2026-2027学年北师大版八年级数学上册《第二章实数》单元测试卷（带答案）

第第页答案第=page11页（共=sectionpages22页）2026-2027学年北师大版八年级数学上册《第二章实数》单元测试卷（带答案）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各数中，不是无理数的是（

）A． B．C． D．0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）2．下列式子一定是二次根式的是（

）A． B． C． D．3．下列运算结果正确的是（

）A． B． C． D．4．如图，边长为1的正方形的顶点A，B在数轴上，A点对应数字1，以A点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点E所表示的数为（

）A． B． C． D．5．估算的值在（

）A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间6．如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为(

)A． B． C． D．7．如图所示，数轴上、两点表示的数分别为和3，点关于点的对称点为点．若点左边有一点，且点是线段的中点，则点所表示的数是(

)A． B． C． D．8．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积．对此问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊几何学家海伦（Heron，约公元50年），给出了求其面积的海伦公式：，其中①，我国南宋时期数学家秦九韶（约1202～1261），给出了著名的秦九韶公式：②．若一个三角形的三边长依次为3，4，5，请选用适当的公式求出这个三角形的面积是（

）A．5 B．6 C． D．129．对于实数、b，定义的含义为：当时，例：．如果，且和为两个连续正整数，那么的立方根是(

)A． B． C． D．10．对于整数，定义为不小于的最小整数，例如：对进行如下操作：，即对进行次操作后变为，对整数进行次操作后变为，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题11．化简：__________．12．比较大小：______．（填“>”，“<”或“=”）13．如图，数轴上点所表示的数为1，点是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于点．点表示的数记为，点表示的数记为，则的值为______．14．如果，那么的平方根为______．15．由，可以确定是两位数，由59319的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，由可以确定的十位上的数字是3，所以＝39．据以上方法可得＝______．三、解答题16．计算：(1)．(2)；17．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．(1)求a、b的值；(2)求的平方根．18．图1的网格由9个边长为1的小正方形组成．(1)图1中阴影正方形的面积是多少？边长是多少？(2)请在图2的网格图上，画出面积为13的正方形，使得它的顶点在网格的格点上；(3)请在图3数轴上表示．19．（1）已知x=2+，y=2-，求（+）（-）的值．（2）若的整数部分为a，小数部分为b，写出a，b的值并计算-ab的值．20．阅读材料，解答下列问题：在对部分二次根式进行分母有理化时，我们将“”和“”称为一对“对偶式”，如，像这样构造“对偶式”可以将根号去掉，从而进行根式的化简．(1)的“对偶式”为__________；(2)化简：；(3)已知，求的值．21．【阅读理解】【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分．因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．由此得到一个真命题：如果，其中是整数，且，那么．【材料二】已知是有理数，并且满足等式，求的值．解：．且，解得：．请解答：(1)如果，其中m是整数，且，那么______，______；(2)如果的小数部分为c，的整数部分为d，求的立方根．22．按要求解答(1)填表：0…

