中考数学专题复习《平行四边形题型方法》测试卷附带答案

中考数学专题复习《平行四边形题型方法》测试卷（附带答

案）

学校:班级:姓名:考号:

题型方法I:中点四边形

【图形及结论】

I.任意四边形的中点四边形是平行四边形

结论证明:如图,连接BD,则EH和FG为中位线，

=iBD,EHBD,FG=BD,FGgBD,

.*.EH=FG.EH〃FG.

，四边形EFGH是平行四边形.

2.对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论证明：如图，

则EH和FG为中位线.

•••EH=:BD,EHBD.FG==BD,FG:BD,

.,.EH=FG,EH〃FG.

•••四边形EFGH是平行四边形.

又YEF〃AC.BD1AC.

/.EFIEH.

，四边形EFGH是矩形

3.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论证明：如图，

则EH和FG为中位线.

•••=1BD,EHBD,FG=|BD,FG|BD,

，EH=FG,EH〃FG,

，四边形EFGH是平行四边形.

同理可证：EF=GH=\AC,

XVAC=BD.

，EF=EH=EH=FG,

•••四边形EFGH是菱形.

4.对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形结论证明：如图，

则EH和FG为中位线,EF和GH为中位线

EH=\BD,EHBD,FG=BD,FG\BD.EF=^AC,EFAC,GH=\AC,GH\AC,

又：AC=BD,AC1BD,

.,.EF=EH=EH=FG,EFlEH.

•••四边形EFGH是矩形.

例:已知四边形ABCD的对角线AC±BD.E.F.G.H分别是边AB.BC.CD.DA的中点、那么四边形EFGH是（）

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A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形

解：YE,F,G.H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，

，根据中点四边形模型的结论可知四边形EFGH为平行四边形.

F,G分别是边BC,CD的中点，

，FG〃BD.同理,HG〃AC.

又,.•AC_LBD,

.".AC1FG,

.•.HGXFG.即NFGH=90°.

，平行四边形EFGH为矩形.

故选B.

【变式1】顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（）

A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形

【变式2】顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是。

A.A13〃CDB.AB1BCC.ACXBDD.AC=BD

【蜩：3】如图.在任意四边形ABCD中,M,N,P.Q分别是AB.BC.CD.DA上的点,对于四边形MNPQ的形状，以下结论错

误的是（）

A.当M,N,P,Q是各边中点时,四边形MNPQ一定为平行四边形

B.当M.N.P.Q是各边中点,且NABC=90"时.四边形MNPQ为正方形

C.当M.N,P.Q是各边中点.且AC=BD时.四边形MNPQ为菱形

D.当M.N,P,Q是各边中点,OAC1BD时四边形MNPQ为矩形

【变式4】如图.在任意四边形ABCD中.AC.BD是对角线.E.F.G.H分别是线段BD.BC,AC,AD上的点，对于四边形EF

GH的形状，某班学生在一次数学活动课中通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）.

A.当E,F,G,H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形

B.当E.F,G,H是各条线段的中点.且AC_LBD时.四边形EFGH为矩形

C.当E,F.G,H是各条线段的中点,且AB=CD时,四边形EFGH为菱形

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D.当E,F,G,H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

【甄5】如图.任意四边形ABCD中.E.EG.H分别是AB.BC.CD.DA上的点.对于四边形EFGH的形状，某班学生在一

次数学活动课中，通过动手实践,探索出如下结论，其中错误的是（）.

Arr

A.当E.F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形

B.当E.F.G,H是谷边中点.MAC±BD时四边形EFGH为矩形

C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E.F.G.H不是各边中点时.四边形EI-GH不可能为菱形

题型方法2：垂美四边形

2.条件:

如图四边形ABCD的对角线AC和BD垂直，垂足为0。

3.结论:AB2+CD2=AD2+BC2.

4.结论的证明：

在RlAAOD中.0A2+0D2=收，①

在RtAAOB中，0A2+OB2=/IB?,②

在R(ACOD中.0C2+0D2=C*③

在RtABOC中.0B2+.0c2=④

(IX)可得：0A2+0D2+OB2+OC2=AD2+BC2

蜘③可得:OA2+OB2+0C2+OD2=AB2-CD2,

所以,AB2+CD2=AD2+BC2

【变式1】四边形ABCD中.AC1BD.AB=7,CD=11,BC=13,0!JAD=.

