一次函数专题

贾老师数学·教会学生学习方法·快速提高学生学习成绩贾老师初中数学精讲精练系列辅导教材——八年级上一次函数专题1．正比例函数（1）正比例函数的定义一般地，形如__________（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数．（2）正比例函数的图象和性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定．①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而__________；②当k<0时，图象经过第__________象限，y随x的增大而减小．2．一次函数（1）一次函数的定义一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数．（2）一次函数的图象和性质对于y=kx+b（k≠0，b≠0）．当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第__________象限，y随x的增大而增大；当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大；当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而__________；当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小．3．一次函数的平移（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线．（2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移__________个单位长度得到．（3）（4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的．4．用待定系数法确定一次函数的解析式求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做__________．5．一次函数与方程、不等式的关系（1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与__________轴的交点的横坐标的值．①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围.②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系：ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围．ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围．（3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y．6．一次函数的图像，两点确定一条直线一次函数的图像是一条直线，根据两点确定一条直线，可以根据图像与轴的交点坐标和图像与y轴的交点坐标，画出一次函数的图像。一、正比例函数的定义正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0．【例1】下列y关于x的函数中，是正比例函数的是A．y=x2 B．y= C．y= D．y=二、正比例函数的图象和性质正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小．【例2】正比例函数y=3x的大致图象是A． B． C． D．【例3】已知在正比例函数y=（a-1）x的图象中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是A．a<1 B．a>1 C．a≥1 D．a≤1三、一次函数的定义判断函数是一次函数的方法先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断．【例4】下列函数中，是一次函数的是A．y=- B．y=- C．y= D．y=四、一次函数的图象和性质直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行．【例5】对于直线y=4x+3，下列说法错误的是A．图象与x轴的交点为（-，0）B．图象经过第一、二、三象限C．直线在y轴上的截距为（0，3）D．y随x的减少而减少五、一次函数的平移一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线．直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到．【例6】在平面直角坐标系中，把直线沿轴向上平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为A． B．C． D．六、用待定系数法确定一次函数解析式运用待定系数法求一次函数解析式的步骤：（1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）；（2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组；（3）解：解方程组，求出k，b的值；（4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式．【例7】一次函数的图象经过点（1，2）和（-3，-1），则它的表达式为A．y=x- B．y=x- C．y=x+ D．y=x+七、一次函数与一元一次方程的关系方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值；方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．【例8】一次函数y=ax+b交x轴于点（-5，0），则关于x的方程ax+b=0的解是A．x=5 B．x=-5 C．x=0 D．无法求解八、一次函数与一元一次不等式的关系一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用．【例9】如图，直线y=-x+c与直线y=ax+b的交点坐标为（3，-1），关于x的不等式-x+c≥ax+b的解集为A．