第1章、第2章综合测试卷【培优卷】- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册2026秋浙教版八上数学

第1章、第2章综合测试卷【培优卷】考试时间：100分钟满分：120分范围：浙教版八上第1章三角形；第2章特殊三角形选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（

）．A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（

）A．4 B．4.8 C． D．83．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（

）A． B． C． D．4．（2026·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（

）A． B．C． D．5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（

）A． B． C． D．6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（

）A． B． C． D．7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交的平分线于点D，过点D作，交的延长线于点E．若，，则的长为（

）A．8 B．9 C．10 D．118．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（）A．6 B．5 C．4 D．39．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（

）A． B． C． D．10．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______．12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．13．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______．14．（25-26七年级下·江西九江·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________．15．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____．16．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为_____17．（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为______．18．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______，的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（本题6分）（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B．（1）请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法；（2）由（1）知，证明点到，的距离相等．20．（本题6分）（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）_________（填“”“”或“”）；（2）若，，，求小男孩向右移动的距离21．（本题8分）（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：．22．（本题8分）（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，平分，交于，，求证：．23．（本题8分）（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

24．（本题10分）（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点．（1）判断的形状，并说明理由．（2）连接，，求证：．25．（本题10分）（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形．（1）求证：；（2）当时，试判断的形状，并说明理由；（3）探究：当为多少度时，是直角三角形？26．（本题10分）（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究【问题背景】（1）如图1，直线l经过点A，，，过点B，C分别向直线l作垂线，垂足分别为点D，E，求证：．【问题探究】（2）如图2，在中，，D为上一点，E是上一点，且，，若，求的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，的面积为14，，请直接写出的面积．第1章、第2章综合测试卷【培优卷】考试时间：100分钟满分：120分范围：浙教版八上第1章三角形；第2章特殊三角形选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（25-26七年级下·福建泉州·期末）已知三角形三边长分别为5，，8，若此三角形的周长为奇数，则满足条件的三角形个数为（

）．A．3个 B．4个 C．5个 D．无数个【答案】C【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再结合周长为奇数的条件判断x的奇偶性，统计符合条件的x的个数即可．解：三角形三边长分别为，，根据三角形三边关系得，即，三角形周长为奇数，周长为，且是奇数，必须为偶数，奇数加偶数结果为奇数，边长为正整数，符合条件的为，共个，满足条件的三角形个数为个．2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图所示，在中，，，垂足分别为，已知，，，则边上的高的长为（

）A．4 B．4.8 C． D．8【答案】B【分析】利用通过等面积法列出式子，求解即可．解：由题意得，，即，解得，故选：B．3．（2026·四川凉山·中考真题）如图，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂直定义得出，由平行线的性质得出，从而可得出．解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．∴．4．（2026·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．解：A、连接，

