2026-2027学年广东省深圳市外国语学校高二上学期学科练习（二）数学试卷（含答案）

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.下列直线方程纵截距为的选项为（）A. B. C. D.2.若直线：与：（）平行，则与间的距离是（）A. B. C. D.3.已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A. B.C. D.4.过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A.3x-19y=0 B.19x-3y=0C.19x+3y=0 D.3x+19y=05.“或”是“定点在圆的外部”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（）A. B.或C. D.或7.若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D.8.已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（）A. B.C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（）A.边BC与直线平行B.边BC上的高所在的直线的方程为C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)10.已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为D.若，，则的最小值为11.已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（）A.曲线的方程为B.点到直线距离的最小值为C.的最小值为D.若点坐标为，则的最小值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______．13.直线关于直线对称的直线方程__________.（用一般式方程表示）.14.若实数、、、，满足，，，则的最大值为________四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔（2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值.16.如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且面（1）求证：是的中点；（2）求直线与所成角的正切值；（3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.17.某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子，那么可以领取五个粽子带回家．已知每次挑选到每个粽子的可能性完全相等．（1）在基础环节中，求样本空间，并计算进入升级环节的概率；（2）求参加活动的顾客成功领取五个粽子的概率；（3）有两位顾客甲和乙独立参加活动，求恰有一人带走五个粽子的概率．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.下列直线方程纵截距为的选项为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：纵截距就是令是的值，令每一个选项中的为0，解出y，最后选出符合题意的.解答过程：直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为，直线的纵截距为.故选：B.2.若直线：与：（）平行，则与间的距离是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由平行关系求出，再由平行线间的距离公式求解．解答过程：因为与平行，所以，得，所以：，所以与间的距离为．故选：C．3.已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：确定直线过定点，结合垂直关系求解即可.解答过程：由可得，由得，故过定点，当直线与点和所在直线垂直时，点到直线的距离最大，由结合垂直关系可得，所以直线方程为.故选：A4.过两直线和的交点和原点的直线方程为（）A.3x-19y=0 B.19x-3y=0C.19x+3y=0 D.3x+19y=0答案：D解析：思路：设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可.解答过程：设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，解得，故所求直线方程为，即.故选：D.5.“或”是“定点在圆的外部”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论.解答过程：定点在圆的外部，，化简得，k的取值范围：或，所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件.故选：B.6.已知点，若直线与线段相交(包含端点的情况)，则实数的取值范围是（）A. B.或C. D.或答案：D解析：解答过程：整理直线的方程，可知直线恒过定点，所以直线的斜率为，直线的斜率为，直线与线段相交（包含端点），则直线的斜率需或：当时，直线的方程为，即轴，与线段交于点，符合条件；当时，直线的斜截式方程为，斜率为，若，解得；若，解得或，综上，的取值范围是或.7.若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程.解答过程：由条件可知，，，且，两式相加得，即，得，点是直线和的交点，所以，所以点满足直线，即直线方程为，，与直线垂直的直线方程的斜率为，所以中垂线方程为，整理为.故选：A8.已知点为圆上任意一点，过点分别向直线和作垂线，垂足分别为，．则的最大值为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由题意可知互相垂直且均经过定点，进而可得，再由基本不等式计算即可求解.解答过程：已知圆，化为标准方程为，因此圆的圆心，半径，由直线和，可知互相垂直且均经过定点，又因为，，所以四边形是一个矩形，且，因此，当且仅当三点共线且在线段之间时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，检验：当三点共线时，，直线的方程为，即，直线与圆联立方程组得，解得两个交点分别为和，结合题意可知应在离较远的一侧，取，此时，，所以，经检验，当时，有最大值为，故A正确.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）9.△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（）A.边BC与直线平行B.边BC上的高所在的直线的方程为C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)答案：BD解析：思路：由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．解答过程：直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确．故选：BD．10.已知点在圆：上运动.则下列结论正确的是（）A.的最大值为B.的最小值为C.若过点且斜率为的直线与轴交于点，则线段长度的取值范围为D.若，，则的最小值为答案：ACD解析：思路：先由圆的方程可得圆心坐标及半径，对A转化为直线与圆有交点时斜率最大值可得；对B转化为直线与圆有公共点时的最小值；对C设出直线方程求得点坐标，再用两点距离公式并结合圆点坐标范围可得；对D直接转化圆上的点到原点的距离的最小值问题可得.解答过程：对原圆方程配方得，圆心，半径对A选项，令表示点与原点连线的斜率，即直线与圆有交点.所以圆心到直线的距离，即，平方整理得：

