山东济南历下区2026-2027学年九年级数学第一学期期中考试试题以及答案

九年级数学学情调研（2026.11）

考试时间120分钟满分150分

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列四组数中，成比例的一组是（）

A.1,2,4,5B.2,3,3,6C.1,2,2,4D.2,4,8,182.如图，已知直线

a//b//c，分别交直线

m,n于点

A,C,E,B,D,F，若

ACCE=34，BD=6，则

DF的长为（A.10B.8C.6D.43.下列二次函数关系式中，顶点坐标为

(−2,−1)的是（）

A.

y=−(x−2)2+1B.

y=(x+2)2+1C.

y=(x−2)2−1D.

y=(x+2)2−14.如图，四边形

ABCD∽四边形

A′B′C′D′，∠A=126∘，∠B=100∘，∠D′=76∘，则

∠C′的度数是（）A.

58∘B.

54∘C.

50∘D.

46∘5.如图，在下列

4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为

1，三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中与

△ABC相似的是（）6.二次函数

y=−x2+6x+3的图象与

x

轴的交点个数是（）

A.2B.1C.0D.无法确定7.已知

(−3,y1)，(−2,y2)，(1,y3)是抛物线

y=x2−2x+m上的点，则

y1,y2,y3的大小关系是（）

A.

y1<y2<y3B.

y3<y1<y2C.

y2<y3<y1D.

y3<y2<y1​8.一次函数

y=ax+c与二次函数

y=ax2−bx+c在同一个平面坐标系中的图象可能是（）

9.如图，在等腰

△ABC中，AB=AC，∠ABC=72∘，分别以点

A,C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧在线段

AC上方交于点

D，连接

AD,CD,BD，AC与

BD相交于点

O。以下结论不正确的是（）A.

AB//CDB.

AC=BDC.

CD2=OD·ACD.OCAB=510.二次函数

y=ax2+bx+c的大致图象如图所示，顶点坐标为

(−2,−9a)，下列结论中正确的有（）

①

abc<0；②

5a−2b+c=0；

③若方程

ax2+bx+c=1有两个根

x1

x2，且

x1<x2，则x1<−5<1<x2；

④方程

ax2+b∣x∣+c=1有两个根，且两根之和等于0。A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若

△ABC与

△DEF的相似比是

1:2，且

△ABC的周长为3，则

△DEF的周长为。12.如图，在

△ABC中，D

是边

AB上的一点，要使

△ACD∽△ABC，需添加的一个条件可以是（写出一个即可）。13.二次函数

y=x2−4x+3

的图象如图所示，则

x2−4x+3<0

的解集为。14.如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形，已知篱笆的长度是

16

m，则所围矩形

ABCD的最大面积是m2。15.如图，在矩形

ABCD中，AB=2，BC=3，E是边

AB的中点，连接

CE，BD，将

△CBE沿

CE

翻折，点

B

落至点

F

处，CF

与

BD相交于点

G，则

DG=。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）

已知a2=b3=17.（本小题满分7分）

如图，在矩形

ABCD

中，点

E,F分别在

BC,CD上，连接

AE,BF。若

AB=6，BE=1，EC=6，且

∠ABF=90∘，求

FC的长。18.（本小题满分7分）

如图，在平面直角坐标系中，将四边形

OABC四个顶点的横坐标、纵坐标都乘

−2。

(1)画出以所得四个点为顶点的四边形

OA1B1C1；

(2)四边形

OA1B1C1与四边形

OABC位似中心的坐标为______，其相似比为______；

(3)已知四边形

OA2B2C2与四边形

OA1B1C1位似，位似中心是原点

O，且四边形

OA2B2C2的面积等于四边形

OA1B1C1面积的116，则点

C219.（本小题满分8分）某竖直上抛物体的高度

h（单位：米）与运动时间

t（单位：秒）满足二次函数关系，下表呈现了部分数据：t/秒510152025h/米650102511501025a根据上表回答以下问题：

(1)

a

的值为______；当运动时间

t

为______秒时，物体的高度

h

取得最大值，最大值为______米。(2)求物体的高度

h

与运动时间

t

之间的关系式。20.（本小题满分8分）某文具店购进一批单价为6元的笔记本，如果以单价12元出售，那么每天可以销售40本。经调查发现，这款笔记本销售单价每提高1元，销售量就减少4本。

