北师大版数学八年级下册 第3章 图形的平移与旋转章末重点题型汇编（十二大题型） 同步练习 含答案

第三章图形的平移与旋转章末重点题型汇编

（十二大题型）【题型1生活中的平移现象】【题型2利用平移的性质求解】【题型3点坐标平移的变化】【题型4平移综合题(几何变换)】

【题型5找旋转中心、旋转角、对应点】【题型6根据旋转的性质求解】【题型7坐标与旋转规律问题】【题型8旋转综合题】【题型9中心对称图形的识别】【题型10根据中心对称的性质求解】【题型11点坐标关于原点对称】【题型12作图-平移，旋转和中心对称综合】

【题型1平移现象】1．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（

）A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车2．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（

）A． B．C． D．3．下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（

）A． B． C． D．【题型2利用平移的性质求解】

4．如图，将△ABC沿着AB方向向右平移得到△DFE，其中AF=10，A．5 B．4 C．3 D．25．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（

）A．9 B．10 C．11 D．126．如图所示，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，已知BE=6,FG=2,AC=10，则图中阴影部分的面积为（

）A．64 B．48 C．54 D．507．如图，Rt△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结论中，不一定正确的是（

A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=90° C．AB=DE D．EC=CF8．如图，将△ABC沿AB方向平移，得到△BDE．点A，B，C的对应点分别为点B，D，E.若∠1=65°，∠2=30°，则∠ADE的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．85°9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将△ABC沿BC方向平移3cm，得到△DEF，连接AD，则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②ED⊥AC；③四边形A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【题型3点坐标平移的变化10．点A1,−2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（

A．−1,1 B．1,−1 C．2,0 D．2,−611．如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点2，0，“炮”位于点A．4，2 B．4，1 C．12．在平面直角坐标系中，将点−1,3向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点的坐标为（

）A．−4,7 B．4,7 C．4,−1 D．−4,113．已知点P(m−1,n+1)，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′2,−1，则m，n的值分别为（A．6，2 B．0，2 C．6，−6 D．0，−614．在平面直角坐标系中，将点A1,−3平移到点B−3,−3处，正确的移动方法是（A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度15．如图，点A，B的坐标分别为(1,4)，(3,−1)，若将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为(−3,1)，则A．(−1,−3) B．(−3,−1) C．(−4,−1) D．(−1,−4)16．在平面直角坐标系中，将点A向上平移3个单位长度得到B2,1，则点A的坐标为（

A．−1,1 B．5,1 C．2,−2 D．2,4【题型4平移综合题(几何变换)】17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为3,5，3,0．将线段AB向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；(1)直接写出坐标：点C（____________，__________），点D（___________，___________）(2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？(3)点P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系．18．在平面直角坐标系中，O为原点，点A0,2(1)如图①，三角形ABC的面积为___________；(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形ACD的面积；(3)在（2）条件下，点Pm,3是平面内一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积的一半，求点P19．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；(2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S(3)如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=120．如图，在平面直角坐标系中，已知A0,2，B3,0，

(1)将△ABC向右平移3格，再向下平移4格，得到△A1B1C1，在方格纸中画出△A(2)求三角形ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点M，使三角形AMC的面积等于三角形ABC的面积的2倍？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型5找旋转中心、旋转角、对应点】21．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B

A．71° B．15° C．28° D．43°22．如图，在4×4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一定角度，可得格点△M1NA．点A B．点B C．点C D．点D23．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB可以由△COD旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（

）A．绕点D逆时针旋转135° B．绕点O顺时针旋转90°C．绕点O逆时针旋转90° D．绕点B逆时针旋转135°24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为A−3,2，B0,1，C−2,0，将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，A．2,1 B．2,2 C．2,0 D．−1,0【题型6根据旋转的性质求解】25．如图，把△AOB绕点O顺时针旋转一定角度得到△COD．若AB=12，AO=17，BO=21，则A．9 B．12 C．17 D．2126．如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转70°后得到△A′BC′，若∠A=60°，∠C=100°A．20° B．25° C．30° D．35°27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC=66∘，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．当点A．24∘ B．33∘ C．4328．如图，将△AOB按顺时针方向旋转后成为△COD，则下列说法错误的是（

）A．旋转中心是点O B．旋转角等于∠AODC．OA=OC D．△AOB29．如图所示，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CCA．70° B．40° C．50° D．80°30．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若线段AC=3，则CE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【题型7坐标与旋转规律问题】31．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为4,0．线段OA以每秒旋转90°的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段OA上，按照O→A→O→A…的路线循环运动，则第2026秒时点P的坐标为（）A．0,1 B．1,0 C．0,2 D．−2,032．如图，已知点A2,1,B0,2，将线段AB绕点M逆时针旋转得到线段A1B1．其中点A1的坐标是−1,0，点B1的坐标是−2,−2，且点A．0,−2 B．1,−1 C．0,0 D．−1,−133．如图，点A的坐标为−2,3，将线段OA绕原点O顺时针旋转90°，点A的对应点A′的坐标为（

A．−2,−3 B．−3,−2 C．2,3 D．3,234．如图，将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到A′B′，那么A3,−7的对应点A．3, 7 B．7, 3 C．35．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°,∠A=30°，顶点A的坐标为1,3，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为（