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【变式2】如图1,对角线耳相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(I)概念理解:如图1,在四边形ABCD中./1B=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由；

(2)性质探究:如图2.四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O.AC18,试证明：AB2+CD2=AD2+FC2;

⑶问题解决：如图3,分别以Rt△4cB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE.连结CE、

BG、GE.已知AC=2,48=5,求GE的长.

图3

题型方法3：十字架模型

L图形：

2•条佐正方形ABCD中,MN_LEF,

3.结论：MN=EF.

4.结论的证明：

如图,作FH_LAD于H、作MG_LCD于G.那么.FH〃CD.MG〃BC.FH=CD=BC=MG.

.•.FH1MG.

J.ZMQH-90A.

JNNMG+NMPF=90。、

又•.•MN1EF,

ZEFH+ZMPF=90°,

.'.ZEFH=ZNMG.

.".△EFH^ANMG,

，MN=EF.

特别地:

如图.正方形ABCD中.若BEXCF.贝（!△BCE^ACDF.

【变式I】如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G.交CD于F.若DF=

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2,BG=4,则AE的长为.

【变式2］如图.正方形ABCD中.点E、F分别在边CD.AD上.BE1CT于点G.若BC=4,AF=1.则CE的长为.

【变式3】如图.在正方形ABCD中.E是BC边上的点AE的垂直平分线交CD、AB与点I；、G.若BG=2BE“则DF:CF的值

为.

【蛔4】已知：在等腰直角△Z.BAC=90。,人8=AC,,E是AC边上的点AF±BE交BC于点D,如果AE=CD.

求证平分/ABC;

(2)43+AE=BC.

题型方法4:已知多中点，构造中位线

【考萱知识点】三角形中位线

L定义：

连接三角形两边中点的线段.

L定理：D若DE为^ABC的中位线厕DF..

三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边//BC.BDE=-1ODC.

三角形中位线里隐含重要性质：

辰角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等EF、GE、GF是△ABC的三条中位线，则有:

的三角形.

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①△AEGgZXEBF—

CFG^AFGE.

②三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为②/EFG=DAABCSAEFG=SAABC

原三角形的周长的一半，其面积为原三角形面积的

四分之一.

当题目已知有多个中点时，考虑构造中位线解题。

例如图.已知四边形ABCD中.AB=CD.E、F为AD、BC中点.连接EF与BA的延长线相交于N,与CD的延长线相交于M,

求证：Z.BNF=Z.CMF.

方法I：

【解析】由题目条件，艮F为AD、BC中点，所以，想到可以利用中点构造中位线，可以连接AC,取其中点G,连接EG、

FG.这样FG、EG都是中位线了.并且由于"=CO,可以得至I」EG=FG,而要证的两个角可以转化到三角形EFG这个三角

形中从而解决问题.

解:连接AC.取AC中点G.连接EG.FG.

贝（JEG〃CD,且“=也，

FG〃AB,且FG=）B,

VAB=CD.

.•.EG=FG.

JZBNF=ZEFG=ZFEG=ZCMF.

方法2：

解:作DG〃AB,且BG〃AD.连接FG,CG,

取CG中点H.连接DH.FH,

易证FH//BG.且尸“=^BG=DE,

四边形DEFH为平行四边形，

又•.YB=DG=CD,

ZBNF=ZMKD=ZGDH=ZCDH=ZCMF.

方法3:

解:作EG〃AB.HBG〃AE.

连接GF并延长至H.使得FH=FG.连接CH.HE.

则AEGB为平行四边形，

△BFGg△CFH.CH〃BG〃AD,

且CH=BG=AE=DE.GF=HF.

则四边形CDEH为平行四边形，

AEH/7CM,

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又知AB=GE.CD=EH.

.•.ZGEF=ZHEF.

,/ZBNF=ZGEF,

ZCMF=ZHEF.

ZBNF=ZCMF.

【变式1】如图.在△ABC中.D.E.F分别是AB.BC.AC的中点.若△。的周长为20cm.则4DEF的周长为

【变EC2］如图.在RSABC中.“=90。48=2,点口上分别是直角边眈.人(1,的中点，则DE的长为—.