x≥-1 B．x≤-1 C．x≥3 D．x≤3九、一次函数与二元一次方程（组）的关系由于所画图象有误差，所以用医象法求出的方程组的解多数情况下是近似解，可以通过检验知道它是否正确，这种解法很直观，对理解数形结合很有帮助．是A． B． C． D．十、运用一次函数选择最佳方案1．在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等．2．选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案都列出来，然后根据题意选择一个最优的方案．【例11】C，D两城蔬菜紧缺，A，B两城决定支援，A城有蔬菜20吨，B城有蔬菜40吨，C城需要蔬菜16吨，D城需要蔬菜44吨，已知A到C，D的运输费用分别为200元/吨，220元/吨，B到C，D的运输费用分别为300元/吨，340元/吨，规定A向C城运的吨数不小于B向C城运的吨数，请回答下列问题：（1）根据题意条件，填写下列表格城市/吨数ABCxD（2）设总费用为y，求出y与x的函数关系式；（3）怎样调运货物能使总费用最少？最少费用是多少？基础练习1．下列四个实际问题中的两个变量之间关系中，属于正比例函数关系的是A．有一个边长为x的正方体，则它的表面积S与边长x之间的函数关系B．某梯形的下底5cm，高3cm，上底xcm（0<x<5），则梯形的面积S与上底x之间的函数关系C．一个质量为100kg的物体，静止放在桌面上，则该物体对桌面的压强P与受力面面积S之间的函数关系D．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s，则小球速度v与时间t之间的函数关系2．已知y=（m+1），如果y是x的正比例函数，则m的值为A．1 B．-1 C．1，-1 D．03．若点P（-1，3）在正比例函数y=kx（k≠0）的图象上，则k的值是A．3 B． C．-3 D．-4．下列函数关系式：（1）y=-x；（2）y=2x+11；（3）y=x2；（4）y=，其中一次函数的个数是A．1 B．2 C．3 D．45．一次函数y=2x-1的图象大致是A． B．C． D．6．设点（-1，m）和点（，n）是直线y=（k-1）x+b（0<k<1）上的两个点，则m，n的大小关系为A．m>n B．m≥n C．m≤n D．m<n7．已知y=（m-1）x+m+3的图象经过一、二、四象限，则m的取值范围是A．-3<m<1 B．m>1 C．m<-3 D．m>-38．若y=（m-1）x|m|是正比例函数，则m的值为__________．9．直线y=-x+1向上平移5个单位后，得到的直线的解析式是__________．10．已知y与x+2成正比例，且当x=1时，y=-6．（1）求y与x的函数关系式．（2）若点（a，2）在此函数图象上，求a的值．11．已知函数y=（k为常数）．（1）k为何值时，该函数是正比例函数；（2）k为何值时，正比例函数过第一、三象限，写出正比例函数解析式；（3）k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小，写出正比例函数的解析式．12．已知函数y=（m-2）x3-|m|+m+7，当m为何值时，y是x的一次函数．13．已知y=（k-1）x|k|+（k2-4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x=3时，y的值；（3）当y=0时，x的值．14．设一次函数（，是常数，）的图象过，两点．（1）求该一次函数表达式；（2）已知存在另一直线，其表达式为：，若直线交于点，且在第四象限，求此时的取值范围．能力提升15．下列函数①y=2x-1，②y=πx，③y=，④y=x2中，一次函数的个数是A．1 B．2 C．3 D．416．已知点都在直线上，则与的大小关系是A． B． C． D．不能确定17．一次函数y=-x的图象平分A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、三象限 D．第二、四象限18．已知一函数y=kx+3和y=-kx+2，则两个一次函数图象的交点在A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限19．已知一次函数y=（a+1）x+b的图象如图所示，那么a，b的取值范围分别是A．a>-1，b>0 B．a>-1，b<0C．a<-1，b>0 D．a<-1，b<020．一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则m的值为A． B．1 C．3 D．或321．一次函数y=-5x-3的图象不经过的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限22．已知k>0，则一次函数y=kx-k的图象大致是A． B．C． D．23．对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是A．函数值随自变量的增大而减小B．当x<0时，y<4C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象D．函数的图象与y轴的交点坐标是（0，4）24．若y=kx-4的函数值y随着x的增大而减小，则k的值可能是下列的A．0 B．-4 C．π D．25．已知某一次函数的图象与直线y=-3x平行，且与函数y=3x+5的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的解析式是A．y=3x+5 B．y=3x-5C．y=-3x+5 D．y=-3x-526．如图表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n是常数，且mn≠0）的图象的是A． B． C． D．27．已知正比例函数y=（5m-3）x，如果y随着x的增大而减小，那么m的取值范围为__________．28．已知一次函数图象交x轴于点（-2，0），与y轴的交点到原点的距离为5，则该一次函数解析式为__________．29．已知y与x+2成正比例，当x=4时，y=12．（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）求当y=36时x的值；（3）判断点（-7，-10）是否是函数图象上的点．