A．1,−3 B．−3,1 C．−36．如图，在△ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，B0，2，C5，2，AB=BC，将△ABC绕点A．−2，−2 B．1，−1 C．【题型8旋转综合题】37．如图，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，点C的对应点B恰好落在CD的延长线上，点E在线段BD上，连接AE、FE，且∠EAD=45°，求证：EF=ED．38．如图，△ABC中，∠ABC=60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF(1)求证：DA∥BC；(2)若BF=AF=23，求DF39．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点D在线段BC的延长线上．(1)求证：∠ACD+∠E=180°；(2)若∠BAD=100°，求∠CDE的大小．40．如图，已知正方形ABCD，P是正方形ABCD内一点．若PA=2，PB=2，将△BPA绕点B顺时针旋转至△BEC处，此时点A、P、E(1)求∠APB的度数；(2)求PC的长；(3)求△BPC的面积．41．已知△ABC中，∠ACB=90°,AB=25,BC=20，将△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△MNC．(1)如图1，当点M落在AB边上时，求线段BM的长；(2)如图2，当△ABC绕着点C顺时针旋转到△MNC的位置时，连接AM,AN,BM,BN．①判断线段AM与BN的位置关系并说明理由；②求AN③在△ABC的旋转过程中，直接写出△ACN的面积与△BCM的面积之和的最大值为________．42．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”．【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P(1)则点P与P′之间的距离为PP′=，(2)在（1）的条件下，小明同学在求AB2时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算A(3)【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3，求∠APB的度数？请写出完整过程；S正方形ABCD(4)【学以致用】如图4，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP′A′，连接PP′，A′C，记A′C与AB交于点D，可知BA′=BA=BC,∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=120°，由BP′=BP,∠P′BP=60°，可知△P′BP为等边三角形，有【题型9中心对称图形的识别】43．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．44．下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．45．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【题型10根据中心对称的性质求解】46．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=1,AB=2,∠BAC=90°，则AE的长是（

）A．2 B．3 C．22 D．47．如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB=2，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，则CP的长为（

）A．5 B．25 C．4 D．48．如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠A=90∘，CD=3，CO=4，则BD的长为（A．12 B．10 C．8 D．649．如图，BO是等腰三角形ABC的底边的中线，AC=2，BO=15，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则A．4 B．42 C．35 50．如图，△ABC与△A′B′C

A．点A与点A′是对称点 B．BO=B′O C．【题型11点坐标关于原点对称】51．在平面直角坐标系中，点P−5,3关于原点的对称点P′的坐标为（A．5,−3 B．−5,−3 C．3,−5 D．5,352．若点Pm,5与点Q−3,n关于原点成中心对称，则A．2 B．−2 C．−8 D．853．点(a,−6)关于原点的对称点是(2,6)，则a的值为()A．−2 B．2 C．−3 D．3【题型12作图-平移，旋转和中心对称综合】54．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A0,3，B2,1，(1)画出与△ABC关于原点对称的△A1B(2)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A2B2C55．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系xOy内，△ABC三个顶点的坐标分别为A2,4、B1,1、(1)画出△ABC关于原点对称的△A1B(2)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B56．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A0,3，B3,4，(1)若点M1,2是△ABC的边AC上的一点，将△ABC先向下平移3格，再向右平移2格，则平移后点M的对应点M(2)画出△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到的△AB(3)画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A

第三章图形的平移与旋转章末重点题型汇编

（十二大题型）【题型1生活中的平移现象】【题型2利用平移的性质求解】【题型3点坐标平移的变化】【题型4平移综合题(几何变换)】

【题型5找旋转中心、旋转角、对应点】【题型6根据旋转的性质求解】【题型7坐标与旋转规律问题】【题型8旋转综合题】【题型9中心对称图形的识别】【题型10根据中心对称的性质求解】【题型11点坐标关于原点对称】【题型12作图-平移，旋转和中心对称综合】

【题型1平移现象】1．下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（

）A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车【答案】B【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答．【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意；B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意；C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意；D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意；故选：B2．如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：由平移可知，得到的图形可能是．故选：C．3．下列图案可以由其中一部分经过平移得到的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项符合题意；B、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意；C、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意；D、不可由其中一部分图形经过平移得到，故本选项不符合题意．故选：A．【题型2利用平移的性质求解】

4．如图，将△ABC沿着AB方向向右平移得到△DFE，其中AF=10，A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得到AD=BF=CE，再根据AF=10，DB=4求出平移距离【详解】解：由平移的性质可知，AD=BF=CE，∵AF=10，∴AD=BF=CE=AF−DB即平移的距离为3．故选：C．5．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【详解】解：由平移可知：AD=CF=1,DF=AC，∴ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD，∵△ABC的周长=AB+BC+AC=8，∴ABFD的周长=8+1+1=10．6．如图所示，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到直角三角形DEF，已知BE=6,FG=2,AC=10，则图中阴影部分的面积为（