110010000…0…

1100…(2)规律归纳：①若正数的小数点向左（或右）移动位，则的小数点就相应地向移动位；②当时，若正数越大，则．(3)尝试运用：已知，求的值．23．在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数．如，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．(1)解决问题：分母有理化，得，的一个有理化因式是；(2)计算：；(3)计算：①已知：求的值．②(4)已知，试比较，的大小，并说明理由．参考答案与解析题号12345678910答案BBDAACBBCA1．B【详解】解：（相邻两个1之间依次多一个0）均是无理数；是分数，属于有理数，不是无理数．2．B【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断．【详解】解：A．∵当时∴不一定是二次根式．B．∵∴∴一定是二次根式．C．∵的根指数为3∴不是二次根式．D．∵当时∴不一定是二次根式．3．D【分析】根据算术平方根和立方根的概念，逐一计算后判断即可．【详解】解：∵∴，故该选项运算结果错误，不符合题意；，故该选项运算结果错误，不符合题意；，故该选项运算结果错误，不符合题意；∵∴，该选项运算结果正确，符合题意．4．A【分析】利用勾股定理求出正方形对角线的长，由题意可知，结合A点对应数字1，即可得出E所表示的数．【详解】解：在中：∵以点为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点E∴∵A点对应数字1∴E所表示的数为．5．A【分析】找到与29相邻的两个完全平方数，估算的取值范围，再推导的范围．【详解】解：∵∴∴即．6．C【分析】根据阴影部分面积和正方形①边长求出阴影部分宽，进而得出正方形②边长，利用矩形边长关系得出正方形③边长，最后计算面积．【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为∴阴影部分的宽为：∴正方形②的边长为：∴正方形③的边长为：∴正方形③的面积为：．7．B【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为点关于点的对称点为点点是线段的中点点是线段的中点8．B【分析】先求出的值，再代入进行计算即可．【详解】解：∵∴．9．C【分析】根据新定义的运算规则，推导、与的大小关系，结合无理数估算求解．【详解】解：∵，∴．∵∴．∵∴．∵，为连续正整数∴．∴∴的立方根为．10．A【分析】采用逆推法，从第三次操作结果出发，依据新定义逐步确定前一步操作输入的取值范围，取每步的最小值得到m的最小值．【详解】解：设第1次操作结果为，第2次操作结果为，则∵∴∴∴整数的最小值为∵∴∴∴整数的最小值为∵∴∴∴整数的最小值为．11．【分析】由二次根式有意义的条件确定的取值范围，结合二次根式的性质分别化简两项，代入计算即可得到结果．【详解】解：∵代数式中有意义∴被开方数满足，即∴．12．【详解】解：∵∴∴∵正实数的平方越大，对应的原数越大∴13．【分析】根据图形，由勾股定理得出的长度，再得出、的值，即可求出的值．【详解】解：∵故．14．【分析】先根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值，代入求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根，注意区分平方根与算术平方根的概念，避免漏解．【详解】解：二次根式被开方数为非负数对，有，解得；对，有，解得．同时满足两个条件的值为．将代入，得．．．正数的平方根有两个，且互为相反数的平方根为．15．105【分析】按照题干给出的立方根估算流程，先通过相邻整百数的立方范围确定立方根的位数，再根据被开方数的个位匹配对应立方的个位数字，最后划去被开方数后三位，通过剩余部分的立方范围确定高位数字，组合得到最终结果【详解】解：∵且∴是三位数∵被开方数1157625的个位数字是5，且只有个位为5的整数，其立方的个位数字为5（如）∴的个位数字是5划去1157625后面的三位625，得到数1157．∵，且∴立方根去掉个位后的高位部分为10∴．16．(1)(2)【详解】（1）解：．（2）解：．17．(1)(2)【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求得，再根据立方根的概念求得；（2）代入原式，求得平方根即可．【详解】（1）解：一个正数的两个平方根互为相反数解得由得；（2）解：的平方根为．18．(1)阴影正方形的面积是5；边长是(2)(3)【分析】（1）用大正方形面积减去周围4个直角三角形的面积来计算阴影正方形的面积；再根据正方形面积等于边长的平方得出边长；（2）同（1）的方法，在网格图四个角落处截去四个直角边长是2和3的直角三角形即可；（3）由（2）可得直角边长是2和3的直角三角形斜边长为，据此作图即可．【详解】（1）解：正方形的面积是；正方形的边长是；（2）解：由（1）可知，在正方形网格四个角落处截去四个相同的直角三角形，所得图形是正方形所截的直角三角形面积为三角形顶点在网格的格点上，因此两直角边均为整数，可取2和3，此时直角三角形面积为，符合题意所以在网格图四个角落分别截去直角边长是2和3的直角三角形，所得图形是面积为13的正方形；（3）解：由（2）可知网格图中正方形面积为13，则边长为，即直角边长是2和3的直角三角形斜边长为表示把向左移动1个单位长度因此以为顶点，在它的右侧构建直角边长是2和3的直角三角形，以此三角形斜边长为半径，为圆心画弧，与正半轴交点表示的数为．19．（1）-8；（2）6-．【分析】（1）将原式变形为，再根据x、y的值计算出y+x、y-x、xy的值，继而代入可得；（2）由题意得出a、b的值，代入计算可得．【详解】（1）原式=-==∵x=2+，y=2-∴x+y=4、y-x=-2、xy=1则原式==-8；（2）∵2＜＜3∴a=2、b=-2∴-ab=-2（-2）=+2-2+4=6-．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．20．(1)(2)(3)【分析】（1）根据“对偶式”的定义，两个含二次根式的式子相乘后不含根号，因为的对偶式为，所以直接对应构造即可．（2）因为分母是，属于带根号的差的形式，所以可以给分子分母同乘它的对偶式，利用平方差公式去掉分母的根号，完成分母有理化．（3）设所求式子为，已知式子为，因为两个式子相乘可以用平方差公式消去根号，得到只含常数的结果，且已知的值，所以通过计算的结果即可求出的值．【详解】（1）解：根据材料定义：与互为对偶式，只需改变原式中间的符号因此的对偶式为．（2）解：利用对偶式分母有理化化简：．（3）解：设根据平方差公式计算：因此．21．(1)(2)【分析】（1）根据夹逼法可得，依此可求和；（2）根据夹逼法可得，依此可求和，代入算式进行计算即可．【详解】（1）解：，其中是整数，且∴．（2）解：的整数部分为的立方根为．22．(1)0…

110010000…0…

110100…(2)①两，左（或右），一；②越大(3)【分析】（1）根据算术平方根计算即可；（2）根据表格作答即可；（3）根据（2）的规律作答即可；【详解】（1）解：；填表略；（2）解：①由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位；②由表格可知，当时，若正数越大，则越大．（3）解：．23．(1)．(2)．(3)①②．(4)，理由如下：