2026-2027学年九上人教（新教材）第25章一元二次方程单元测试卷（原卷版）

第1页（共1页）第二十五章一元二次方程单元测试卷一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．方程的根是（

）A． B．C． D．3．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（

）A． B． C． D．4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（

）A． B． C． D．5．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（）A． B．C． D．6．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．7．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．8．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（

）A． B． C． D．9．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（

）个A．0 B．1 C．2 D．1或210．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______．12．一元二次方程的两根为，，则______．13．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________．14．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____．15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．16．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：(1)．(2)18．（6分）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．20．（6分）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数．【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．21．（8分）关于x的方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围．22．（10分）已知关于的方程．(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．23．（12分）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根．(1)求的值；(2)试判断关于的方程的根的情况；(3)若为完全平方式，求常数的值．24．（18分）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题：(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？第二十五章一元二次方程单元测试卷一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可．【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求；∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求；∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求；∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求．2．方程的根是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根．【详解】解：∵，∴或，当时，，当时，，∴方程的根为，故选：A．3．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意；D、即，不是一元二次方程，不符合题意．4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果．【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为，当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项：A选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；B选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；C选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；D选项：方程中，，，方程有两个相等的实数根，符合要求．5．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．由题意可得，再去分母可得，即可求解．【详解】解：设，则原方程可化为：，，，故选：A．6．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人．∵初始有人患流感，∴第一轮传染后，总患病人数为，∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人，∴新增患病人数为，∴．7．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】一元二次方程，若方程的两个实数根为，，则，．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根．∴，．8．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键．【详解】解：∵一元二次方程，∴，∵关于的一元二次方程有一根为，∴一元二次方程有一个根为，解得，故选：．9．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（

）个A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】D【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数．【详解】解：∵直线不经过第三象限，∴，①当时，方程化为，是一元一次方程，∴方程有1个实数根；②当时，方程是一元二次方程，此时，∵，∴，∴方程有2个不相等的实数根，综上，方程的实数根有1个或2个，故选：D．10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，则将方程变形为，由“同形二次方程”定义可知，“同形二次方程”定义中，，则两边同时除以得，，由②得，将代入①得，∴代数式．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______．【答案】【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将代数式配方后，即求出结果．【详解】解：，故答案为：．12．一元二次方程的两根为，，则______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，∴，，∴．13．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________．【答案】【分析】将代入方程求解判断即可．【详解】解：将代入得，，此方程必有一根为．14．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____．【答案】或【分析】首先对因式分解得，然后可以求出x与y的关系式．【详解】解：，，或或15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果．【详解】解：∵对于实数，定义新运算：，∴，∴，∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得．16．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____．【答案】【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果．【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根方程的根的判别式即解得，由根与系数的关系可得：，代入得：移项，系数化为1得：，两个不等式解集的交集为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：(1)．(2)【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：或解得，；（2）解：或解得，．18．（6分）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．【答案】见解析【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可．【详解】证明：，不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴，且，即，且，∴且．20．（6分）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数．【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论；（2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）较小的数是3，较大的数是4，它们的平方和是．答：它们的平方和是25；（2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），．答：这两个正整数分别是8和9．21．（8分）关于x的方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围．【答案】(1)证明：，，不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可．【详解】（1）证明：略；（2）解：，，，则或，解得：，，方程有一个根小于3，，．22．（10分）已知关于的方程．(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）根据方程有实数根得到，进行求解即可；（2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可．【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，∴，即，解得；（2）解：∵与是该方程的两个实数根，∴，∵，∴解方程得．23．（12分）已知分别为满足条件的最大整数，关于的方程没有实数根，而方程有两个不相等的实数根．(1)求的值；(2)试判断关于的方程的根的情况；(3)若为完全平方式，求常数的值．【答案】(1)，(2)方程没有实数根(3)【分析】本题整体利用一元二次方程根的判别式求解；（1）分别根据两个方程的根的情况列不等式，得到，，再取各自范围内的最大整数即可；（2）代入，计算判别式，根据判别式的符号判断根的情况；（3）根据完全平方式对应一元二次方程判别式为0，代入，整理求解即可．【详解】（1）解：∵关于的方程没有实数根，∴，解得，∵是满足条件的最大整数，∴，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得，∵是满足条件的最大整数，∴；（2）解：将代入方程，得方程为，其判别式，∴方程没有实数根；（3）解：把代入得，∵为完全平方式，∴方程有两个相等的实数根，∴，整理得，计算该方程的判别式得，∴．24．（18分）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题：(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据某品牌头盔5月份销售5000个，7月份销售7200个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同，进行设该品牌头盔销售量的月增长率为x．再列式计算，即可作答．（2）根据一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，进行列式计算，即可作答．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．依题意得：，解得（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）解：设增加y条生产线，由题意得：．解得，∵生产线越多，投入越大，∴不符合题意，舍去，答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，应该增加4条生产线．第二十五章一元二次方程单元测试卷一．单选题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，逐个验证选项即可．【详解】解：∵选项A：中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，∴A不符合要求；∵选项B：未说明，当时，方程不是一元二次方程，∴B不符合要求；∵选项C：只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，∴C符合要求；∵选项D：含有两个未知数，是二元一次方程，∴D不符合要求．2．方程的根是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根．【详解】解：∵，∴或，当时，，当时，，∴方程的根为，故选：A．3．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意；B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意；C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意；D、即，不是一元二次方程，不符合题意．4．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果．【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式为，当时方程有两个相等的实数根，依次计算各选项：A选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；B选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；C选项：方程中，，，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；D选项：方程中，，，方程有两个相等的实数根，符合要求．5．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程．由题意可得，再去分母可得，即可求解．【详解】解：设，则原方程可化为：，，，故选：A．6．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人．∵初始有人患流感，∴第一轮传染后，总患病人数为，∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人，∴新增患病人数为，∴．7．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】一元二次方程，若方程的两个实数根为，，则，．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根．∴，．8．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键．【详解】解：∵一元二次方程，∴，∵关于的一元二次方程有一根为，∴一元二次方程有一个根为，解得，故选：．9．若直线不经过第三象限，则关于的方程的实数根有（