）A．64 B．48 C．54 D．50【答案】C【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质得到对应线段相等，及阴影部分面积=梯形CADG的面积，利用梯形面积公式计算即可．【详解】解：∵Rt△ABC沿AB方向平移得到∴AC=DF=10，AD=BE=6，∴阴影部分面积=梯形CADG的面积，∵FG=2，∴GD=10−2=8，∴阴影部分面积=1故选：C．7．如图，Rt△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，则下列结论中，不一定正确的是（

A．△ABC≌△DEF B．∠DEF=90° C．AB=DE D．EC=CF【答案】D【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质，结合图形逐项判断即可．【详解】解：∵将Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF∴△ABC≌△DEF，∠DEF=∠B=90°，BC=EF，AB=DE，∴BC−EC=EF−EC，则BE=CF，故选项A、B、C正确，不符合题意；现有条件无法得到EC=CF，故选项D错误，符合题意．故选：D．8．如图，将△ABC沿AB方向平移，得到△BDE．点A，B，C的对应点分别为点B，D，E.若∠1=65°，∠2=30°，则∠ADE的度数为（）A．55° B．65° C．75° D．85°【答案】D【分析】本题主要考查平移的性质，三角形内角和定理，结合图形得到角之间的关系是解题关键．由平移的性质可得BC∥DE，∠DBE=∠1=65°，进而可得∠2=∠E=30°，最后三角形内角和定理可得【详解】解：由平移的性质可得∠1=∠DBE=65°，BC∥∴∠2=∠E=30°，∴∠ADE=180°−∠DBE−∠E=85°故选：D．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将△ABC沿BC方向平移3cm，得到△DEF，连接AD，则下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②ED⊥AC；③四边形A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质逐一判定即可．【详解】解：∵将△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，故①正确；∵∠BAC=90°，∴∠BAC=∠EMC=90°，∴ED⊥AC，故②正确；∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，AB=4cm，BC=5cm，∴DF=AC=3cm，AD=CF=3∴四边形ABFD的周长=AB+BC+DF+AD+CF=5+4+3+3+3=18cm，故③故选：D．【题型3点坐标平移的变化】

10．点A1,−2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点B的坐标为（

A．−1,1 B．1,−1 C．2,0 D．2,−6【答案】A【分析】本题考查了点的平移．根据平移的性质，向上平移改变纵坐标，向左平移改变横坐标，直接计算坐标变化即可．【详解】解：∵点A1,−2向上平移3∴纵坐标变为−2+3=1，此时点为1,1；又∵向左平移2个单位，∴横坐标变为1−2=−1，此时点B为−1,1.故选：A．11．如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点2，0，“炮”位于点A．4，2 B．4，1 C．【答案】C【分析】本题考查平面直角坐标系的建立、用坐标表示表示位置及平面直角坐标系中点的平移，由题意，建立平面直角坐标系，求出“马”位于点2，【详解】解：根据“帅”位于点2，0，“炮”位于点∴“马”位于点2，∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点4，故选：C．12．在平面直角坐标系中，将点−1,3向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点的坐标为（

）A．−4,7 B．4,7 C．4,−1 D．−4,1【答案】C【分析】本题考查了点坐标的平移；根据点坐标右移加，下移减可得答案．【详解】解：将点−1,3向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的点的坐标为−1+5,3−4，即4,−1，故选：C．13．已知点P(m−1,n+1)，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′2,−1，则m，n的值分别为（A．6，2 B．0，2 C．6，−6 D．0，−6【答案】B【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点Pm−1,n+1和平移后的点P【详解】解：将点Pm−1,n+1先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点P′∴m−1+3=2,n+1−4=−1，解得m=0,n=2，故选：B．14．在平面直角坐标系中，将点A1,−3平移到点B−3,−3处，正确的移动方法是（A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度【答案】B【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可．【详解】解：∵点A的坐标为1,−3，平移后点B的坐标为−3,−3，∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项；又∵1−4=−3，横坐标减少4，符合左移减的规律，∴平移方法为向左平移4个单位长度．15．如图，点A，B的坐标分别为(1,4)，(3,−1)，若将线段AB平移至A′B′的位置，点A′的坐标为(−3,1)，则A．(−1,−3) B．(−3,−1) C．(−4,−1) D．(−1,−4)【答案】D【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点B′的坐标问题，需先确定点A到A′的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点B上，从而得到【详解】已知点A的坐标为(1,4)，平移后点A′的坐标为(−3,1)横坐标的变化量：−3−1=−4，即点A的横坐标向左平移了4个单位；纵坐标的变化量：1−4=−3，即点A的纵坐标向下平移了3个单位．点B的坐标为(3,−1)，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）：横坐标：3+(−4)=−1；纵坐标：−1+(−3)=−4．因此，点B′的坐标为(−1,−4)故选D16．在平面直角坐标系中，将点A向上平移3个单位长度得到B2,1，则点A的坐标为（

A．−1,1 B．5,1 C．2,−2 D．2,4【答案】C【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，逆向思考，把点B2,1向下平移3个单位长度后即可得到点A【详解】解：∵在平面直角坐标系中，把点B2,1向下平移3个单位长度后的坐标为2,1−3，即2,−2∴点A的坐标为2,−2．故选：C．【题型4平移综合题(几何变换)】

