山东济南槐荫区2026-2027学年九年级数学第一学期期中考试试题以及答案

~2027学年度第一学期期中质量检测九年级数学(2026.11本试题分试卷和答题卡两部分。第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分。本试题共8页，满分为150分。考试时间为120分钟。答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。第Ⅰ卷(选择题共40分)注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.如果xy=32A.3x=2yB.2x=3yC.xy=6D.x=3,y=22.在△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则cosA的值是（）A.513B.1213C.1253.若△ABC∽△DEF，面积比为4:9，则△ABC与△DEF的周长比为（）A.4:9B.2:3C.3:2D.4:34.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，如果ADDB=32A.25B.22.5C.6D.125.对于二次函数y=5(x−1)2+2的图象，下列说法不正确的是()A.顶点坐标为(1,2)B.对称轴是直线x=1C.开口向下D.当x<1时，y随x的增大而减小6.如图，某市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为α的斜坡练习滑雪，从点A滑行到点B。若AB=300米，则小旺下降的高度为()A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.300tanα7.函数y=ax2与y=ax+a的图象在同一坐标系中可能是()8.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是AD边上的动点，若CE⊥BD，则AE的长是()A.3B.4C.23D.79.在五角星中，若ACAB=BCACA.ADDG=DGAGB.ACAB=ALBLC.ADAF=DF10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(4,0)，其对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b2−4ac<0；③8a+c=0；④直线y=kx−4k(k≠0)经过点(0,c)，则关于x的不等式ax2+(b−k)x+c+4k>0的解集是0<x<4。其中正确的是（）A.①③B.①②④C.①③④D.②③④第Ⅱ卷(非选择题共110分)注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内(超出方框无效)，不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。不按以上要求作答，答案无效。二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。)11.二次函数y=x2−x+2的图象与y轴的交点坐标是。12.如图，已知△ABC∽△ACD，∠A=80∘，∠ADC=60∘，则∠B=度。13.如图，A、B、C均在正方形网格中的格点(小正方形的顶点)处，则tanB的值为。14.若二次函数y=x2−2x+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2−2x+c=0的两根之和为。15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与边CD交于点F，连接AF，则AF的最小值为。三、解答题(本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)16.(本小题满分7分)计算：tan245∘+sin60∘·tan60∘−sin30∘+2cos45∘17.(本小题满分7分)如图，线段AE、BD交于点C，AB//DE，其中AC=5，AB=3，CE=2.5，求DE的长。18.(本小题满分7分)已知二次函数的图象经过(0,3)，且它的顶点坐标是(1,2)。(1)求这个二次函数的解析式；(2)请写出这个函数除顶点坐标以外的其他两条性质。19.(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB:y=−12(1)求tanα的值；(2)若BC=5，求tan2α的值。20.(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上(网格中小正方形的顶点即为格点)。(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2，并写出点B的对应点B1的坐标；(2)请直接写出△A1B1C1的面积为__________；(3)若点M(x,y)为△ABC的三条边上的任意一点，请直接写出经过(1)的变化后，对应点M1的坐标是__________。21.(本小题满分9分)暑假期间，小浩一家到某旅游风景区登山。他们从山脚A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处。已知山坡AB的坡角α=18∘，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β=37∘，这座山的高度CD=482m，A、B、C、D在同一平面内。(1)求小浩一家步行上升的垂直高度；(2)求缆车的行驶路线BC的长。(参考数据：sin18∘≈0.31，cos18∘≈0.95，tan18∘≈0.32，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)22.(本小题满分10分)某种蔬菜每千克的售价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克的成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)。