，

解得，故​最大值为​​，A正确.对B选项，设，即，即直线与圆有公共点，所以圆心到直线距离

，即，解得，​

所以的最小值为，不是，故B错误；对C选项，过斜率为​的直线为，令，得，

，因为在圆上，所以，因此，故C正确；对D选项，设，，，所以，因为，所以，所以，故D正确.11.已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（）A.曲线的方程为B.点到直线距离的最小值为C.的最小值为D.若点坐标为，则的最小值为答案：ACD解析：思路：根据条件化简即可得圆的方程判断A；根据圆心到直线的距离及圆的性质判断B；根据切线及圆的几何性质判断C；利用,，利用三点共线即可求解D.解答过程：因为、，设，由，得，化简得：，故曲线的方程为，故A正确；曲线的圆心，到直线的距离为，可知直线与圆相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，故B错误；在中，，故C正确；在直线中，令，得，即，设点，满足,故，化简可得，由于在，即，故，，故,因此，，，当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确．故选：ACD．方法提示：关键点点睛：根据，利用待定系数法求解，进而根据以及三点共线求解.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.设A为圆上的动点，PA是圆的切线且，则P点的轨迹方程是______．答案：解析：思路：设点的坐标，根据切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理即可建立等量关系，从而求出P点的轨迹方程.解答过程：设是轨迹上任一点，连接，，，由圆的方程为，则圆心为，根据切线的性质，则，则由勾股定理可得，即，所以，即P点的轨迹方程为.13.直线关于直线对称的直线方程__________.（用一般式方程表示）.答案：解析：思路：联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程.解答过程：联立，得，则两直线的交点为，在直线上取点，设其关于的对称点为，则，得，则.故直线关于直线的对称直线为，又，所以直线，即.故答案为.14.若实数、、、，满足，，，则的最大值为________答案：解析：思路：设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。解答过程：设,因为实数，所以两点在圆上，且,所以，所以是等边三角形，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，在第三象限，所在直线与直线平行，可设，由圆心到直线的距离为，可得，解得，即有两平行线之间的距离为，所以，所以，所以的最大值为。故。方法提示：本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。四、解答题（本题共3小题，共47分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）求函数的最小正周期及的单调递减区间﹔（2）将的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，若，，求的值.答案：（1）最小正周期为，单调递减区间是；（2）.解析：思路：（1）利用完全平方公式、正弦的二倍角公式、逆用两角差正弦公式化简，再求最小正周期及的单调递减区间；（2）求出的图象变换后的解析式，再求出的正余弦值利用凑角可得答案.解答过程.（1）的最小正周期为，由，，解得，，所以函数的单调递减区间是.（2）将的图象先向左平移个单位长度，得到函数，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，据题意有，且，则，则.方法提示：本题考查了三角函数的图象和性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考了学生的计算能力，属于基础题.16.如图，四棱锥中，底面是矩形，面面，且是边长为2的等边三角形，，在上，且面（1）求证：是的中点；（2）求直线与所成角的正切值；（3）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）由线面平行的性质证明，（2）（3）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，（1）证明：连交于，连.∵是矩形，∴是中点.又面，平面，平面平面，∴，∴是的中点.（2）取中点，由题意得面面，面面，，平面，则，，两两垂直.以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，，得，则，则各点坐标为，，，，，.，，则，则，，直线与所成角的正切值为，（3）设存在满足要求，且，则由，则，，，设平面的一个法向量为，则，令得，设平面的一个法向量为，则，令得，当二面角为直角时，，解得，故存在使得二面角为直角．17.某超市在端午节举行猜粽子促销活动，活动分两个环节，基础环节：顾客需要在5个粽子内随机挑选两个粽子（其中有两个咸粽子和三个甜粽子），如果选中的两个粽子风味一致，那么可以领取一个粽子直接带回家；如果选中的两个粽子风味不一致，那么进入升级环节：从剩余3个粽子内再随机挑选一个粽子，如果选中的粽子是甜粽子，那么可以领取两个粽子带回家；如果选中的粽子是咸粽子