大单元复习03 圆锥曲线的方程 2026-2027学年高二年级上学期数学大单元复习（新高考人教A版专用）含解析

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）大单元复习03圆锥曲线的方程（新高考人教A版专用）目录目录【知识梳理】 2【热考题型】 8【考点1】圆锥曲线定义问题 8【考点2】圆锥曲线基本量求解 10【考点3】离心率与渐近线 11【考点4】焦点三角形与焦半径 13【考点5】点差法（中点弦） 14【考点6】直线与圆锥曲线联立 16【考点7】圆锥曲线最值问题 17【考点8】圆锥曲线定点定值 19知识梳理知识梳理一、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.注意：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.二、椭圆的方程椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b2注意：(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴.(2)两种椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.三、椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)注意：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.四、离心率的性质五、直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0六、弦长问题弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).七、双曲线的定义一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注意：(1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在.③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.八、双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝a2＋b2注意：(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴.(2)两种双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同.九、双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴实轴：线段A1A2，长：2a虚轴：线段B1B2，长：2b半实轴长：a，半虚轴长：b焦点(±eq\r(a2＋b2)，0)(0，±eq\r(a2＋b2))焦距|F1F2|＝2c渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.十、离心率的几何性质1.填空离心率(1)定义：焦距与实轴长的比eq\f(c,a)叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2).(2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1.(3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1).因此e越大，eq\f(b,a)也越大，即渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.十一、直线与双曲线位置关系的判断设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.a.当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.b.当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离.十二、弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]).十三、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：(1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1).(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.十四、抛物线的方程抛物线标准方程的几种形式(p＞0)图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2pyeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2pyeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注意：(1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上.(2)p的几何意义：焦点到准线的距离.(3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.十五、抛物线的简单几何性质四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0，0)离心率e＝1通径长2p注意：(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直.十六、抛物线的焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.(2)有关抛物线的焦点弦的结论如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.①x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2；②以弦AB为直径的圆与准线相切；③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋eq\f(p,2))＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).十七、直线与抛物线的位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点.十八、有关弦长问题设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0).注意：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.热考题型热考题型【考点1】圆锥曲线定义问题一、单选题1．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（

）A．2 B． C．4 D．2．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（

）A．1 B．3 C．7 D．93．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．二、多选题4．设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（

）A．B．的最大值为9C．的面积的最大值为12D．存在点，使得5．已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（

）A．双曲线C的焦距为 B． C． D．6．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（

）A．9 B．8 C．7 D．6三、填空题7．已知椭圆的左、右焦点分别为，圆经过原点且与相交于两点，若恰好为圆的一条切线，则的长轴长为_____．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______.9．已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________【考点2】圆锥曲线基本量求解一、单选题1．已知椭圆的焦距为，则（

）A．2 B． C． D．2．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．3．已知抛物线上一点到准线的距离为，则（

）A． B． C． D．2二、多选题4．已知椭圆：，则（

）A．的焦点在轴上 B．的焦距为10C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍5．已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（

）A． B．C． D．6．双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是（）A．用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B．用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D．用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线三、填空题7．已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为__________.8．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为______．9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则点、的距离为________.【考点3】离心率与渐近线一、单选题1．已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（

）

A． B．C． D．3．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（

）．A． B． C． D．4．双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题5．已知在平面直角坐标系中，曲线的离心率为直线在某一坐标轴上的截距，则的值可能是（

）A．57 B． C． D．6．若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为（

）A． B．C． D．7．已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（

）A．实轴长为6 B．焦距为5C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为48．已知双曲线C：，则下列结论正确的是（

）A．m的取值范围是B．C的焦距与m的取值无关C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为D．存在实数，使得点在C上三、填空题9．已知椭圆（）的离心率为，则______．10．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________.11．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为___________.12．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

【考点4】焦点三角形与焦半径一、单选题1．椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（

）A．12 B．15 C．20 D．252．已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（

）A． B． C． D．3．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题4．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得5．已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（

）A．B．双曲线的离心率为2C．双曲线的渐近线方程为D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或146．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（

）A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为C．若，则 D．三、填空题7．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________.8．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______.9．已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________．【考点5】点差法（中点弦）一、单选题1．椭圆中以点为中点的弦所在直线方程为（

）A． B．C． D．2．已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（

）A． B．2 C． D．3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．4．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．二、多选题5．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（

）A．直线的斜率为 B．直线的斜率是C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（

）A．直线与恰有两个公共点B．双曲线的离心率为C．当时，的面积为D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，7．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（

）A．B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2C．若，则直线恒过点D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为08．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（

）A．的周长为8B．若直线经过点，则的最小值是1C．若线段中点坐标为，则直线的方程为D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为三、填空题9．已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于,两点,当的中点为时,直线的方程为___________.10．已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为________．11．若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.12．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为__________.【考点6】直线与圆锥曲线联立一、解答题1．已知椭圆E经过点且直线过椭圆E的焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)斜率为的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为求的值.2．已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率.(1)求出椭圆的标准方程；(2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.(1)求的标准方程；(2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．4．在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程：(2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，求．5．设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点．(1)证明：点在以为直径的圆上；(2)若，求的面积．6．已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点.(1)求抛物线的方程；(2)若，求直线的方程.【考点7】圆锥曲线最值问题一、解答题1．已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．2．已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点.(1)证明：平分；(2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值.4．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，，(1)求双曲线C的方程;(2)若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点(i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标;(ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值.5．已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；(2)求的最小值；(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．6．已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求；(3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值．【考点8】圆锥曲线定点定值一、解答题1．已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为．(1)求的标准方程；(2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求．2．已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为