(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时每千克的利润是______元(利润=售价-成本)；(2)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；(3)设该蔬菜每千克的销售利润为W元，请写出W与x之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？23.(本小题满分10分)如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，BD2=AD·BC。(1)求证：∠ABD=∠C；(2)以CD为一边作∠CDE=∠ADB，DE交BC边于点E，求证：CD2BD224.(本小题满分12分)如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、点B(3,0)，与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式；(2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD，求△BCD面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。25.(本小题满分12分)“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片ABC折叠，使顶点A的对应点落在BC边上的点D处，折痕为EF，若△BDE与△CDF均为等腰三角形，我们称折痕EF是△ABC的双等腰折痕。初步尝试：(1)如图①，若点E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证：折痕EF是△ABC的双等腰折痕；类比探究：(2)如图②，在三角形纸片ABC中，∠A=90∘，EF是△ABC的双等腰折痕，且点E为AB的中点，若AC=3，AB=4，求EFBD拓展应用：(3)如图③，在三角形纸片ABC中，EF是△ABC的双等腰折痕，AE=AF，若BD=BE，折痕EF=3，点A到折痕EF的距离为2，求出边AC的长。答案一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.如果xy=32A.3x=2yB.2x=3yC.xy=6D.x=3,y=22.在△ABC中，∠C=90∘，AC=5，BC=12，则cosA的值是（A）A.513B.1213C.1253.若△ABC∽△DEF，面积比为4:9，则△ABC与△DEF的周长比为（B）A.4:9B.2:3C.3:2D.4:34.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE//BC，如果ADDB=32A.25B.22.5C.6D.125.对于二次函数y=5(x−1)2+2的图象，下列说法不正确的是(C)A.顶点坐标为(1,2)B.对称轴是直线x=1C.开口向下D.当x<1时，y随x的增大而减小6.如图，某市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为α的斜坡练习滑雪，从点A滑行到点B。若AB=300米，则小旺下降的高度为(A)A.300sinα米B.300cosα米C.300tanα米D.300tanα7.函数y=ax2与y=ax+a的图象在同一坐标系中可能是(A)8.如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E是AD边上的动点，若CE⊥BD，则AE的长是(D)A.3B.4C.23D.79.在五角星中，若ACAB=BCACA.ADDG=DGAGB.ACAB=ALBLC.ADAF=DF10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为(4,0)，其对称轴为直线x=1，其部分图象如图所示，有下列4个结论：①abc<0；②b2−4ac<0；③8a+c=0；④直线y=kx−4k(k≠0)经过点(0,c)，则关于x的不等式ax2+(b−k)x+c+4k>0的解集是0<x<4。其中正确的是（C）A.①③B.①②④C.①③④D.②③④第Ⅱ卷(非选择题共110分)注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内(超出方框无效)，不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。不按以上要求作答，答案无效。二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的横线上。)11.二次函数y=x2−x+2的图象与y轴的交点坐标是(0,2)。12.如图，已知△ABC∽△ACD，∠A=80∘，∠ADC=60∘，则∠B=40度。13.如图，A、B、C均在正方形网格中的格点(小正方形的顶点)处，则tanB的值为1。14.若二次函数y=x2−2x+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2−2x+c=0的两根之和为2。15.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与边CD交于点F，连接AF，则AF的最小值为133三、解答题(本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)16.(本小题满分7分)计算：tan245∘+sin60∘·tan60∘−sin30∘+2cos45∘=12+32×3﹣12=1+217.(本小题满分7分)如图，线段AE、BD交于点C，AB//DE，其中AC=5，AB=3，CE=2.5，求DE的长。解：∵AB∥DE∴∠A=∠E,∠B=∠D又∵∠ACB=∠ECD(对顶角相等)∴△ABC∽△EDC∴ACEC=将AC=5,AB=3,CE=2.5代入得：52.5=解得：DE=1.5答：DE的长为1.5。18.