北京市通州区2026-2027学年第一学期九年级期中质量检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（

）A. B.4 C.6 D.82.将抛物线竖直向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为（

）A. B.

C. D.3.小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（

）

A. B. C. D.4.已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（

）A. B. C. D.5.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点在小正方形顶点位置，，与格线分别交于点，，连接，那么的长是(

)

A. B. C. D.6.如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是(

)

A.18 B.16 C.2 D.7.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，那么的值是（

）A.1 B.0 C.9 D.48.如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（

）

A.①② B.②③ C.①③ D.①二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。9.如果=，那么=

．10.写出一条抛物线，，共有的性质：

11.如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．如果，，那么和的面积之比是

．

12.抛物线，当时，随增大而减小，那么的取值范围是

．13.如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，，，也是小正方形的顶点，从点，，，中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是

．

14.如图，二次函数的图象与二次函数的图象关于轴对称，一条平行于轴的直线与，的图象共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，那么

．

15.如图，是的平分线上一定点，是线段的中点，于点．如果，点是射线上的一个动点．那么的最小值为

．

16.已知二次函数（为常数）的对称轴为直线，有下列结论：①顶点坐标为；②当时，随的增大而增大；③当时，函数的最大值为3；④该图象与轴没有交点．其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共12小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)已知二次函数．

(1)求该函数图像的顶点坐标；(2)在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象；(3)结合函数图像，请直接写出时的取值范围．18.(本小题4分)如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且．

(1)求证：；(2)如果，，，求的长．19.(本小题4分)如图，在中，，为的中点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接交于点．

(1)求的值；(2)如果，，求的长．20.(本小题4分)已知二次函数的图象与轴交于点．

(1)求该函数图象的对称轴及点的坐标；(2)若以点，为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，求的取值范围．21.(本小题4分)已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F.

(1)如果，，，求DE的长.(2)如果，，，求BE的长.22.(本小题5分)如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；(2)作直线，P是直线上方抛物线上一点，其横坐标为m．过点P作平行于y轴，交直线于点E，连接交于点D．如果，求m的值．23.(本小题4分)如图，在中，点在上，且，连接并延长到点，使，连接．

(1)求证：；(2)如果，，，求的面积．24.(本小题8分)如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，表演成功．如果将演员身体（可看成一点）运动的路线看作是抛物线的一部分．设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米，现记录了某一次表演的几组数据如下：（米）（米）根据上述函数模型和数据解决以下问题：(1)在下边的平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接；

(2)结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为

米；(3)直接写出起跳点距离地面的高度是

米；(4)在这次表演中，已知人梯的高度是米．问此次表演中人梯移动到距离起跳点的水平距离为

米时，表演成功．25.(本小题5分)如图，在中，为边上的一点，为边上的一点，且．

(1)作交线段于点，求证：；(2)如果，，求的值．26.(本小题5分)在平面直角坐标系中，抛物线．

(1)求该抛物线的对称轴；(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．①若，，求的长；②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，直接写出的取值范围．27.(本小题5分)如图，点在的平分线上，过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点．

(1)请用等式表示线段，，的数量关系，并证明；(2)如果，求的值．28.(本小题6分)已知抛物线的对称轴为直线．

(1)求代数式的值；(2)若抛物线经过点，将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，如果点，恰好都落在抛物线上，求的值；(3)将抛物线在间的图象记为，如果图象与直线始终有个交点，请直接写出的取值范围．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】

10.【答案】对称轴为轴（答案不唯一）

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】3

15.【答案】5

16.【答案】①②④

17.【答案】【小题1】解：∵，∴函数图像的顶点坐标．【小题2】解：列出表格如下：x…01234…y…010…描点、连线​​​​​​​【小题3】解：由（2）可知：抛物线与x轴的交点坐标为，，观察图像可得：当时x的取值范围为．

18.【答案】【小题1】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴．在和中，∴．【小题2】解：∵，∴．∵，，，∴，∴，∴．答：的长为．

19.【答案】【小题1】解：∵在中，，为的中点，∴，，∵，∴，∴，∴；【小题2】解：如图，连接，∵在中，，为的中点，∴，，∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，由（1）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴．

20.【答案】【小题1】解：对称轴为直线．将代入函数得，因此A点坐标为．【小题2】解：∵，∴抛物线开口向下，∵抛物线过点，对称轴为直线．∴抛物线草图如下．∵以点，为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，∴当时，抛物线上的点的纵坐标大于B点的纵坐标1，即：解得，∵，∴．

21.【答案】【小题1】∵，，∴AC=AB+BC=14∵∴∴【小题2】过D作DH//AC，分别交BE,CF于H.∵∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，∴CH=BG=AD=9∴FH=CF-DH=5∵∴∴∴BE=BG+GE=9+2=11.

22.【答案】【小题1】解：抛物线与x轴交于，两点，，，∴抛物线的表达式为；【小题2】解：当时，，∴抛物线与y轴交点C的坐标为，设直线的表达式为，∴，解得：，直线的表达式为，点P是抛物线上一点，其横坐标为m，点P的坐标为，点E的坐标为，，由题意可知，，，，，．

23.【答案】【小题1】证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【小题2】解：∵，，，∴，∵，∴，∴，∵，相似比为，∴，即．

24.【答案】【小题1】【小题2】​​​​​​​【小题3】​​​​​​​【小题4】1或4

25.【答案】【小题1】证明：如图所示，∵点B、E、C在一条直线上，∴．∵，∴．在中，，∴．在和中，，∴，∴，∴．【小题2】解：如图，过点D作交的延长线于点M，则，∵四边形是平行四边形，∴，，∴（两直线平行，同位角相等），，∴．∵（三角形外角定理），，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．

26.【答案】【小题1】解：，，即该抛物线的对称轴是；【小题2】①由题意得，当，时，，，则，，；②由题意得；当时，，，，，令，，在时随的增大而增大，均符合题意；当时，，，，当时，，在时随的增大而增大，在时随的增大而减小，，则时符合题意；综上，或．

27.【答案】【小题1】解：过点作于点，∵，平分，∴，∴，∴，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，∴．【小题2】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，设，则，由（1）得，，∴，∴在中，，∵，，∴，且，∴，∴．

28.【答案】【小题1】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，∴，∴．【小题2】解：∵抛物线经过点，∴，∴．由（1）知，∴，∴，∴抛物线的解析式为．∵将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，∴．∵点在抛物线上，∴，∵点在抛物线上，∴，∴，∴，∴，∴或．∵，∴，∴．【小题3】解：由（1）知，∴抛物线的解析式为，图象是它在上的一段．∵图象与直线的交点，就是方程在上的解，∴由，得．∵，∴，故时方程无解，不合题意．设，则，问题转化为：抛物线在上的