甘肃省渭源县第一中学2026-2027学年高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年甘肃省渭源县第一中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.经过A(1,1)，B(2,4)两点的直线的方向向量为(2,m)，则m=(

)A.−6 B.2 C.−12 2.在平行六面体ABCD−A1B1A.AB+AD+C1A1=03.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AA1=A.a+12b−12c

4.已知直线l1：mx−2y+3=0与直线l2：2x+(1−m)y−6=0垂直，则实数m的值为(

)A.−12 B.12 C.−1或25.若M(−1,1)，N(3,3)两点到直线l：x−ay+1=0的距离相等，则实数a的值为(

)A.13 B.12 C.1或2 D.16.圆x2+(y−3)2=1关于直线A.x2+(y+3)2=1 B.(x+3)7.已知函数f(x)=−4x−x2−3−2的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=−1的对称点在y=kx−1A.[1,43) B.[0,43]8.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1A.[1,2]

B.[1,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1A.D1B1=a−bB.10.已知圆O：x2+y2=4，圆C：A.若a=9，则圆O与圆C相切

B.若a=16，则圆C在y轴上截得的弦长为7

C.若a=25，则直线x=−2为圆O与圆C的一条公切线

D.若a=36，则圆O与圆C公共弦所在的直线为11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA1A.当λ=0时，AC1⊥平面BDF

B.任意λ∈[0,1]，三棱锥F−BDE的体积是定值

C.存在λ∈[0,1]，使得AC与平面BDF所成的角为π4

D.当λ=23时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19

12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为A1C113.若经过A(−m,3)，B(5,−m)两点的直线的倾斜角为45°，则m=

．14.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1,m−1)，B(m,2)，则m的值为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在平行四边形ABCD中，A(2,3)，B(4,1)，D(−1,−3)，O(0,0)．

(1)求直线BC的方程；

(2)求△ABD的边AB上的高所在直线的方程．16.(本小题15分)

(1)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍，求直线方程；

(2)已知直线x+ky−2−k=0恒过定点A，求A点的坐标；

(3)任选四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点，求圆的方程(多做只按第一个给分)．17.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60°，AA1=2AB=2，点G为CB1的中点．18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠ABC=90°，且PA=AD=4，AB=BC=2，PB=25，E为PD的中点．

(1)证明：CE//平面PAB；

(2)求二面角E−AC−D19.(本小题17分)

如图，三棱锥P−ABC的侧棱均相等，在底面△ABC中，O为BC中点，AB=AC，AO=12BC．

(1)证明：PA⊥BC；

(2)若BC=2，△PBC的面积为2，求二面角B−AC−P的正弦值；

(3)在第(2)问的条件下，若△PBC内(不含边界)存在一动点Q，满足QB⋅QO=QB⋅

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】ACD

11.【答案】AD

12.【答案】1

13.【答案】−4

14.【答案】4+15.【答案】解：(1)平行四边形ABCD中BC/​/AD，由A(2,3)，B(4,1)，D(−1,−3)，

可得kBC=kAD=−3−3−1−2=2，

直线BC过点B(4,1)，则其方程为y−1=2(x−4)，即2x−y−7=0．

(2)因AB的斜率kAB=1−34−2=−1，则边AB上的高所在直线的斜率为1，16.【答案】解：(1)①当直线的横截距、纵截距均不为0时，设其方程为x2a+ya=1，

代入点(2,1)，可得22a+1a=1，解得a=2，直线方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0；

②当直线在坐标轴上的截距均为0时，直线方程为y=12x，即x−2y=0，符合题意．

综上所述，满足条件的直线方程为x+2y−4=0或x−2y=0．

(2)将直线x+ky−2−k=0化为k(y−1)+x−2=0，

可得直线经过直线y−1=0与x−2=0的交点(2,1)，故所求定点A的坐标为(2,1)．

(3)当圆经过A(0,0)、B(4,0)、C(−1,1)时，线段AB的中垂线方程为x=2，

因此设圆心坐标为M(2,b)，由|MA|=|MC|，

可得4+b2=9+(b−1)2，解得b=3，故圆心为M(2,3)，

半径r=|MA|=4+9=13，可得圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=13；

当圆经过A(0,0)、B(4,0)、D(4,2)时，线段AB的中垂线方程为x=2，

因此设圆心坐标为M(2,b)，由|MA|=|MD|，可得4+b2=4+(b−2)2，解得b=1，

则圆心为M(2,1)，半径17.【答案】解：(1)BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，

AG=12(AB1+AC)=12[(AB+AA1)+(AB+AD18.【答案】解：(1)证明：取PA中点M，连接EM，BM．

∵E为PD的中点，M为PA中点，∴EM/​/AD且EM=12AD，

又AD//BC，BC=2，AD=4，BC=12AD，

∴有EM/​/BC且EM=BC，∴四边形BCEM为平行四边形，

则CE//BM，又BM⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，∴CE//平面PAB．

(2)在△PAB中，由PA=4,AB=2,PB=25，得PB2=PA2+AB2，∴PA⊥AB．

∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊂平面PAB，

∴PA⊥平面ABCD．

又∵AD/​/BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，则AB⊥AD．

如图以A为原点，以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，P(0,0,4)，C(2,2,0)，D(0,4,0)．

∵E为PD的中点，∴E(0,2,2)，∴AP=(0,0,4),AC=(2,2,0)，AE=(0,2,2)，

设平面ACE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=2x+2y=0n⋅AE=2y+2z=0，取x=1，可得y=−1，z=1，∴n=(1,−1,1)，

又∵PA⊥平面19.【答案】解：(1)证明：已知三棱锥P−ABC的侧棱均相等，在底面△ABC中，O为BC中点，AB=AC，

所以AO⊥BC，

因为AO=12BC，所以OA=OB=OC，

又因为PA=PB=PC，PO=PO，

所以△PAO≅△PBO≅△PCO，

所以∠POA=∠POB=∠POC，

在平面PBC中，∠POB+∠POC=π，

所以∠POA=∠POB=∠POC=π2，

即PO⊥BC，PO⊥AO，

又因为AO∩PO=O，AO⊂平面APO，PO⊂平面APO，

所以BC⊥平面APO，

因为AP⊂平面APO，

所以AP⊥BC；

(2)由(1)可知PO⊥BC，

所以S△PBC=12BC⋅PO=2，

所以PO=2，

由(1)可知PO⊥BC，PO⊥AO，AO∩BC=O，AO⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PO⊥平面ABC，

取AC中点F，连接OF，PF，

因为AO=12BC且O为BC中点，

所以△ABC为直角三角形，即AB⊥AC，

所以OF⊥AC，且平面BAC∩平面PAC=AC，

所以二面角B−AC−P的平面角为∠PFO，

在等腰直角三角形ABC中，BC=2，

所以AB=2，

所