2026-2027学年上海市松江区第四中学高二（上）第一次学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年上海市松江区第四中学高二（上）第一次学情检测数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是(

)A.1条 B.2条 C.超过2条但有限 D.无数条2.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q分别是线段A1C1A.AD1

B.BD1

C.3.下列命题正确的是(

)A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为线段A1D1，BC1上的动点，给出下列四个结论，其中正确的结论是(

)

①存在点M，存在点N，满足MN//平面ABB1A1；

②任意点M，存在点N，满足MN//平面ABB1A1；A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知直线a，b和平面α，若a⊥α，b⊥α，则a与b的位置关系是

．6.三棱柱ABC−A1B1C1的9条棱中，与AB异面的棱有7.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线C8.若正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，则顶点A9.如图所示，已知空间图形P−ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PAB、平面PBC、平面PCD、平面ABCD中，与平面PAD垂直的平面有

个.

10.长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为45°，若AB=BC=111.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱CC1，AB的中点，则直线

12.如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别为棱AB，AA1的中点，则异面直线DE与

13.已知二面角α−AB−β为30°，P是半平面α内一点，点P到平面β的距离是1，则点P在平面β内的投影到AB的距离是

．14.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，AA

15.平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，若AB=12，则A′B′16.如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC=BD=2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正切值为24，则点B到平面ACD的距离为

．

三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中.

(1)求证：直线A1B//平面DC18.(本小题14分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E为棱AA1的中点，P为棱DD1的中点，

(1)证明：19.(本小题14分)

如图，三棱锥P−ABC中，侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点．

(1)求证：AC⊥PB；

(2)若PO⊥OB，求二面角P−AB−O的大小．20.(本小题18分)

如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为2的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．

(1)求证：BG⊥平面PAD；

(2)求直线PA和DC所成角的大小；

(3)若点E，F分别为BC，PC的中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD．21.(本小题18分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=23，点E在线段PD上，且PE=1．

(1)求直线PC和平面PAB所成角的大小；

(2)证明：AE⊥平面PCD；

(3)线段CA上是否存在点M，使得EM//平面PBC？若存在，请证明，并求出

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】a/​/b

6.【答案】3

7.【答案】π48.【答案】29.【答案】3

10.【答案】211.【答案】612.【答案】3413.【答案】314.【答案】315.【答案】6

16.【答案】4317.【答案】证明：(1)连接CD1，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D1/​/BC，A1D1=BC，故四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B/​/CD1，

又因为A1B⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，故A ​118.【答案】证明：(1)连接AC交BD于点F，连接EF，如图所示：

底面ABCD为正方形，所以F为AC的中点，

又因为E为棱AA1的中点，所以由中位线性质可知A1C/​/EF，

又A1C⊄平面EBD，EF⊂平面EBD，

所以A1C/​/平面EBD；

(2)因为P为棱DD1的中点，所以A1E//DP，且A1E=DP，

所以四边形A1EDP为平行四边形，即A1P//DE，

又A1P⊄平面EBD，DE⊂平面EBD，

所以A1P/​/平面EBD；

结合19.【答案】解：(1)证明：∵侧面PAC与底面ABC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，O为AC中点，

∴AC⊥OP，AC⊥OB，

又∵OP∩OB=O，OP、OB⊂平面OPB，∴AC⊥平面OPB，

∵PB⊂平面OPB，∴AC⊥PB．

(2)取线段AB的中点D，连接OD、PD，如下图所示：

不妨设PO=2，则OA=OB=OC=OP=2，

∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，

∵PO⊥OB，PO⊥AC，OB∩AC=O，OB、AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，

∵AB⊂平面ABC，∴AB⊥PO，

∵PO∩OD=O，PO、OD⊂平面POD，∴AB⊥平面POD，

∵PD⊂平面POD，∴PD⊥AB，

∴二面角P−AB−O的平面角为∠PDO，

∵OB⊥AC，OB=OA=2，由勾股定理可得AB=OA2+OB2=22，

∵D为AB的中点，∴OD=12AB=2，

∵PO⊥平面ABC，OD⊂平面ABC，20.【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形，又G为AD的中点，所以BG⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD．

(2)解：因为AB/​/CD，则∠PAB为直线PA和DC所成的角，

又△PAD为等边三角形，G为AD的中点，且AD=2，所以PG=22−12=3，

由(1)知BG⊥平面PAD，又PG⊂平面PAD，所以BG⊥PG，且BG=3，

所以PB=3+3=6，在△PAB中，AP=AB=2，

由余弦定理得cos∠PAB=AP2+AB2−PB22AP⋅AB=4+4−62×2×2=14，

又∠PAB∈(0,π2]，所以∠PAB=arccos14，

故直线PA和DC所成角的大小为arccos14．

(3)证明：如图，连接DE，EF，DF，

在△PBC中，因为点E，F分别为BC，PC的中点，则FE//PB，

在菱形ABCD中，G，E分别为AD，BC的中点，则DG/​/BE，且DG=BE，

所以四边形DGBE为平行四边形，则BG/​/DE，

由(1)和(2)知AD⊥BG，AD⊥PG，则AD⊥DE，

又PG∩BG=G，PG，BG⊂平面PGB21.【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC．

又BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．

因此PB是PC在平面PAB内的射影，∠CPB为直线PC与平面PAB所成角．

在直角三角形PBC中，PB=PA2+AB2=22，BC=AD=23，PC=PB2+BC2=25．

所以sin∠CPB=BCPC=155，即直线PC和平面PAB所成角的大小为arcsin155．

(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.底面ABCD为矩形，

所以CD⊥AD.又PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．

因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE.在直角三角形PAD中，PA=2，AD=23，

所以PD=PA2+AD2=4.由PE=1得DE=3.在△