【蛔3】如图,△ABC中,AB=AC=6.BC=8,AE平分/BAC交BC于点E,点D为AB的中点，连接DE,则^BDE的周长是一

【变式4】如图，在四边形ABCD中,E、F分别为AB、CD的中点求证:EFV“4C+BD).

【故5】已知四边形ABCD是梯形，40IBC,.如图,E、F是BD、AC中点,试写出EF与AD、BC之间的关系。

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题型方法5：已知直角三角形，构造斜边中线

【考直知识点】三角形斜边中线：

当题目已知直角三角形时，考虑构造斜边中与解题.

例已知.如图.BD、CE是^ABC的高.F是DE的中点,G是BC的中点.求证:GF1DE.

A

【解析】题目中出现两个直角三角形，并且有一个公共的斜边BC,BC的中点是G点，那么作斜边中点为辅助线，那么这

两个中线相等。

【解答】证明:连接GE、GD,

VBD.CE是△ABC的高,G是BC的中点,

:.GE=^BC,GD=；BC,

.•.GE=GD.

又是DE的中点.

.\GF1DE.

【蛔1】在RsABC中,.Z.BAC=90。,/!/)1BC“E、F、G分别是AB、AC、BC的中点,M是DG的中点,求证:ME=MF.

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【变式2］如图,NMON=90°,AABC^,LBAC=90。,/IB=2,AC=1,AB在NMOW上滑动，求OC的最大值。

【变式3］已知:在^ABC中,NABC=90。.点E在直线AB上.ED与直线AC垂直.垂足为D、且点M为EC中点连接BM、D

M.

(D如图I.若点E在线段AB上,探究线段BM与DM及NBMD与所满足的数量关系，并直接写出你得到的结

论；

⑵如图2,若点E在BA延长线上,你(1)中的结论是否发生变化?写出你的猜想并证明.

图1图2

【变式4】如图,笛边形ABCDE中“乙ABC=Z.AED=90。,，871c=为CD的中点.求证:BF=EF.

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题型方法6：二倍线段的处理

要证明线段具备2倍关系时：

L找到短段线的2倍长,证明其2倍长等于长线段。

找段线的2倍长的方法有：直接延长2倍，利用中位线、直角三角形斜边梭、30。角对的直角边.

2.取长线段的一半，证明其一半等于短线段。

找长线段的一半的方法有：直接取中点，利用中位线、直角三角形斜边中线、30二角对的直角边。

注：当地目条件出现2倍线段时，用这个方法把条件转化为线段相等。

例：已知△ABC中,AB=AC.E是AB边上的中点.延长AB至点D.使得BD=AB,求证:2CE=CD.

C

4EBD

解:方法1：

【解析】要证2CE=CD,不能利用性质定理亘接得到。那么我们去找短线段CE的2倍，想办法证明它的2倍和长线段C

D傩就可以了。找2倍最直接的方法就是倍长，我们发现CE又是中线,所以可以倍长中线去作辅助线。

【解答】证明:延长CE至F,使得EF=CE,连接BF.

YE是AB边上的中点，

AAE-BE./]

XVEF=CE.ZAEC=ZBEF.A/-V———

4，E/BD

/.△AEC^ABEF.:/

.\BF=AC,ZA=ZEBF,》

又•.•AB=AC.BD=AB.

；.BF=BD,ZACB=ZABC.

XVZCBD=ZA+ZACB.ZCBF=ZEBF+ZABC.

/.ZCBD=ZCBF.

XVBC=BC.

/.△CBF^ACBD.

.,.CD=CF=2CE.

方法2:

【解析】方法1倍长CE到F,连接的是BF,那么也可以连接AF去解懑.

【解答】证明:延长CE至F.使得EF=CE,连接AF.

•..E是AB边上的中点，C

/.AE=BE,

又•/EF=CE.NAEF=NBEC../\

A\7EBD

/.△AEF^ABEC,\/

AAF=BC.ZCBE=ZEAF.7

又•.•AB=AC,BD=AB,

/.AC=BD.ZACB=ZABC.

XVZCBD=ZCAB+ZACB,ZCAF=ZCAB+ZEAF,

/.ZCBD=ZCAF,

/.△CBD^ACAF,

.-.CD=CF=2CE.