∵，，，∴，∴

又∵点F为的中点∴，故不符合题意；B、连接，

∵，，，∴，∴，又∵点F为的中点，∴，∵,∴，∴，∴，∴，故不符合题意；C、连接，

∵点F为的中点，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故不符合题意；D、，无法得出题干结论，符合题意；故选：D．5．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个三角形的三条边长分别为，，，这个三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，再计算面积即可．解：∵，，∴，∴该三角形是直角三角形，斜边长为，两条直角边长分别为，，∴面积为．6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．解：如图，过点作于点，∵，，，∴，∴是直角三角形，且又∵是的角平分线∴又∵∴∴，∴设，则，在中，∴解得：即的长为故选：A．7．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交的平分线于点D，过点D作，交的延长线于点E．若，，则的长为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质和作法，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质．过点作于点，连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，得出相等的线段和直角，证明和，得出相等的边，最后利用线段的和差进行求解即可．解：如图所示，过点作于点，连接，∵平分，且，∴，，又∵，∴，∴，由作图可得，垂直平分线段，∴，∴，∴，∴，故选：D．8．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系．首先根据，可证是等边三角形，连接交于点G，可证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知．解：如图所示，连接交于点G，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，故选：C．9．（25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上且，连结、．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据等腰直角三角形的性质得出，再利用SAS证明，得出，最后利用三角形外角的性质求出即可得出答案．解：∵，，∴，，在和中，，∴，∴，∵是的外角，∴，则．10．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设直角三角形的较短直角边为，根据小正方形面积得出较长直角边长为，再利用勾股定理列方程求出，进而求出较长直角边长即可求解．解：设直角三角形的较短直角边长为，∵中间小正方形的面积为，∴小正方形的边长为，∴直角三角形的较长直角边长为，∵直角三角形的斜边为，∴根据勾股定理得，，整理得，，解得，（不合题意，舍去），∴较长直角边长为，．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．（25-26七年级下·江西吉安·期末）设，是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是_______．【答案】【分析】先根据非负数的性质求出，的值，再分情况结合三角形三边关系讨论，计算符合条件的三角形周长即可解：，且平方与绝对值均为非负数，，，解得，，分两种情况讨论：当为腰长时，三角形三边长分别为，，，，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去；当为腰长时，三角形三边长分别为，，，，满足三角形三边关系，能组成三角形，此时三角形的周长为12．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米．当梯子的顶端沿墙面下滑______米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．【答案】1.7【分析】本题考查轴对称的性质以及勾股定理的应用，正确求出的长是关键．根据勾股定理可得的长，再根据轴对称的性质可得，再用减去可得答案．解：由题意得：（米），梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称，米，（米），即当梯子的顶端沿墙面下滑米后，梯子处于位置，恰与原位置关于墙角的角平分线所在的直线轴对称．故答案为：．13．（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于______．【答案】/72度【分析】本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，三角形的外角性质；由平行可求得，又由折叠的性质可得，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此计算即可求解．解：四边形是长方形，，，又由折叠的性质可得，∴，∴故答案为：．14．（25-26七年级下·江西九江·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交，于点、，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点．若点到直线的距离为，，则的长为________．【答案】【分析】根据作图痕迹判断是的平分线，利用角平分线的性质得出的长，结合线段的和差关系即可求解．解：由作图可知，射线是的平分线，∵，∴，∵点到直线的距离为，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，∴等于点到直线的距离，即，∵，，∴，的长为．15．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在等边中，是的平分线，点在的延长线上，连接．若，，则的长为_____．【答案】4【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边．设，由等边三角形的性质可得，，，再根据三角形外角性质可得，得到，进而列式计算即可求解．解：∵为等边三角形，设，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，解得，∴，故答案为：4．16．（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，是的外角的平分线，，于点．若，，则的长为_____【答案】6【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质建立线段之间的关系．过点作，利用角平分线的性质得到，再通过“”分别证明和，结合线段和差关系推导出，进而求出的长．解：如图，过点作于，∵是的角平分线，在和中，，，，在和中，故答案为：617．（25-26八年级上·河南郑州·期中）国庆节前，某企业准备用彩带把大门口的柱子装扮一下．如图，柱子底面圆的直径为，高，若彩带从点顺着圆柱侧面绕4圈到点（，分别是圆柱两底面圆周上的点），则需要彩带的长度最短为______．【答案】20【分析】本题主要考查了勾股定理的应用-路径最短问题，熟练掌握知识点是解题的关键．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高，再根据勾股定理求解即可．解：由题意得，圆柱的侧面展开图如图所示：用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕4圈到B的运动最短路线是，∵柱子底面圆的直径为，高，∴，由勾股定理得，∴，故答案为：20．18．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）已知在等边三角形中，点D是的中点，点E在的延长线上，且，连接，时，P，Q分别为射线、射线上的动点，且若，则______，的长为______．【答案】9或1【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．分两种情况：当点Q在线段的延长线上时，当点Q在线段上时，分别求解即可得到答案．解：是等边三角形，点D是的中点，，，，，，，，，；当点Q在线段的延长线上时，如图③，作交AC于点M，由知为等边三角形，，，为等边的边的中点，，，，，，，，，，在和中，，，；当点Q在线段上时，如图④，同理可证明，则，综上所述，的长为9或故答案为：，9或三、解答题（本大题共8小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（本题6分）（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知直线，直线分别与、交于点A、B．（1）请用尺规作图法，在线段上求作点，使点到、的距离相等．保留作图痕迹，不写作法；（2）由（1）知，证明点到，的距离相等．【答案】（1）如图，点即为所求：（2）证明：如图，作于点，延长交于点，∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴点到，的距离相等．【分析】（1）分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点、，作直线，与的交点，即为所求的点；（2）作于点，延长交于点，由平行线的性质可得，则，容易证明，因此．解：（1）略（2）略20．（本题6分）（26-27八年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变．，，三点在一条直线上，．回答下列问题：（1）_________（填“”“”或“”）；（2）若，，，求小男孩向右移动的距离【答案】（1）；（2）小男孩向右移动的距离为.【分析】（1）根据绳长始终保持不变即可解答；（2）首先理解题意，明确小男孩需向右移动的距离是哪条线段的长，然后利用勾股定理即可求解．（1）解：由题意，绳长始终保持不变，故；（2）解：∵，，，，三点在一条直线上，∴，∵，∴，由勾股定理，得，，∵，∴，由题意，小男孩向右移动的距离即为的长，故小男孩向右移动的距离为.21．（本题8分）（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：．【答案】证明：∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，在和中，∴，∴．解：略22．（本题8分）（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，平分，交于，，求证：．【答案】证明：如图，过点作于点，∵平分，，∴，∵，，∴，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，即．【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得，再根据角平分线的定义和等角的余角相等的性质得到，所以，再证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等可以得到，都减去即可得到．解：略23．（本题8分）（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．

【答案】证明：，，、分别平分、，，，，，，如图，在上截取，连接，

在和中，，，，，，，在和中，，，，，．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论．解：略【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键．24．（本题10分）（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，两个全等的等边三角形和等边三角形的一边重叠地放在直线上，，交于点．（1）判断的形状，并说明理由．（2）连接，，求证：．【答案】（1）解：是等边三角形．理由如下：∵和都是等边三角形，∴，∴是等边三角形．（2）证明：∵，是两个全等的等边三角形，∴，，在和中，∴，∴．【分析】（1）由和都是等边三角形，可得，即可得结论；（