17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为3,5，3,0．将线段AB向下平移2个单位长度再向左平移4个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD；(1)直接写出坐标：点C（____________，__________），点D（___________，___________）(2)M，N分别是线段AB，CD上的动点，点M从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，点N从点D出发向点C运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后MN∥x轴？(3)点P是直线BD上一个动点，连接PC，PA，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠CPA与∠PCD，∠PAB的数量关系．【答案】(1)−1,3；(2)143秒后，MN∥x(3)当点P在线段BD上时，∠APC=∠PCD+∠PAB；当点P在BD的延长线上时，∠PAB=∠PCD+∠APC；当点P在DB的延长线上时，∠PCD=∠PAB+∠APC【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平行线的性质，平移的性质：（1）根据平移的性质求解；（2）设t秒后MN∥x轴，根据MN∥x轴，得到点M与点N的纵坐标相同，据此构建方程求解即可；（3）分三种情形：①如图1中，当点P在线段BD上时，②如图2中，当点P在BD的延长线上时，③如图3中，当点P在DB的延长线上时，分别求解即可．【详解】（1）解：∵AB向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段CD，A∴C−1,3故答案为：−1,3；（2）解：设t秒后MN∥x轴，∵MN∥x轴，∴点M与点N的纵坐标相同，∴5−t=0.5t−2，解得t=14∴143秒后，MN∥x（3）解：①如图1中，当点P在线段BD上时，作PE∥AB交AC于点E，∴∠APE=∠PAB．∵CD∥∴PE∥CD，∴∠PCD=∠CPE，∴∠APC=∠CPE+∠APE=∠PCD+∠PAB；②如图2中，当点P在BD的延长线上时，作PF∥AB，∴∠APF=∠PAB．∵CD∥∴PF∥CD，∴∠PCD=∠CPF，∴∠PAB=∠APF=∠CPF+∠APC=∠PCD+∠APC；③如图3中，当点P在DB的延长线上时，∠PCD=∠PAB+∠APC．作PG∥AB，同②可证∠PCD=∠PAB+∠APC．18．在平面直角坐标系中，O为原点，点A0,2(1)如图①，三角形ABC的面积为___________；(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，求三角形ACD的面积；(3)在（2）条件下，点Pm,3是平面内一动点，若三角形PAO的面积等于三角形ACD的面积的一半，求点P【答案】(1)6(2)9(3)点P的坐标为－92,【分析】本题考查坐标与图形变化——平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．（1）求出OA，OB，OC，利用三角形面积公式可得结论．（2）连接OD，根据S△ADC（3）根据面积关系构建方程，求出m即可．【详解】（1）解：∵点A(0,2)，B(−2,0)，C(4,0)，∴OA=2，OB=2，OC=4，∴S故答案为：6．（2）解：连接OD．∵B(−2,0)，点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D，∴D(5,4)，∴S△ADC（3）解：由题意，12解得m=±9∴点P的坐标为(−92,3)19．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，现将线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，连接AD，BC．(1)如图1，求点C，D的坐标及四边形ABCD的面积；(2)如图1，在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S(3)如图2，点E为CD与y轴交点，在直线CD上是否存在点Q，连接QB，使S△QCB=1【答案】(1)12；(2)0,6或0,−6；(3)1,3或−3,3．【分析】（1）根据平移的性质求出点C，D的坐标，根据平行四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）根据直线CD上点的坐标特征设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）解：（1）∵点A，B的坐标分别为2,0，−2,0，线段AB先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到线段DC，∴点C的坐标为−1,3，点D的坐标为3,3，AB=4，∴四边形ABCD的面积=4×3=12；（2）存在，设点P的坐标为0,b，由题意得：12解得：b=±6，∴点P的坐标为0,6或0,−6；（3）设点Q的坐标为a,3，则CQ=a+1由题意得：12解得：a=1或−3，则点Q的坐标为1,3或−3,3．【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算、点的坐标特征，根据平移变换的性质求出点C，D的坐标是解题的关键．20．如图，在平面直角坐标系中，已知A0,2，B3,0，

(1)将△ABC向右平移3格，再向下平移4格，得到△A1B1C1，在方格纸中画出△A(2)求三角形ABC的面积；(3)在y轴上是否存在点M，使三角形AMC的面积等于三角形ABC的面积的2倍？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(a+3,b−4)(2)三角形ABC的面积为9(3)存在点M，使三角形AMC的面积等于三角形ABC的面积的2倍，且点M的坐标为(0,8)或(0,−4)【分析】（1）根据平移的性质，左移横轴减，右横轴加，上移纵轴加，下移纵轴减，由此即可求解；（2）运用割补法即可求解；（3）在y轴上取一点M(0,m)，用含m的式子表示S△AMC，由（2）可知S△ABC，根据【详解】（1）解：将△ABC向右平移3格，是在横轴上平移；再向下平移4格，是在纵轴上平移，∴图像平移后如下图示，