30．已知点（2，-4）在正比例函数y=kx的图象上．（1）求k的值；（2）若点（-1，m）在函数y=kx的图象上，试求出m的值；（3）若A（，y1），B（-2，y2），C（1，y3）都在此函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．31．如图，直线OA的解析式为y=3x，点A的横坐标是-1，OB=，OB与x轴所夹锐角是45°．（1）求B点坐标；（2）求直线AB的函数表达式；（3）若直线AB与y轴的交点为点D，求△AOD的面积；标．32．如图，在平面直角坐标系中，一直线与轴相交于点，与轴相交于点，与正比例函数的图象交于点．（1）求直线的解析式．（2）求的面积．（3）直接写出的解集．33．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现要调往A县10辆，调往B县8辆，已知调运一辆农用车的费用如表：县名费用仓库AB甲4080乙3050（1）设从乙仓库调往A县农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式．（2）若要求总运费不超过900元．共有哪几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？真题实战34．（2018·江苏常州）一个正比例函数的图象经过（2，-1），则它的表达式为A．y=-2x B．y=2x C． D．35．（2018·四川南充）直线y=2x向下平移2个单位长度得到的直线是A．y=2（x+2） B．y=2（x-2） C．y=2x-2 D．y=2x+236．（2018·辽宁抚顺）一次函数y=-x-2的图象经过A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三，四象限 D．第二、三、四象限37．（2018·湖南常德）若一次函数的函数值随的增大而增大，则A． B． C． D．是A．-5 B． C． D．739．（2018·贵州遵义）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3>0的解集是A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤240．（2018·辽宁省辽阳）如图，直线y=ax+b（a≠0）过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x=41．（2018·湖北荆州）已知：将直线y=x-1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0）C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小42．（2018·湖南娄底）将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为A． B． C． D．43．（2018·浙江义乌）如图，一个函数的图象由射线、线段、射线组成，其中点，，，，则此函数A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小44．（2018·四川甘孜州）一次函数y=kx-2的函数值y随自变量x的增大而减小，则k的取值范围是__________．45．（2018·内蒙古巴彦淖尔）已知点A（-5，a），B（4，b）在直线y=-3x+2上，则a__________b．（填“>”“<”或“=”）46．（2018·海南）如图，在平面直角坐标系中，点M是直线y=-x上的动点，过点M作MN⊥x轴，交直线y=x于点N，当MN≤8时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为__________．47．（2018·辽宁辽阳）如图，直线与坐标轴交于A，B两点，在射线AO上有一点P，当△APB是以AP为腰的等腰三角形时，点P的坐标是__________．48．（2018·甘肃陇南）如图，一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P（n，-4），则关于x的不等式组的解集为__________．49．（2018·辽宁锦州）如图，直线y1=-x+a与y2=bx-4相交于点P，已知点P的坐标为（1，-3），则关于x的不等式-x+a<bx-4的解集是__________．50．（2018·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）、（n，3），若直线y=2x与线段AB有公共点，则n的值可以为__________．（写出一个即可）51．（2018·湖南邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是__________．52．（2018·黑龙江牡丹江）某书店现有资金7700元，计划全部用于购进甲、乙、丙三种图书共20套，其中甲种图书每套500元，乙种图书每套400元，丙种图书每套250元．书店将甲、乙、丙三种图书的售价分别定为每套550元，430元，310元．设书店购进甲种图书x套，乙种图书y套，请解答下列问题：（1）请求出y与x的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（2）若书店购进甲、乙两种图书均不少于1套，则该书店有几种进货方案？（3）在（1）和（2）的条件下，根据市场调查，书店决定将三种图书的售价作如下调整：甲种图书的售价不变，乙种图书的售价上调a（a为正整数）元，丙种图书的售价下调a元，这样三种图书全部售值．53．（2018·四川巴中）学校需要添置教师办公桌椅A、B两型共200套，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．（1）求A，B两型桌椅的单价；（2）若需要A型桌椅不少于120套，B型桌椅不少于70套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套时，总费用为y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）求出总费用最少的购置方案．54．（2018·湖南益阳）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低．