2027《高一数学•函数的概念与性质奇偶性》原卷版

试卷第=page22页（共=sectionpages66页）试卷第=page11页（共=sectionpages66页）第二节

函数的奇偶性知识点一

函数奇偶性的判断与性质1.定义名称偶函数奇函数定义一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数定义域特征定义域必须是关于坐标原点对称的区间2.函数的奇偶性的几个性质①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；③可逆性：是偶函数；是奇函数；④等价性：；⑤可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数.3.重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.（2）奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设的定义域分别是若，则有下列结论：偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定奇偶性奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数注：上述表格中不考虑和；中，需.（3）若奇函数的定义域包括0，则.（4）若函数是偶函数，则.（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.题型一：奇偶性的判断（1）定义法：一般地，当函数给出解析式时常用定义法判断.（2）图象法：在函数图象已知或易画出的情况下才使用.（3）验证法：求出函数的定义域，当定义域关于原点对称时，利用奇偶性所满足式子的等价形式，即判断是否为0或是否为.（4）性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.例1

1．判断下列各函数是否具有奇偶性(1)；(2)；(3)；(4)；(5).例2

2．设是上的任意函数，下列叙述正确的是（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数例33．（多选）下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（

）A． B．C． D．题型二：抽象函数奇偶性判断（1）在解有关抽象函数的问题时，常用赋值法.至于如何赋值，要根据解题目标来确定，一般可通过赋值或0或1来达到解题目的.（2）判断或证明抽象函数的奇偶性，需利用奇、偶函数的定义，找准方向，巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出与的关系.例4

4．（多选）已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（

）A．函数是上的减函数 B．函数是奇函数C．若，则的解集为 D．函数为偶函数例55．（1）已知函数，若对于任意实数，都有，求证：为偶函数；（2）若函数的定义域为，证明：是偶函数，是奇函数.题型三：分段函数奇偶性的判断判断分段函数奇偶性的方法：（1）定义法：分段函数的奇偶性应分段说明与的关系，只有当对称区间上的对应关系相同时，才能判断函数的奇偶性，否则该分段函数既不是奇函数也不是偶函数.要特别注意：若，在求时，需代入区间上的解析式.（2）图象法：分段函数的奇偶性可通过函数图象的对称性加以判断.例6（2025·合肥一中周练）6．判断函数的奇偶性.例7

7．判断函数的奇偶性.题型四：由函数奇偶性求参数①若为奇函数且在处有定义，可用②特殊值法：一般奇函数用；偶函数用③定义法：一奇函数用；偶函数用，化简求值即可例88．已知为奇函数，则________.例99．已知为偶函数，则________.例10

10．（多选）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（

）A． B．在区间单调递增C．的最小值为 D．的最大值为2题型五：利用奇偶性求函数值解决此类问题应注意运用与的关系转换，同时要充分关注整体代换的技巧.例11

（2022·沈阳模拟）11．已知是奇函数，且.若，则________.例12

12．已知函数与分别是定义域上的奇函数与偶函数，且，则（

）A． B． C． D．例1313．函数为定义在上的奇函数，当时，，则（

）A．1 B． C． D．题型六：利用奇偶性求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式问题，即已知某函数的奇偶性及在某区间上的解析式，求对称区间上的函数解析式，求解时应按以下步骤进行：（1）设所求区间上任意；（2）把所求区间内的变量转化到已知区间内；（3）利用函数奇偶性的定义或，从而解出.例1414．已知函数在是奇函数，且当时，，则时，的解析式为________.例1515．设为实数，函数是奇函数，则________.例1616．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（

）A． B． C． D．题型七：利用奇偶性求函数值域与最值对于奇（偶）函数，若在上，的最大值是，在图象上表现为点是函数图象在上的最高点，由图象的对称性可知，（或）一定是图象在上的最低（高）点.结合图象即可得出最值.例1717．已知的最大值，最小值为，求的值.例18

18．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（

）A．2026 B．2027 C．4054 D．4052题型八：奇函数+常数模型例19

19．已知，则________.例20

20．已知函数且，则的值为________.题型九：利用奇偶性求不等式范围①若给出的是复杂函数，我们要先研究函数的奇偶性和单调性②若为奇函数则判断函数是否连续，不连续则需通过数形结合解不等式，图象关于原点对称，若连续直接利③若为偶函数则利用，转化为的形式，考虑在上的单调性即可例21