∴△A根据平移的规律，△ABC内有一点Pa,b，平移后它的对应点P1的坐标是故答案为：(a+3,b−4)．（2）解：如图所示，

S长方形CDOE=6×4=24，S△OAB=1∴S△ABC=S∴三角形ABC的面积为9．（3）解：如图所示，在y轴上取一点M(0,m)，已知A0,2，B3,0，

∴AM=m−2，点C到AM的距离为6，则S由（2）可知S△ABC∴3m−2∴m−2=6当m−2>0时，m=8，即点M的坐标为(0,8)；当m−2<0时，m=−4，即点M的坐标为(0,−4)；综上所述，存在点M，使三角形AMC的面积等于三角形ABC的面积的2倍，且点M的坐标为(0,8)或(0,−4)．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形的平移规律，不规则几何图形面积计算方法等知识是解题的关键．

【题型5找旋转中心、旋转角、对应点】

21．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B

A．71° B．15° C．28° D．43°【答案】D【分析】根据△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点B【详解】解:∵△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点B∴∠ACA22．如图，在4×4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一定角度，可得格点△M1NA．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接PP1，NN1，分别作出【详解】解：如图，连接PP1，NN1，分别作出PP1，NN1∴旋转中心是点B，故选：B．23．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△AOB可以由△COD旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（

）A．绕点D逆时针旋转135° B．绕点O顺时针旋转90°C．绕点O逆时针旋转90° D．绕点B逆时针旋转135°【答案】B【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度．观察△COD与△AOB的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案．【详解】解：观察图形，△AOB由△COD旋转得到，对应点C→A，D→B，旋转中心为O；OC绕点O顺时针旋转90°到OA，OD绕点O顺时针旋转90°到OB，故旋转方式是绕点O顺时针旋转90°．故选：B．24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为A−3,2，B0,1，C−2,0，将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A′B′C′，点A，B，C的对应点分别为A′，A．2,1 B．2,2 C．2,0 D．−1,0【答案】B【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接BB′、AA′，分别作AA′和BB′的垂直平分线PQ、MN，则【详解】解：连接BB′、AA′，分别作AA′和BB′的垂直平分线PQ、则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为2,2，∵DB=DB′=∴DB∴△BB同理可得：△CDC′为等腰直角三角形，∴△ABC绕点D逆时针旋转90°正好得到△A∴旋转中心的坐标为2,2．故选：B．【题型6根据旋转的性质求解】

25．如图，把△AOB绕点O顺时针旋转一定角度得到△COD．若AB=12，AO=17，BO=21，则A．9 B．12 C．17 D．21【答案】B【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键．直接利用旋转的性质解答即可．【详解】解：根据旋转的性质可得：CD=AB=12．故选：B．26．如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转70°后得到△A′BC′，若∠A=60°，∠C=100°A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】A【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等．利用旋转的性质得到∠A【详解】解：∵△ABC绕着点B顺时针旋转70°后得到△A∴∠A∠A=60°，∠C=100°∴∠ABC=180°−60°−100°=20°，∴∠A故选：A．27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠ABC=66∘，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．当点A．24∘ B．33∘ C．43【答案】B【分析】本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、等腰三角形性质（等边对等角）及三角形内角和定理．解题关键是通过旋转性质建立边与角的等量关系，再结合等腰三角形和角的和差关系推导目标角度．利用旋转的性质得到对应边、角相等，结合直角三角形内角和求出∠BAC，再通过等腰三角形性质和角的和差关系计算∠A【详解】解：Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC=66°∴∠BAC=180∘−∠C−∠ABC=180°−90°−66°=24°，∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A∴A′B=AB，∠又∵A′B=AB可知，△AB∴底角∠BAA∵∠AA∴∠A故选：B．28．如图，将△AOB按顺时针方向旋转后成为△COD，则下列说法错误的是（

）A．旋转中心是点O B．旋转角等于∠AODC．OA=OC D．△AOB【答案】B【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案．【详解】解：A：因为△AOB绕着点O旋转得到△COD，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意；B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，△AOB旋转到△COD，旋转角应该是∠AOC或∠BOD，而不是∠AOD，该选项错误，符合题意；C：由于旋转不改变图形的大小和形状，OA与OC是对应边，所以OA=OC，该选项正确，不符合题意；D：旋转前后的图形全等，所以△AOB≌故选：B．29．如图所示，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CCA．70° B．40° C．50° D．80°【答案】B【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点A，B与B′，C与C′分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB′=∠CAC′，AC=AC′【详解】解：∵CC∴∠C∵∠CAB＝∴∠C∵△AB′C∴△AB∴AC′=AC∴∠C在△ACC∠C∵∠C∴∠C即∠C∵∠C∴∠BAB故选：B．30．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若线段AC=3，则CE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由旋转可得：AC=AE,∠CAE=60°得△ACE是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴AC=AE,∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC=CE，∵AC=3，∴CE=3．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．【题型7坐标与旋转规律问题】31．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为4,0．线段OA以每秒旋转90°的速度，绕点O沿顺时针方向连续旋转，同时，点P从点O出发，以每秒移动1个单位长度的速度，在线段OA上，按照O→A→O→A…的路线循环运动，则第2026秒时点P的坐标为（）A．0,1 B．1,0 C．0,2 D．−2,0【答案】D【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段OA的旋转方向和速度，以及点P的运动路线，可确定点P的坐标每8秒为一个循环周期，进而通过计算2026秒在周期中的位置，求出此时点P的坐标．【详解】解：第1秒时，OP=1，此时OA在y轴的负半轴上，P0,−1第2秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P−2,0第3秒时，OP=3，此时OA在y轴的正半轴上，P0,3第4秒时，OP=4，此时OA在x轴的正半轴上，P4,0第5秒时，OP=3，此时OA在y轴的负半轴上，P0,−3第6秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P−2,0第7秒时，OP=1，此时OA在y轴的正半轴上，P0,1第8秒时，OP=0，此时OA在x轴的正半轴上，P0,0即点P的坐标每8秒一个循环，2026÷8=253⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，∴第2026秒时，OP=2，此时OA在x轴的负半轴上，P−2,0故选：D．32．如图，已知点A2,1,B0,2，将线段AB绕点M逆时针旋转得到线段A1B1．其中点A1的坐标是−1,0，点B1的坐标是−2,−2，且点A．0,−2 B．1,−1 C．0,0 D．−1,−1【答案】B【分析】本题主要考查了旋转对称的知识点，准确分析作图是解题的关键．连接AA1,BB1【详解】解：如图，连接AA1,BB1由图象可知，点M的坐标为1,−1．故选：B．33．如图，点A的坐标为−2,3，将线段OA绕原点O顺时针旋转90°，点A的对应点A′的坐标为（