马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：品种AB原来的运费4525现在的运费3020（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？55．（2018·广西梧州）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．（1）求A、B两种型号电动自行车的进货单价；（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进式；（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？56．（2018·重庆）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x与直线l2交点A的横坐标为2，将直线l1沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标为-2．直线l2与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）求△BDC的面积．57．（2018·黑龙江省龙东地区）为了落实党的“精准扶贫”政策，A、B两城决定向C、D两乡运送肥料以支持农村生产，已知A、B两城共有肥料500吨，其中A城肥料比B城少100吨，从A城往C、D两乡运肥料的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别为15元/吨和24元/吨．现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨．（1）A城和B城各有多少吨肥料？（2）设从A城运往C乡肥料x吨，总运费为y元，求出最少总运费．少？58．（2018·云南曲靖）某公司计划购买A，B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B型电脑需0.4万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？参考答案1．D；2．A；3．C；4．B；5．B；6．A；7．A；8．-1；9．y=-x+610．（1）y=-2x-4．（2）a=-3．11．（1）k=±2；（2）k=2；（3）k=-212．m=-2．13．（1）k=-1；（2）当x=3时，y=-2x-3=-9；（3）x=．14．（1）；（2）的取值范围．15．B；16．A；17．D；18．A；19．A；20．C；21．A；22．B；23．B；24．B25．C；26．C27．m<28．y=x+5或y=-x-529．（1）y=2x+4；（2）x=16；（3）点（-7，-10）是函数图象上的点．30．（1）k=-2；（2）m=2；（3）y3<y1<y2．31．（1）点B的坐标为（1，-1）．（2）点A的坐标为（-1，-3）；直线AB的函数表达式为y=x-2．（3）S△AOD=1．（4）点P的坐标为（1，-1）．32．（1）直线的解析式为．（2）1；（3）．33．（1）若乙仓库调往A县农用车x辆（x≤6），则乙仓库调往B县农用车6-x辆，A县需10辆车，故甲给A县调农用车10-x辆，那么甲仓库给B县调车8-（6-x）=x+2辆，根据各个调用方式的运费可以列出方程如下：y=40（10-x）+80（x+2）+30x+50（6-x），化简得：y=20x+860（0≤x≤6）．（2）总运费不超过900，即y≤900，代入函数关系式得20x+860≤900，解得x≤2，所以x=0，1，2，即如下三种方案：甲往A：10辆；乙往A：0辆；甲往B：2辆；乙往B：6辆，甲往A：9；乙往A：1甲往B：3；乙往B：5，甲往A：8；乙往A：2甲往B：4；乙往B：4．（3）要使得总运费最低，由y=20x+860（0≤x≤6）知，x=0时y值最小为860，即上面（2）的第一种方案：甲往A：10辆；乙往A：0辆；甲往B：2辆；乙往B：6辆，总运费最少为860元．34．【答案】C35．【答案】C36．【答案】D37．【答案】B38．【答案】C39．【答案】B40．【答案】A41．【答案】C42．【答案】A43．【答案】A44．【答案】k<045．【答案】>46．【答案】-4≤m≤447．【答案】48．【答案】-2<x<249．【答案】50．【答案】251．【答案】x=252．（1）根据题意得购进丙种图书（20-x-y）套，则有500x+400y+250（20-x-y）=7700，所以解析式为：y=-x+18．（2）根据题意得：，解得，又∵x≥1，∴，因为x，y，（20-x-y）为整数，∴x=3，6，9，即有三种购买方案：①甲、乙、丙三种图书分别为3套，13套，4套，②甲、乙、丙三种图书分别为6套，8套，6套，③甲、乙、丙三种图书分别为9套，3套，8套，（3）若按方案一：则有13a-4a=20，解得a=（不是正整数，不符合题意），若按方案二：则有8a-6a=20，解得a=10（符合题意），若按方案三：则有3a-8a=20，解得a=-4（不是正整数，不符合题意），所以购买方案是：甲种图书6套，乙种图书8套，丙种图书6套，a=10．53．（1）设A型桌椅的单价为a元，B型桌椅的单价为b元，根据题意知，，解得，即：A，B两型桌椅的单价分别为600元，800元．（2）根据题意知，y=600x+800（200-x）+200×10=-200x+162000（120≤x≤140）．（3）由（2）知，y=-200x+162000（120≤x≤140），∴当x=140时，总费用最少，即：购买A型桌椅140套，购买B型桌椅60套，总费用最少，最少费用为134000元．54．（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据题意得，，解得，答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件．（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8-m）=（38-m）件，根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790，由题意得：38-m≤2（10+m），解得：m≥6，即6≤m≤8，∵一次函数W随m的增大而增大，∴当m=6时，W