(1)设销售单价提高

x

元，每天的总利润为

y

元，则销售量减少______件，现在的销售量为______件；（用含

x

的式子表示）

(2)请求出当销售单价定为多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少？21.（本小题满分9分）如图，AB

和

CD

表示两根直立于地面的柱子，AD

和

BC

表示起固定作用的两根笔直的钢筋，AD

与

BC

的交点为

M，已知

AB=6

m，CD=2

m。

(1)求BMCM的值；

22.（本小题满分10分）某公园要修建一座拱形景观门，拱门轮廓近似为抛物线的一部分。按如图方式建立平面直角坐标系，拱门底部横跨地面总宽度为

6

m，拱门最高点距离地面

4.5

m。

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)现有一辆宽

2

m，高

3.8

m的观光车，如果该拱门内设单行车道，那么这辆观光车是否可以通过？请说明理由。23.（本小题满分10分）如图，在

△ABC中，AB=BC=20

cm，AC=30

cm，点

D

是边

AC

上靠近点

A

的三等分点。动点

P

从点

A

出发，在

AB边上以每秒

5

cm的速度向点

B

运动，同时动点

Q

从点

B

出发，在

BC边上以每秒

2

cm的速度向点

C

运动，点

P,Q的时间为

t

秒（0≤t≤4），连接

PD,DQ。

(1)

AP=cm，BQ=cm，CQ=______cm；（用含

t

的式子表示）

(2)当

△APD与

△DQC相似时，求

t

的值。24.（本小题满分12分）已知抛物线

y=ax2+bx+c与

x

轴交于点

A(−4,0)，B(2,0)两点，与

y

轴交于点

C(0,4)，点

P

是抛物线上的一个动点。

(1)求抛物线和直线

AC的函数表达式；

(2)如图1，当点

P

在直线

AC上方的抛物线上时，过点

P

作

PH⊥AC，垂足为点

H，求

PH的最大值；

(3)如图2，当点

P

在

y

轴右侧的抛物线上时，G

是线段

AC

的中点，连接

BG。若

∠BGP=45∘，求出点

P

的横坐标。图1图2备用图25.（本小题满分12分）在菱形

ABCD中，∠ABC=60∘，E

为边

AB上一点，连接

DB交对角线

AC于点

G，延长

DE交

CB的延长线于点

F，连接

CE。

(1)如图1，若

E

为

AB中点，请完成填空：CB

与

AB

的位置关系为______，用等式表示线段

CG

与线段

AG

的数量关系为______。

(2)如图2，连接

AF，若

BC=m，BE=n。

①求线段

CF

的长（用含

m

和

n

的式子表示）；

②求证：∠FAE=∠FCE。图1图2答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列四组数中，成比例的一组是（C）

A.1,2,4,5B.2,3,3,6C.1,2,2,4D.2,4,8,182.如图，已知直线

a//b//c，分别交直线

m,n于点

A,C,E,B,D,F，若

ACCE=34，BD=6，则

DF的长为（A.10B.8C.6D.43.下列二次函数关系式中，顶点坐标为

(−2,−1)的是（D）

A.

y=−(x−2)2+1B.

y=(x+2)2+1C.

y=(x−2)2−1D.

y=(x+2)2−14.如图，四边形

ABCD∽四边形

A′B′C′D′，∠A=126∘，∠B=100∘，∠D′=76∘，则

∠C′的度数是（A）A.

58∘B.

54∘C.

50∘D.

46∘5.如图，在下列

4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为

1，三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中与

△ABC相似的是（C）6.二次函数

y=−x2+6x+3的图象与

x

轴的交点个数是（A）

A.2B.1C.0D.无法确定7.已知

(−3,y1)，(−2,y2)，(1,y3)是抛物线

y=x2−2x+m上的点，则

y1,y2,y3的大小关系是（D）

A.

y1<y2<y3B.

y3<y1<y2C.

y2<y3<y1D.

y3<y2<y1​8.一次函数

y=ax+c与二次函数

y=ax2−bx+c在同一个平面坐标系中的图象可能是（B）

9.如图，在等腰

△ABC中，AB=AC，∠ABC=72∘，分别以点

A,C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧在线段

AC上方交于点

D，连接

AD,CD,BD，AC与

BD相交于点

O。以下结论不正确的是（D）A.