A．−2,−3 B．−3,−2 C．2,3 D．3,2【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．过点A作AC⊥x轴于点C，由点A的坐标可得：OC=2，AC=3，由旋转可得：∠AOA′=90°，OA=OA′，证明△AOC【详解】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A′作A′B⊥x∵点A的坐标为−2,3，∴OC=2，AC=3，由旋转可得：∠AOA′=90°∴∠A∵A′B⊥x轴，∴∠ACO=∠OBA′=90°∴∠A在△AOC和△OA∠ACO=∠OBA∴△AOC≌△OA∴AC=OB=3，A′∴点A′的坐标为3,2故选：D．34．如图，将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到A′B′，那么A3,−7的对应点A．3, 7 B．7, 3 C．【答案】B【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标变换公式，掌握平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律是解题的关键．过点A作AM⊥y轴于点M，过点A′作A′N⊥y轴于点N，证△AOM≌△OA′【详解】解：如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点A′作A′N⊥y轴于点N∵线段AB绕点O逆时针旋转90°得到A′∴∠AOA∴∠AOM+∠A在Rt△AOM中，∠AOM+∠MAO=90°∴∠A∵OA=OA∴△AOM≌△OA∴OM=A∵点A的坐标为3,−7，∴AM=3,OM=7，∴A∴点A′∴点A′的坐标为7,3故答案为：B．35．将△OBA按如图方式放在平面直角坐标系中，其中∠OBA=90°,∠A=30°，顶点A的坐标为1,3，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为（

