2026-2027学年天津市滨海新区天科高级中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市滨海新区天科高级中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共13小题，每小题5分，共65分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关于空间向量的说法中正确的是(

)A.单位向量都相等

B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C.若向量AB，CD满足|AB2.已知向量a//b，其中a=(1,1,2),b=(2,x,4)A.2 B.1 C.−6 D.−103.已知点A(3,1,−2)、B(2,3,−1)，则|AB|=(

)A.26 B.6 C.4.已知直线l经过点(4,−3)，(1,0)，则l的倾斜角为A.π6 B.π3 C.2π35.如图，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB+AD−CC′A.AC′

B.A′C

C.BD′

D.B′D6.已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且6OA+OB+mOC−OP=0，若P，A，A.−1 B.1 C.−6 D.67.点A(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标为(

)A.(−1,2,3) B.(1,−2,3) C.(1,−2,−3) D.(1,2,−3)8.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为kA.k1<k2<k3 B.9.已知向量a=(−1,1,−1)，b=(2,0,−3)，则a⋅bA.−2 B.−4 C.−5 D.110.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，OM=2MA，点N为BC中点，则A.12a−23b+1211.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为DB，A1A.23

B.32

C.12.已知v1,v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1,l2不重合)，n1A.v1//v2⇔l1⊥l13.已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1,−1)，C(0,−1,2)，则点C到直线AB的距离为(

)A.63 B.62 C.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。14.A(0,0,1)，B(2,−1,3)在直线l上，则直线l的一个方向向量为

．15.若向量a=(2,0,−1)，向量b=(0,1,−2)，则a+b=16.已知两条直线l1：kx+y+2=0，l2：3x−4y+7=0，若l1//l2，则实数17.若直线l的倾斜角α∈(π6,3π4)，则直线l18.已知直线l1：(a−4)x−3y+1=0和l2：3x−(b+1)y+5=0垂直且a>0，b>0，则2a+1三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题12分)

已知空间三点A(−2,0,2)，B(−1,1,2)，C(−3,0,4)，设a=AB，b=AC．

(1)求a和b的夹角的余弦值；

(2)若向量ka+20.(本小题12分)

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．AB=BC=1，AA1=4．

(1)求证：21.(本小题18分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．

(1)求证：AE⊥平面BCC1B1；

(2)求平面22.(本小题18分)

已知如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=12CD=1，PD=2．

(Ⅰ)求证：平面PBD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

(Ⅲ)在线段PC上是否存在一点Q(除去端点)，使得平面QAD与平面PBC所成角的大小为

1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】D

13.【答案】A

14.【答案】(2,−1,2)

15.【答案】(2,1,−3)

16.【答案】−317.【答案】(−∞,−1)∪(18.【答案】3219.【答案】解：(1)a=AB=(−1,1,2)−(−2,0,2)=(1,1,0)．

b=AC=(−3+2,0−0,4−2)=(−1,0,2).

∴cosθ=a⋅b|a| |b|=−1+0+02⋅5=−1010．

∴20.【答案】证明：(1)连结AC、BD，交于点O，连结OE，

∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是正方形，

∴O是AC中点，

∵E为CC1的中点，

∴OE/​/AC1，

∵AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

∴AC1/​/平面BDE．

解：(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

∵AB=BC=1，AA1=4．

∴A1(1,0,4)，C1(0,1,4)，D(0,0,0)，E(0,1,2)，21.【答案】解：(1)证明：因为∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC的中点，所以AE⊥BC，

因为直三棱柱ABC−A1B1C1，

所以平面BCC1B1⊥平面ABC，

因为平面BCC1B1∩平面ABC=BC，AE⊂平面ABC，

所以AE⊥平面BCC1B1；

(2)依题意，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，则直线AB，AC，AA1两两垂直，

以A为原点，直线AB，AC，AA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，C1(0,2,2)，E(1,1,0)，

所以AE=(1,1,0),AC1=(0,2,2)，

设平面AEC1的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⊥AC1，n⊥AE，所以n⋅A22.【答案】解：(Ⅰ)证明：取CD的中点M，连接BM．

因为ABCD为梯形，且∠BAD=∠ADC=90°，AB=12CD=1，

所以四边形ADMB为矩形，所以MB=AD=1，所以MB=12CD，

所以∠DBC=90°，所以BC⊥BD，

又四边形PDCE为矩形，所以PD⊥DC，

又平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，

所以PD⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，

又PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，

所以BC⊥平面PBD，又BC⊂平面ABCD，

所以平面PBD⊥平面ABCD；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AD，

又因为∠ADC=90°，所以AD⊥DC，所以DA，DC，DP两两垂直，

以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

根据题意，则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，

所以PA=(1,0,−2),PB=(1,1,−2),PC=(0,2,−2)，

设