）个A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】D【分析】本题考查一次函数图象经过的象限，一元二次方程的根的判别式．先根据一次函数的性质确定m的取值范围，再分和两种情况，结合一次方程、一元二次方程根的判别式判断方程实数根的个数．【详解】解：∵直线不经过第三象限，∴，①当时，方程化为，是一元一次方程，∴方程有1个实数根；②当时，方程是一元二次方程，此时，∵，∴，∴方程有2个不相等的实数根，综上，方程的实数根有1个或2个，故选：D．10．定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”，则将方程变形为，由“同形二次方程”定义可知，“同形二次方程”定义中，，则两边同时除以得，，由②得，将代入①得，∴代数式．二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．若把代数式化为的形式，其中为常数，结果为______．【答案】【分析】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．将代数式配方后，即求出结果．【详解】解：，故答案为：．12．一元二次方程的两根为，，则______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可．【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，∴，，∴．13．在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________．【答案】【分析】将代入方程求解判断即可．【详解】解：将代入得，，此方程必有一根为．14．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____．【答案】或【分析】首先对因式分解得，然后可以求出x与y的关系式．【详解】解：，，或或15．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．【答案】【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果．【详解】解：∵对于实数，定义新运算：，∴，∴，∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解得．16．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____．【答案】【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果．【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根方程的根的判别式即解得，由根与系数的关系可得：，代入得：移项，系数化为1得：，两个不等式解集的交集为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）解方程：(1)．(2)【答案】(1)，(2)，【详解】（1）解：或解得，；（2）解：或解得，．18．（6分）求证：不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．【答案】见解析【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法和完全平方的非负性，进行证明即可．【详解】证明：，不论x，y取任何实数，多项式的值总为正数．19．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴，且，即，且，∴且．20．（6分）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数．【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和；【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数．【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论；（2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）较小的数是3，较大的数是4，它们的平方和是．答：它们的平方和是25；（2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），．答：这两个正整数分别是8和9．21．（8分）关于x的方程．(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于3，求m的取值范围．【答案】(1)证明：，，不论m取何值，方程总有两个实数根；(2)【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可；（2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可．【详解】（1）证明：略；（2）解：，，，则或，解得：，，方程有一个根小于3，，．22．（10分）已知关于的方程．(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）根据方程有实数根得到，进行求解即可；（2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可．【详解】（1）解