A．1,−3 B．−3,1 C．−【答案】A【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形性质与判定，解题的关键在于灵活运用相关知识．根据题意得到OB=1,AB=3,OA=2OB=2，结合旋转的性质推出△OBA绕原点逆时针旋转，每旋转6次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标与第4次旋转结束时，点A对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点A的对应点记为A4，过点A4，作A4【详解】解：∵∠OBA=90∴∠AOB=60°，∵顶点A的坐标为1,3∴OB=1,AB=3∵△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，且360°÷60°=6即每旋转6次为一个循环，∵2026÷6=337⋯4，∴第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标与第4次旋转结束时，点A对应点的坐标相同，如图，记第4次旋转结束时，点A的对应点记为A4过点A4，作A4F⊥x∴∠A由旋转的性质可知，∠A∴△A∴OF=OB=1,A即第4次旋转结束时，点A的对应点A4的坐标为1,−∴第2026次旋转结束时，点A对应点的坐标为1,−3故选：A．36．如图，在△ABC中，顶点A在x轴的负半轴上，B0，2，C5，2，AB=BC，将△ABC绕点A．−2，−2 B．1，−1 C．【答案】C【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质，找到第2025秒旋转结束时的图形是解决本题的关键．先求出第2025秒旋转结束时的图形，并画出图象，过B1作x轴的垂线交x轴于点D，证明△ABO≌△B1【详解】解：∵2025÷4=506…1，∴第2025秒旋转结束时，△ABC绕点A逆时针旋转了90°，过B1作x轴的垂线交x轴于点D由旋转可得AB=AB1，∵∠B∴∠B在△ABO和△B∠BOA=∠B∴△ABO≌△B∴DB根据题意可得，OB=2,AB=BC=5∴OA=A∴DB∴点B的坐标为−3,1，故选C．【题型8旋转综合题】37．如图，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，点C的对应点B恰好落在CD的延长线上，点E在线段BD上，连接AE、FE，且∠EAD=45°，求证：EF=ED．【答案】证明见解析【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质．先利用旋转的性质得到对应边AD=AF和旋转角∠DAF=90∘；结合已知∠EAD=45∘推导出∠EAF=45∘【详解】（1）解：∵将△ACD绕点A顺时针旋转90∘得到△ABF∴AD=AF，∠DAF=∵∠EAD=∴∠EAF=∴∠EAD=在△EAD和△EAF中，AD=AF∠∴△EAD≌△EAF(SAS∴EF=ED．38．如图，△ABC中，∠ABC=60°，将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF(1)求证：DA∥BC；(2)若BF=AF=23，求DF【答案】(1)证明见解析；(2)DF=4【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30∘（1）根据旋转的性质得到AB=BD，旋转角∠ABD=60°，据此判定△ABD为等边三角形，得到∠DAB=60°，结合已知∠ABC=60°（2）由等边三角形的性质得AD=BD，结合已知AF=BF，公共边DF=DF，利用SSS判定△ADF≌△BDF，得到∠ADF=∠BDF=30°，进而推出相关角为90°，再利用含30°角的直角三角形中，30°【详解】（1）解：∵△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE，∴AB=BD，∠ABD=60°∴△ABD是等边三角形，∴∠DAB=60°∵∠ABC=60°∴∠DAB=∴DA∥BC；（2）解：∵△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°在△ADF和△BDF中，AD=BDAF=BF∴△ADF≌△BDF(SSS∴∠ADF=∴DF⊥AB，由旋转的性质得∠DEB=∵DA∥BC，∴∠DAF=180°−在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴DF=2×2339．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，点D在线段BC的延长线上．(1)求证：∠ACD+∠E=180°；(2)若∠BAD=100°，求∠CDE的大小．【答案】(1)见解析；(2)∠CDE=80°．【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．（1）根据旋转的性质推出∠ACB=∠E，再根据平角的性质∠ACD+∠ACB=180°，最后等量代换即可证明；（2）根据旋转的性质推出∠B=∠ADE，再根据三角形的内角和求出∠B+∠ADB，最后通过等量代换即可求解．【详解】（1）解：证明：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠ACB=∠E，∵点B，C，D在同一直线上，∴∠ACD+∠ACB=180°，∴∠ACD+∠E=180°．（2）∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴∠B=∠ADE，∵△ABD的内角和为180°，∠BAD=100°，∴∠B+∠ADB=180°−∠BAD=80°，∴∠CDE=∠ADE+∠ADB=∠B+∠ADB=80°．40．如图，已知正方形ABCD，P是正方形ABCD内一点．若PA=2，PB=2，将△BPA绕点B顺时针旋转至△BEC处，此时点A、P、E(1)求∠APB的度数；(2)求PC的长；(3)求△BPC的面积．【答案】(1)135°(2)10(3)3【分析】（1）由题意可知，△BPA≌△BEC，那么BP=BE，∠PBE=90°，从而得到∠BPE=∠BEP=45°，然后利用平角，得到∠APB；（2）结合（1）可知，∠BEC=∠BPA=135°，∠BPE=∠BEP=45°，从而得到∠PEC=90°，然后利用勾股定理求得PC即可；（3）过点B作BH⊥PE于点H，然后利用勾股定理求得BH，接着利用S△BPC【详解】（1）解：∵正方形ABCD，∴∠ABC=90°，∵将△BPA绕点B顺时针旋转至△BEC处，∴△BPA≌△BEC，且旋转角度为90°，∴BP=BE，∠PBE=90°，∴△BEP是等腰直角三角形，∴∠BPE=∠BEP=45°，∵点A、P、E三点正好在同一直线上，∴∠APB=180°−∠BPE=180°−45°=135°；（2）解：∵△BPA≌△BEC，∠APB=135°，PA=2∴∠CEB=∠APB=135°，CE=PA=2∵∠BEP=45°，∴∠PEC=∠CEB−∠BEP=135°−45°=90°，∵△BEP是等腰直角三角形，PB=2=BE，∴PE=P∴PC=P（3）解：∵△BEP是等腰直角三角形，PB=2=BE，∴S∵∠PEC=90°,CE=2∴S过点B作BH⊥PE于点H，如图所示：∵∠BPE=45°，∴△BPH是等腰直角三角形，∴BH=PH，∵BH∵PB=2，∴BH=2∴∴S【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．41．已知△ABC中，∠ACB=90°,AB=25,BC=20，将△ABC绕着点C顺时针旋转，得到△MNC．(1)如图1，当点M落在AB边上时，求线段BM的长；(2)如图2，当△ABC绕着点C顺时针旋转到△MNC的位置时，连接AM,AN,BM,BN．①判断线段AM与BN的位置关系并说明理由；②求AN③在△ABC的旋转过程中，直接写出△ACN的面积与△BCM的面积之和的最大值为________．