2-010203 平面简谐波的描述

第2章机械波§2.1，2.2波动的基本概念及描述§2.3简谐波波动方程（波动表达式或波函数）§2.4波的能量及传播§2.5惠更斯原理§2.7多普勒效应§2.6波的干涉落霞与孤鹭齐飞秋水共长天一色

振动在空间的传播过程叫做波动（简称波）机械振动在媒质中的传播——机械波如：声波、水波、地震波等变化电场或变化磁场在空间的传播——电磁波如：x

射线无线电波、光波、等各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律。都以振动作为波源；共同的特征和规律：都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播；都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。本章主要是研究机械波机械波（需要媒质作为载体）电磁波（无须媒质作为载体）§2.1波动的产生与波动的基本概念及描述一、机械波（MechanicalWave）产生的条件波源媒质（Medium

介质）1、产生条件:演示：横波、纵波（观察波动的特点）2.波动产生的过程及特点：（1）每个质点只在平衡位置附近振动，不“随波逐流”。

（2）后面质点重复前面质点的振动状态，有相位落后。

（3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。

（4）振动状态、波形、能量向前传播。

“上游”的质元依次带动“下游”的质元振动某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现其它机械波：地震波、水波（重力波）、表面波t=00481620

···········12········

···t=T/2··································t=3T/4·····················t=T····················振动方向传播方向·t=T/4·······················横波····三传一不传按介质质点的运动和波本身的传播，机械波可分为：（１）横波（TransverseWave)：质点的振动（扰动）方向垂直于波的传播方向产生于固体中（如：绷紧的细弦）3、横波和纵波（２）纵波（LongitudinalWave)质点的振动（扰动）方向沿着波的传播方向可产生于固体、流体中（如：空气中的声波）4、振动与波动波动与振动密不可分。任何波都是以振动作为波源的。区别振动研究一个质点的运动波动研究大量有联系的质点振动的集体表现联系振动是波动的根源波动是振动的传播振动是波动的基础，同时，波动又发展了振动把振动个体的运动扩展、传播出去，成为集体运动二、波的几何描述（关于波的几个概念）1、描述波的几个概念

波线（WaveRay）——波传播方向线（DirectionofPropagation）光波：光线（LightRay）波（阵）面（WaveSurface）等相面波前（WaveFront）——振动相位相同的点组成的面球面波（SphericalWave）平面波（PlaneWave）波面从实际波动中抽象出来的两个理想模型二、波动的几何描述（关于波的几个概念）2、描述波动的特征物理量周期

——传过一个完整的波经历的时间反映波在时间上的周期性波长——波线上两向邻的、相位差为２

的振动质点的距离反映波在空间上的周期性波速——一定振动状态（相位）传播的速度一切波动都是由波源产生的

波的频率（周期）由波源决定2、描述波动的特征物理量2周期

波长（WaveLength）λ波速

——反映简谐波的空间周期性T——反映波的时间周期性波速——振动状态（相位）传播的速度描述波动的三个特征物理量的之间的关系波源定媒质定重要关系式波速（相速度）u：波速波速与质点的振动速度是不相同的物理量在各向同性的均匀媒质中，

u=恒量（不随时间变化）振动速度υ是媒质中的质点在各自平衡位置附近往返振动的速度，它随时间变化。3、波速

u与振动速度υ的区别振动状态或振动位相的传播速度若媒质中振动传到的各点都作简谐振动，

这样的波相应的称为“简谐波”§2.3平面简谐波（波动方程）一、平面简谐波平面简谐波：波面是平面的简谐波球面简谐波：波面是球面的简谐波1、平面简谐波任何形式的波都是由简谐波（或谐波）组成的最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！（以平面简谐波为例，求简谐波的波动方程（波函数）假设：一平面简谐波（各质点振动的振幅相等）在理想的、不吸收振动能量的均匀无限大媒质中传播。波传播的速度为，方向如图x