AB//CDB.

AC=BDC.

CD2=OD·ACD.OCAB=510.二次函数

y=ax2+bx+c的大致图象如图所示，顶点坐标为

(−2,−9a)，下列结论中正确的有（C）

①

abc<0；②

5a−2b+c=0；

③若方程

ax2+bx+c=1有两个根

x1

x2，且

x1<x2，则x1<−5<1<x2；

④方程

ax2+b∣x∣+c=1有两个根，且两根之和等于0。A.1个B.2个C.3个D.4个第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.若

△ABC与

△DEF的相似比是

1:2，且

△ABC的周长为3，则

△DEF的周长为6。12.如图，在

△ABC中，D

是边

AB上的一点，要使

△ACD∽△ABC，需添加的一个条件可以是∠ADC=∠ACB（写出一个即可）。13.二次函数

y=x2−4x+3

的图象如图所示，则

x2−4x+3<0

的解集为1＜x＜3。14.如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围一个矩形，已知篱笆的长度是

16

m，则所围矩形

ABCD的最大面积是64m2。15.如图，在矩形

ABCD中，AB=2，BC=3，E是边

AB的中点，连接

CE，BD，将

△CBE沿

CE

翻折，点

B

落至点

F

处，CF

与

BD相交于点

G，则

DG=81317三、解答题（本大题共10个小题，共90分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤。）16.（本小题满分7分）

已知a2=b3=解：令a2=b3=则a=2k,b=3k,c=3k，∵a+b+c=2k+3k+3k=8k=16∴k=2则a=4,b=6,c=617.（本小题满分7分）

如图，在矩形

ABCD

中，点

E,F分别在

BC,CD上，连接

AE,BF。若

AB=6，BE=1，EC=6，且

∠ABF=90∘，求

FC的长。解：∵在矩形ABCD中，∴∠B=∠C=90∘∵∠AEF+∠FEC=∠EAB+∠B且∠AEF=90∘∴∠FEC=∠EAB∴△ABE∽△ECF∴ABEC=又∵AB=3,BE=1,EC=6即36=∴FC=218.（本小题满分7分）

如图，在平面直角坐标系中，将四边形

OABC四个顶点的横坐标、纵坐标都乘

−2。

(1)画出以所得四个点为顶点的四边形

OA1B1C1；

(2)四边形

OA1B1C1与四边形

OABC位似中心的坐标为______，其相似比为______；

(3)已知四边形

OA2B2C2与四边形

OA1B1C1位似，位似中心是原点

O，且四边形

OA2B2C2的面积等于四边形

OA1B1C1面积的116，则点

C2(1)四边形OA1B1C1即为所求；(2)(0,0)2；(3)(2,−12)或(−2,119.（本小题满分8分）某竖直上抛物体的高度

h（单位：米）与运动时间

t（单位：秒）满足二次函数关系，下表呈现了部分数据：t/秒510152025h/米650102511501025a根据上表回答以下问题：

(1)

a

的值为______；当运动时间

t

为______秒时，物体的高度

h

取得最大值，最大值为______米。(2)求物体的高度

h

与运动时间

t

之间的关系式。(1)650；15,1150；(2)由(1)得，设h=a(t−15)2+1150，且a≠0代入(25,650)得650=a(25−15)2+1150解得a=−5则h=−5(t−15)2+115020.（本小题满分8分）某文具店购进一批单价为6元的笔记本，如果以单价12元出售，那么每天可以销售40本。经调查发现，这款笔记本销售单价每提高1元，销售量就减少4本。

(1)设销售单价提高

x

元，每天的总利润为

y

元，则销售量减少______件，现在的销售量为______件；（用含

x

的式子表示）

(2)请求出当销售单价定为多少元时，每天获得的总利润最大？最大总利润是多少？解：(1)4x；(40−4x)(2)y=(12+x−6)(40−4x)=−4(x−4)2+256∵0⩽x<10当x=4时，y取得最大值，y最大=25612+x=12+4=16∴销售单价定为16元时，每天获得利润最大，最大利润为256元。21.（本小题满分9分）如图，AB

