最小值为4

C.若A，B在左、右两支上，则直线l的斜率的取值范围为(−32,32)11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1A.存在点P，使得AP⊥CD1

B.PD1⋅PA的最小值为−13

C.当PD1⊥AP时，A1P=12A1C

D.12.(3x−2)5的展开式中，含x2的项的系数为

(用数字作答13.若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线，则实数m的值为

．14.随机抛一枚质地均匀的硬币6次，定义数列{an}满足：an=1,第 n 次抛硬币正面向上,−1,第 n 次抛硬币反面向上,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为12，23，且每人每次投篮命中与否相互独立．

(1)若甲、乙各进行1次定点投篮，求两人至少有一人投篮命中的概率；

(2)若甲进行1次定点投篮，乙进行2次定点投篮，记两人投篮命中次数之和为X，求X的分布列与数学期望E(X)．16.(本小题15分)

如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=120°，BD⊥AB．

(1)证明：BD⊥AC．

(2)若AB=2，E为CD的中点，求直线AE与平面ABD所成角的正弦值．17.(本小题15分)

在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，已知a=5c，设AC边上的高为h．

(1)若△ABC的面积为c2，且△ABC不是钝角三角形，求cosC的值；

(2)若h=λb，求18.(本小题17分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，椭圆上动点P满足点P到点F1的距离的最大值为3，且该椭圆的离心率为12．

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)如图，过椭圆的右焦点F2作斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，设直线MA1与NA2交于点T，证明：点19.(本小题17分)

已知函数f(x)，若数列{an}满足：对任意的n∈N∗，均有f(an)=n，则称{an}为函数f(x)的一个“伴随数列”．

(1)若函数f(x)=lnx，求f(x)的一个“伴随数列”{an}的通项公式．

(2)若函数h(x)=ex−x，数列{cn}，{dn}为1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】ABD

12.【答案】−720

13.【答案】−e

14.【答案】56415.【答案】解：(1)甲、乙两名队员定点投篮的命中率分别为12，23，且每人每次投篮命中与否相互独立，

记“甲、乙各进行1次定点投篮，两人至少有一人投篮命中”为事件A．

(方法一)P(A)=(1−12)×23+12×(1−23)+12×23=56．

(方法二：间接法)P(A)=1−(1−12)×(1−23)=5X0123P1542E(X)=0+1×51816.【答案】解：(1)证明：过点A作AF垂直于CB的延长线于点F

∵平面ABC⊥平面DBC，平面ABC∩平面DBC=BC，AF⊂平面ABC，AF⊥BC，

∴AF⊥平面DBC，

∵BD⊂平面DBC，

∴AF⊥BD．

∵BD⊥AB，AB∩AF=A，AB，AF⊂平面ABC，

∴BD⊥平面ABC，

∴BD⊥AC．

(2)由(1)知BD⊥BC.如图，以B为原点，BD所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，

垂直于平面BCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(0,−1,3)，D(2,0,0)，E(1,1,0)，

∴BD=(2,0,0)，BA=(0,−1,3)，AE=(1,2,−3)．

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅BD=2x=0,n⋅BA=−y+17.【答案】解：(1)由a=5c及△ABC的面积为c2得12acsinB=52c2sinB=c2，所以sinB=25=255．

因为△ABC不是钝角三角形，所以B不是钝角，故cosB=1−sin2B=55．

由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB=5c2+c2−25c2×55=4c2，解得b=2c．

再由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab=5c2+4c18.【答案】解：(1)因为点P到点F1的距离的最大值为3，所以a+c=3．

又e=ca=12，所以a=2，c=1.由a2=b2+c2，得b=3，

所以该椭圆的方程为x24+y23=1．

(2)证明：设直线l：x=my+1．

由x=my+1x24+y23=1，消去x可得3(my+1)2+4y2=12，

整理可得(3m2+4)y2+6my−9=0，直线l过椭圆的右焦点F2，显然Δ>0．

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，

直线MA1：y=y1x1+219.【答案】解：(1)由“伴随数列”的定义得f(an)=lnan=n，所以an=en；

(2)(ⅰ)证明：由“伴随数列”的定义得h(cn)=ecn−cn=n，且cn>0，

①证明lnn<cn：由ecn=n+cn>n，两边取自然对数，得cn>lnn，

②证明cn<ln2n：要证cn<ln