轴——某一波线方向上各个质元的平衡位置一、简谐波的波动方程（波函数）（波动的数学描述）●.x研究波动抓住一条波线研究即可纵坐标y——质元离开平衡位置振动位移.●1、波动方程（波函数）的建立什么是波函数？如何用数学语言来描述波动？媒质中任意x处的质元在任意t时刻的振动位移——称为波动方程（波函数）数学上为：求波方程的步骤及方法1）建立坐标2）写出参考点在

t时刻的振动方程：3）求波函数.●1、波动方程（波函数）的建立——波函数1）建立坐标2）写出参考点在

t时刻的振动方程：求波函数的步骤及方法3）求波动方程从时间落后角度推出x处质元的振动方程——波函数由波动的特点，我们知道任意质元P重复O点的振动，即P点比O点晚

t=x/u

时间振动，所以P点在t时刻的振动=O点在（t-x/u）的振动——p点质元的振动方程

是、的函数，分三种情况讨论：.1）当x一定时（观察一个定点

x＝x1）看到（x＝x1）处的质元作简谐振动x1处的质元

振动曲线

（y—t曲线）x＝x1处的质元作简谐振动的表达式波函数的物理意义：2.波动方程的意义2）当t一定时，即锁定某一时刻（t＝t1），则看到的是锁定时刻（t＝t1）的“快照”——波形波形方程波函数的物理意义：——给定时刻（t＝t1）的波形给出了t1时刻各个质元振动离开平衡位置t时刻的波形曲线（y—x

图线）xyo

t

u→λ

t＋Δt3）当x、t变化时，行波不同的时刻对应不同的波形

波形的传播波函数的物理意义：考察下一时刻各个质元振动情况，可得另一时刻的波形波函数给出了不同时刻的波形重要结论1

波是波形的传播

t

u→

t＋Δt行波oλ

波形的传播Δt时间内，整个波形沿

x正方向移动了（uΔt

）路程

波是振动状态的传播重要结论2继续分析表明：（t+

t

）时刻在（x+

x

）处的质点

振动状态与t时刻在x处的质点的振动状态相同表明：

t时刻x处的质元振动状态经过了t+

t时间后传到了

x+x

处了1）建立坐标求波函数的步骤及方法2）写出位于参考点（通常选为原点

o）的质元在t时刻的振动表达式为：.3）求t时刻任意x处P质元的振动方程●——p点质元的振动方程4）去掉P点的振动方程中的脚标，就得波动方程——波动方程（波函数）任意质元P重复O点的振动，即P点比O点晚

t=x/u

时间振动，已知：思考：“-”沿

正向“+”沿

负向波沿x反向传播的函数根据沿波传播方向，各质元振动依次落后

P点比O点早

t=x/u

时间振动，所以P点在t时刻的振动=O点在（t+x/u）的振动任意点比参考点晚振动，减去传播时间；任意点比参考点早振动，加上传播时间。波沿x反向传播，波动方程如何？xyo

t

u→P2、从相位落后角度推导出波动方程（波函数）沿波传播方向，各质元的相位依次落后。x

处质元相对O点处质元的相位落后了

与O点处质元距离为

的质元相位落后2

所以有

x

处的质元的振动的位相要比

o

处质元落后

处质元（x+x处的质元）振动相位要又比

P点落后：

同理：波程差相位差xyo

t

u→P3、从相位落后角度推导出波动方程（波函数）沿波传播方向，各质元的相位依次落后。假设参考点的振动方程为：则，由相位落后可得到x处质元的振动方程

x处的质元的振动的相位要比

o处质元落后波动是振动相位的传播重要结论3——波动方程（波函数）平面简谐波的表达式——波动方程（波函数）从两种不同角度推出的波动方程是等价的球面简谐波的表达式●●

点波源各向同性介质令——波数利用关系波动方程的几种标准形式也可写成复数形式（取实部）两类基本问题（1）已知某质元（参考点）的振动方程和u的方向某质元（参考点）的振动曲线和u的方向某时刻的波形曲线和u的方向求波动方程（2）已知波动方程相关物理量求A、T、

（或

）、、u某时、某点的振动位移

y、速度v、加速度a、波线上两点振动相位关系例1.(SI制

)已知求、、、？比较法求解解：比较得例2.

波形如图先写

点振动方程波动方程（1）写出波动方程关键确定初相位由波动图线求3个特征量解：（1）？（2）求

解：两处质点振动方程和相位差两处质点振动反相位移振动速度振动加速度（3）过，求x=2cm处质点振动位移、速度、加速度？（4）若图为