【答案】(1)7(2)①AM⊥BN，理由见解析；②1250；③300【分析】（1）先利用勾股定理求出AC的长，过点C作CD⊥AB于点D，根据S△ABC=12AB×CD=12AC×BC，可得（2）①由旋转的性质得：AC=MC,BC=NC,∠ACB=∠MCN=90°，从而得到∠ACM=∠BCN，进而得到∠CAM=∠CBN，再由∠AEC=∠BED，可得∠ACE=∠BDE，即可解答；②根据勾股定理可得AN2+BM2=AD2+ND2+BD2+MD2=AD2+BD2+ND2+MD2=AB【详解】（1）解：∵∠ACB=90°,AB=25,BC=20，∴AC=A如图，过点C作CD⊥AB于点D，∴S△ABC∴12解得：CD=12，∴AD=A由旋转的性质得：AC=CM=15，∴AM=2AD=18，∴BM=AB−AM=7；（2）解：①AM⊥BN，理由如下：由旋转的性质得：AC=MC,∴∠CAM=∠CMA，即∠ACM=∠BCN，∴180°−∠ACM=180°−∠BCN，即∠CAM+∠CMA=∠CBN+∠CNB，∴2∠CAM=2∠CBN，∴∠CAM=∠CBN，∵∠AEC=∠BED，∴180°−∠CAM−∠AEC=180°−∠CBN−∠BED，即∠ACE=∠BDE，∵∠ACE=90°，∴∠BDE=90°，∴AM⊥BN；②∵AM⊥BN，∴AN∴AN由旋转的性质得：AB=MN=25，∴AN③如图，延长AC至点T，使CT=CM，过点N作NK⊥AC交AC延长线于点K，连接NT，如图，由旋转的性质得：∠MCN=∠ACB=90°=∠BCK,AC=MC=15，∴∠NCT=∠MCB,∴AT=AC+CT=15+15=30，在△CNT和△CBM中，NC=BC∠NCT=∠MCB∴△CNT≌△CBM，∴S△CNT∴S△ACN∴当NK最大时，S△ACN而NK的最大值为NC=20，∴S△ACN+S故答案为∶300．【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键．42．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”．【问题解决】如图1，P是等边△ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P(1)则点P与P′之间的距离为PP′=，(2)在（1）的条件下，小明同学在求AB2时思路如下：如图2，过点B作BH⊥AP，交AP延长线于H，请你根据他的思路，计算A(3)【类比探究】如图3，点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=2,PC=3，求∠APB的度数？请写出完整过程；S正方形ABCD(4)【学以致用】如图4，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至△BP′A′，连接PP′，A′C，记A′C与AB交于点D，可知BA′=BA=BC,∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=120°，由BP′=BP,∠P′BP=60°，可知△P′BP为等边三角形，有【答案】(1)3；150(2)25+12(3)见解析，5+2(4)6+3【分析】本题考查了垂线段最短及其应用、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；（1）由题意可得BP′=PC=5，AP′=AP，∠PAC=∠P′AB，根据角之间的关系可得∠PA（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BPH=30°，再根据含30°角的直角三角形性质可得BH=12PB=2，PH=（3）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，由旋转可得：∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=1，∠BP′C=∠APB，根据等腰直角三角形判定定理可得△BP′P为等腰直角三角形，则（4）将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，则AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD，根据等边三角形判定定理可得△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，则AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，则∠AEG=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得AG=3，EG=33，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，则EH=6+3【详解】（1）解：由题意可得：BP′=PC=5，A∵∠PAC+∠BAP=60°，∴∠PAP∴△APP∴PP∵PP∴△BPP∴∠BPP∴∠APB=90°+60°=150°，故答案为：3；150；（2）解：由（1）知，∠APP′=60°∴∠BPH=30°，∵BH⊥AP，∴∠H=90°，∵PB=4，∴BH=12PB=2∴AH=AP+PH=3+23∴AB故答案为：25+123（3）解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP，交BP的延长线于点H，如图：，由旋转可得：∠PBP′=90°，BP′∴△BP∴∠BP′P=45°，在Rt∴PP′2∴PC∴△PP′C∴∠BP∴∠APB=∠BP∴∠APH=180°−∠APB=45°，∵AH⊥BP，∴∠AHP=90°，∴△AHP为等腰直角三角形，∴AH=HP，在Rt△AHP中，A即2AH2=∴BH=BP+HP=2+2在Rt△ABH中，A即AB∴S正方形故答案为：5+22（4）解：将△APD绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，连接DE，如图：∴AP=AF，∠PAF=60°=∠EAD，AE=AD=6，∴△AFP是等边三角形，△AED是等边三角形，∴AP=PF=AF，作EH⊥BC于点H交AD于点G，∴∠AEG=90°−∠EAD=30°，∴AG=3，EG=33∵PA+PD+PQ=PF+EF+PQ，∴当点E，F，G，H四点共线且垂直BC时，PA+PD+PQ有最小值为EH，∵GH=AB=6，∴EH=GH+EG=6+33∴PA+PD+PQ的最小值为6+33故答案为：6+33【题型9中心对称图形的识别】43．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】解：选项A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；选项B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；选项C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意；选项D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；故选：C．44．下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．45．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意．【题型10根据中心对称的性质求解】46．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若AC=1,AB=2,∠BAC=90°，则AE的长是（

）A．2 B．3 C．22 D．【答案】C【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到AC=DC=1，AB=DE=2，∠BAC=∠D=90°，则AD=2，由勾股定理即可求解．【详解】解：△ABC和△DEC关于点C成中心对称，∴AC=DC=1，AB=DE=2，∠BAC=∠D=90°．∴AD=AC+DC=2．∵∠D=90°，∴AE=A故选：C．47．如图，