(本小题满分7分)已知二次函数的图象经过(0,3)，且它的顶点坐标是(1,2)。(1)求这个二次函数的解析式；(2)请写出这个函数除顶点坐标以外的其他两条性质。解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)。将点(0,3)代入解析式，得：3=a(0−1)2+23=a+2解得：a=1因此，二次函数的解析式为y=(x−1)2+2（或y=x2−2x+3）。(2)示例答案一：①函数图象开口向上；②当x<1时，y随x的增大而减小。示例答案二：①函数图象的对称轴为直线x=1；②函数的最小值为2。19.(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB:y=−12(1)求tanα的值；(2)若BC=5，求tan2α的值。解：(1)在直线y=−12令x=0，得y=4，则A(0,4)，OA=4。令y=0，得−12OB=8。在Rt△AOB中，∠AOB=90∘，tanα=OAOB=48=(2)∵BC=5，OB=8，∴OC=OB−BC=8−5=3。在Rt△AOC中，OA=4，OC=3，AC=OA2∵AC=BC=5，∴∠BAC=∠ABC=α。∵∠ACO是△ABC的外角，∴∠ACO=∠ABC+∠BAC=2α。在Rt△AOC中，tan2α=tan∠ACO=OAOC=420.(本小题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上(网格中小正方形的顶点即为格点)。(1)以原点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的相似比为2，并写出点B的对应点B1的坐标；(2)请直接写出△A1B1C1的面积为__________；(3)若点M(x,y)为△ABC的三条边上的任意一点，请直接写出经过(1)的变化后，对应点M1的坐标是__________。(1)如图所示(2)△A1B1C1的面积为10。(3)对应点M1的坐标是(−2x,−2y)。21.(本小题满分9分)暑假期间，小浩一家到某旅游风景区登山。他们从山脚A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处。已知山坡AB的坡角α=18∘，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β=37∘，这座山的高度CD=482m，A、B、C、D在同一平面内。(1)求小浩一家步行上升的垂直高度；(2)求缆车的行驶路线BC的长。(参考数据：sin18∘≈0.31，cos18∘≈0.95，tan18∘≈0.32，sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75)解：(1)过点B作BE⊥AD于点E。在Rt△ABE中，∠A=18∘，AB=200m，BE=AB·sin18∘≈200×0.31=62(m)。答：小浩一家步行上升的垂直高度为62m。(2)过点B作BF⊥CD于点F。由题意得四边形BEDF为矩形，∴DF=BE=62m，CF=CD−DF=482−62=420(m)。在Rt△BCF中，∠CBF=37∘，BC=CFsin37∘答：缆车的行驶路线BC的长为700m。22.(本小题满分10分)某种蔬菜每千克的售价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克的成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示(图1的图象是线段，图2的图象是抛物线)。(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时每千克的利润是______元(利润=售价-成本)；(2)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；(3)设该蔬菜每千克的销售利润为W元，请写出W与x之间的函数关系式，并求出哪个月出售这种蔬菜每千克的利润最大，最大利润是多少？解：(1)2(2)设y1=kx+b，将(3,5)、(6,3)代入得：3k+b=5解得k=﹣故y1=−23设y2=a(x−6)2+1，将(3,4)代入得：9a+1=4，解得a=13故y2=13x2(3)W=y1−y2=（−23x+7）﹣（13x2−4x+13）=﹣13（x﹣5）因为﹣13<0，所以当x=5时，W取得最大值7答：5月份出售这种蔬菜时每千克的利润最大，最大利润是7323.(本小题满分10分)如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，BD2=AD·BC。(1)求证：∠ABD=∠C；(2)以CD为一边作∠CDE=∠ADB，DE交BC边于点E，求证：CD2BD2证明：(1)∵AD∥BC∴∠ADB=∠DBC∵BD2=AD·BC∴BDAD=在△ADB和△DBC中：BDAD=BCBD∴△ADB∽△DBC∴∠ABD=∠C。(2)∵∠CDE=∠ADB，且由(1)知∠ADB=∠DBC∴∠CDE=∠DBC在△CDE和△CBD中：∠C=∠C∠CDE=∠DBC∴△CDE∽△CBD∴CDCB=CECD，即CD2=CB又∵BD2=AD·BC∴CD2=BD2AD∴CD2BD24.(本小题满分12分)如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)、点B(3,0)，与y轴交于点C。(1)求抛物线的解析式；(2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD，求△BCD面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y=−x2+bx+c得：−1−b+c=0解得b=2∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3。(2)令x=0，得y=3，故C(0,3)。设D(t,−t2+2t+3)(0<t<3)，过D作DH⊥x轴于H。S△BCD=﹣32（t﹣32）2∴当t=32时，△BCD的面积最大值为27(3)存在