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方法3:

【解析】通过倍长CE找到其2倍，使问题得以证明。那么我们能不能利用中位线找到它的2倍呢?题目中，E是中点，所

以，如果C也是某线段中点，那么，CE就是中位线了，对应的边就是CE的2倍了.所以，可以想到，倍长AC到F点，

再连接BF,这样BF就是CE的2倍,接下来只需要证明BF等于CD即可.

【解答】证明:延长AC至F,使得CF=AC,连接BF,

是AB边上的中点.

/.AE=BE.

XVCF=AC.

ACE是中位线.BF=2CE,

XVAB=AC.BD=AB.

.*.CF=BD.ZACB=ZABC,

AZCBD-ZBCF,

/.△CBD^ABCF,

.*.CD=BF=2CE.

方法4:

［解析］倍长AC找到CE的2倍，那么倍长BC是否也可以呢?所以，可以想到，倍长BC到F点，再连接AF,这样AF

就是CE的2倍。接下来只需要证明AF等于CD即可.

【解答】证明:延长BC至F,使得CF=BC,连接AF.

,「E是AB边上的中点，

F,

；.AE=BE,,\

又••.CF=BC/\c

•••CE是中位线AF=2CE.1

XVAB=AC.BD=AB.:/\

/.AC=BD.ZACB=ZABC.AEBJ)

:.ZCBD=ZACF,

/.△CBD^AFCA.

.*.CD=AF=2CE.

方法5:

【解析】通过找CE的2倍的方式已经试过了，当然，有兴趣的同时可以再想想有没有其他找2倍的方法。接下来，我们

思考找长线段CD的一半，那么找CD一半的最直接的方式就是取中点了。可以取CD中点为F,连接BF,接下来只需要

证明CF或DF和CE相等就可以了。

【解答】证明:取CD的中点为F.连接BF,

；.CF=DF,

又•.,BD=AB,

；.BF是中位线.

/.AC=2BF.ZA=ZCBD.

又•••AB=ACE为AB中点,

AE=BF.AC=BD.

，CE=DF.

ACD=2CE.

方法6:

【解析】继续想办法找CD的一半，我们看到B是AD的中点，所以想到利用中位线找到CD的一半，可以取AC中点为

F,连接BI-,那么，BF是中位线,等于CD的一半，那么，接下来只需要证明BF和CE相等就可以了。

【解答】证明:取AC的中点为F.连接BF,又•••BD=AB.

•♦•BF是中位线,

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.-.CD=2BF,

又••,AB=AC,E为AB中点，

，CE、BF分别是等腰三角形腰上的中线，

.*.CE=BF,

.\CD=2CE.

【变式1】已知:在AABC中,AD为中线,且Z.BAD=90°,Z.DAC=45。,求证：AB=2AD.

【变式2］如图，已知在等腰直角三角形ABC中，/IE=AC./.BAC=90°,BD平分"BC,CE1BD交BD的延长线于点

E,求证：BD=2CE.

A

【变式3】如图，在△1中.BD是AC边上的中线.BD1BC于点B.^ABD=3。。,.求证:AB=2BC.

题型方法7：不规则图形辅助线

在一边四边形的边角计算中，我们需要将一般四边形化为特殊的图形才能进行解题。那么，在作辅助线时就有两种

思路.

一种是向内分割.意思是在四边形内部作辅助线，通过辅助线，把四边形分割成几个部分，每一个部分是三角形或

者特殊的四边形，如平行四边形，菱形，矩形，正方形。一股是在内部作垂线、平行线，把四边形分割为几部分.

另一种是向外补形。意思是在图形外部作辅助线，把图形补成一个特殊的图形，比如，特殊的三角形，平行四边形，

菱形，矩形，正方形.一般是延长一组对边相交于一点，这样会补成一个三角形,也有通过作垂线，把四边形补成矩形或

者正方形的。

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例:如图,在四边形ABCD中,乙4=乙BCD=90°,Z.ADC=60°,BC=273,/I。=10,求AB的长.

方法1:向外补形。

【解析】观察到NA=90。,NADC=60。.这样把DC、AB延长交于一点E,就相当于把四边形!卜成了f直角三角形，而且

还是一个特殊的直角三角形，方便我们进行各项计算.

解:延长DC、AB交于一点E.

,/ZA=90°,ZADC=60°,

/E=30。，

VAD=IO,

•••AE=