21．已知定义在上的奇函数，且为减函数，又知，则的取值范围为（

）A． B．C． D．例2222．函数满足，在上是单调递减函数，且，则的解集是（

）A． B．C． D．例2323．已知奇函数的定义域为，若对任意的，当时，恒成立，则满足不等式的的取值范围为（

）A． B． C． D．例2424．已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立.(1)判断在上的单调性，并证明；(2)解不等式：；(3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围.答案第=page66页（共=sectionpages66页）答案第=page55页（共=sectionpages66页）《第3章函数的概念与性质3.2函数基本性质第二节函数的奇偶性》参考答案：1．(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶函数(4)奇函数(5)既是奇函数又为偶函数【详解】（1）定义域：，因为对于任意，且，所以为奇函数.（2）定义域：，即，所以为非奇非偶函数.（3）定义域：，解得，所以为非奇非偶函数.（4）定义域：，即或，所以，，所以，所以函数为奇函数（5）定义域：，解得，所以，因此既是奇函数又为偶函数.2．C【详解】对设，则，所以为偶函数对设，则，所以为非奇非偶函数对设，则，所以为偶函数对设，则，所以为奇函数3．AC【详解】对选项A：，函数是偶函数，且在上是增函数，正确；对选项B：是奇函数，错误；对选项C：，，函数为偶函数，当上，单调递增，正确；对选项D：，，，，不是增函数在，错误.故选AC.4．ABC【详解】设，且，则，而所以，又当时，恒成立，即，所以，所以函数是上的减函数，A正确；由，令可得，解得，令可得，即，而，所以，而函数的定义域为，故函数是奇函数，B正确；令可得，解得，因为函数是奇函数，所以，由，可得，因为函数是上的减函数，所以，C正确；令，易知定义域为，因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.故选ABC.5．（1）证明：令，则①，令，得②.由①②得，即.所以是偶函数.（2）因为，所以，可见的定义域也是.若设，则与的定义域也是，显然是关于坐标原点对称的.又，所以为偶函数，为奇函数，即是偶函数，是奇函数.【解析】略6．奇函数【详解】函数的定义域为，关于原点对称.当时，；当时，.综上所述，函数是奇函数.7．既不是奇函数也不是偶函数【详解】当时，；当时，；而当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数.8．【详解】法一：因为为奇函数，所以，所以，解得法二：特殊值法：因为为奇函数，所以，所以，解得法三：定义法：因为为奇函数，所以，所以，解得9．【详解】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，所以，解得法二：定义法：因为为偶函数，所以，所以，解得10．AC【详解】函数是奇函数，则，代入可得，故A正确；由，对勾函数在上单调递增，所以在上单调递减，故B错误；由，所以，所以，故C正确、D错误.故选AC.11．【详解】因为是奇函数，且时，，所以当时，，即，得，所以.答案：12．A【详解】令，则①，令，则因与分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以②，由①②解得.13．B【详解】由函数为定义在上的奇函数，得，解得，所以.所以.所以.故选B.14．【详解】设，则，所以又因是定义域上的奇函数，所以，所以，所以15．【详解】因为是奇函数，所以，所以.当时，.故答案为：.16．A【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，因为①，则②，所以①+②得，所以.故选A.17．2【详解】设，则为奇函数，则，所以，所以（奇函数的最大值最小值互为相反数），.18．D【详解】对任意有，则令，令，，，令，则，故为上的奇函数，则有，所以，故，故选D.19．【详解】设，则为奇函数，则，所以.所以，所以.20．【详解】因为，所以，所以，所以.21．A【详解】是定义在上的奇函数，且为减函数，并且，所以，所以，即，解得22．C【详解】函数满足，所以是奇函数，则，在上单调递减，且，所以的解集为；在上单调递减，且，所以的解集为.故选C.23．C【详解】令函数.因为为奇函数，则，所以为偶函数.因为对任意的，且恒成立，即恒成立，所以