和

CD

表示两根直立于地面的柱子，AD

和

BC

表示起固定作用的两根笔直的钢筋，AD

与

BC

的交点为

M，已知

AB=6

m，CD=2

m。

(1)求BMCM的值；

(1)解：由题意得AB⊥BD,CD⊥BD，∴AB∥CD∴∠A=∠MCD,∠ABM=∠C∴△ABM∽△DCM∴ABDC=∵AB=6,CD=2∴BMCM=6(2)∵MN⊥BD,CD⊥BD∴MN∥CD∴∠BMN=∠C,∠BNM=∠BDC∴△BMN∽△BCD∴MNCD=由(1)得BMCM∴BMCD=BMBM+CD∴MN2=34，∴点M到地面的距离为3222.（本小题满分10分）某公园要修建一座拱形景观门，拱门轮廓近似为抛物线的一部分。按如图方式建立平面直角坐标系，拱门底部横跨地面总宽度为

6

m，拱门最高点距离地面

4.5

m。

(1)求这条抛物线的函数表达式；

(2)现有一辆宽

2

m，高

3.8

m的观光车，如果该拱门内设单行车道，那么这辆观光车是否可以通过？请说明理由。解：(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(3,4.5)设y=a(x−h)2+k，∴y=a(x−3)2+4.5将O(0,0)代入，得9a+4.5=0解得a=−12∴y=−12(x−3)2+92或y=−12(2)观光车尽可以靠中间行驶，∴0+62+22=4或0+62把x=4代入y=−12(x−3)2+9y=−−12(4−3)2+9∵4>3.8，∴观光车可以通过。23.（本小题满分10分）如图，在

△ABC中，AB=BC=20

cm，AC=30

cm，点

D

是边

AC

上靠近点

A

的三等分点。动点

P

从点

A

出发，在

AB边上以每秒

5

cm的速度向点

B

运动，同时动点

Q

从点

B

出发，在

BC边上以每秒

2

cm的速度向点

C

运动，点

P,Q的时间为

t

秒（0≤t≤4），连接

PD,DQ。

(1)

AP=cm，BQ=cm，CQ=______cm；（用含

t

的式子表示）

(2)当

△APD与

△DQC相似时，求

t

的值。(1)5t；2t；(20−2t)(2)∵点D为AC上靠近点A的三等分点，AC=30cm∴AD=13AC=10cm,CD=2∵AB=BC∴∠A=∠C①当△APD∽△CDQ时∴APCD=∴5T20=t1=5+5(舍)，t2=5−5②当△APD∽△CQD时∴APCQ=∴5t20−2t=t=5∴t=5−5或5324.（本小题满分12分）已知抛物线

y=ax2+bx+c与

x

轴交于点

A(−4,0)，B(2,0)两点，与

y

轴交于点

C(0,4)，点

P

是抛物线上的一个动点。

(1)求抛物线和直线

AC的函数表达式；

(2)如图1，当点

P

在直线

AC上方的抛物线上时，过点

P

作

PH⊥AC，垂足为点

H，求

PH的最大值；

(3)如图2，当点

P

在

y

轴右侧的抛物线上时，G

是线段

AC

的中点，连接

BG。若

∠BGP=45∘，求出点

P

的横坐标。图1图2备用图解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C(0,4)∴c=4∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−4,0),B(2,0)两点，将A,B坐标代入得：16a−4b+4=04a+2b+4=0解得：∴该抛物线的解析式为y=−12x2设直线AC的表达式是y=kx+t将A,C坐标代入得：−4k+t=0解得k=1∴直线AC的表达式为y=x+4(2)如图1，过点P作PD∥y轴交AC于点D。设P(m,−12m2∴PD=−12m2−m+4−(m+4)=−12m∵A(−4,0),C(0,4)∴OA=4,OC=4,AC=OA2+∵PD∥y轴∴∠PDH=∠ACO∵PH⊥AC∴∠PHD=∠AOC∴△PDH∽△ACO∴PHAO=即PH4=解得：PH=﹣22(m+2)2+∵−4<m<0∴当m=−2时，PH有最大值2在此处键入公式。。(3)①如图2，在BG上方作∠BGP=45∘过B作BE⊥BG交GP于点E，过E作EN⊥x轴于N，过G作GM⊥x轴于