(1)求的方程(2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点．3．已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．(1)求双曲线C的方程；(2)求证：直线、的斜率之积为定值；(3)设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．4．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点.(1)求双曲线的方程；(2)证明：存在轴上的一点，使得为定值.5．已知抛物线：（），为坐标原点，直线：，经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，为线段中点．动直线：在轴上方．

(1)求抛物线的方程；(2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求的值．(3)点在直线上的射影为点，是否存在使得以点为圆心且过点的圆过定点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．6．在平面直角坐标系中，过点的圆与直线相切，设圆心的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知点是上的一点，过点的直线与有两个不同的交点．（i）当点到直线的距离取得最大值时，求；（ii）记直线交轴于点，直线交轴于点，若，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．大单元复习03圆锥曲线的方程（新高考人教A版专用）目录目录【知识梳理】 2【热考题型】 8【考点1】圆锥曲线定义问题 8【考点2】圆锥曲线基本量求解 13【考点3】离心率与渐近线 19【考点4】焦点三角形与焦半径 24【考点5】点差法（中点弦） 28【考点6】直线与圆锥曲线联立 38【考点7】圆锥曲线最值问题 44【考点8】圆锥曲线定点定值 53知识梳理知识梳理一、椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.注意：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值.(2)定值必须大于两定点的距离.(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.二、椭圆的方程椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦点(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b2注意：(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴.(2)两种椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同.(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.三、椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±eq\r(a2－b2)，0)(0，±eq\r(a2－b2))焦距|F1F2|＝2eq\r(a2－b2)对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)注意：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c.四、离心率的性质五、直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0六、弦长问题弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(1＋k2)eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).七、双曲线的定义一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.注意：(1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|.①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在.③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.八、双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2ca，b，c的关系c2＝a2＋b2注意：(1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴.(2)两种双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同.九、双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)实轴和虚轴实轴：线段A1A2，长：2a虚轴：线段B1B2，长：2b半实轴长：a，半虚轴长：b焦点(±eq\r(a2＋b2)，0)(0，±eq\r(a2＋b2))焦距|F1F2|＝2c渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.十、离心率的几何性质1.填空离心率(1)定义：焦距与实轴长的比eq\f(c,a)叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋（\f(b,a)）2).(2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1.(3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1).因此e越大，eq\f(b,a)也越大，即渐近线y＝±eq\f(b,a)x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度.十一、直线与双曲线位置关系的判断设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②将①代入②，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.a.当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.b.当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)，Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离.十二、弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]).十三、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.注意：(1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1).(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.十四、抛物线的方程抛物线标准方程的几种形式(p＞0)图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2pxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2pyeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2pyeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)注意：(1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上.(2)p的几何意义：焦点到准线的距离.(3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围.十五、抛物线的简单几何性质四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)顶点坐标O(0，0)离心率e＝1通径长2p注意：(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平.(2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直.十六、抛物线的焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.(2)有关抛物线的焦点弦的结论如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l.①x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2；②以弦AB为直径的圆与准线相切；③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋eq\f(p,2))＝eq\f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)；④eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点).十七、直线与抛物线的位置关系的判断方法设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点.十八、有关弦长问题设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0).注意：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况.热考题型热考题型【考点1】圆锥曲线定义问题一、单选题1．已知椭圆的左､右焦点分别为，上､下顶点分别为，且，直线与椭圆交于两点，则四边形的周长为（

）A．2 B． C．4 D．2．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（

）A．1 B．3 C．7 D．93．已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（

）A．1 B．2 C． D．二、多选题4．设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（

）A．B．的最大值为9C．的面积的最大值为12D．存在点，使得5．已知双曲线C：（）的一条渐近线方程为，点，分别是C的左、右焦点，点，分别是C的左、右顶点，过点的直线l与C相交于P，Q点，其中点P在第一象限内，记直线的斜率为，直线的斜率为，则（

）A．双曲线C的焦距为 B． C． D．6．已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（

）A．9 B．8 C．7 D．6三、填空题7．已知椭圆的左、右焦点分别为，圆经过原点且与相交于两点，若恰好为圆的一条切线，则的长轴长为_____．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______.9．已知抛物线：的焦点为，设的准线与轴的交点为，点在上且满足，则的面积为___________参考答案1．D【详解】设椭圆半焦距为，则，即，，连接，由关于原点对称，关于原点对称，

得四边形为平行四边形，，则，而点与点关于直线对称，因此，，所以四边形的周长为.2．D【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案.【详解】由题意知，，所以.在双曲线中，有，所以，又，所以.由双曲线定义知，，即，所以或.又，即，所以.综上，.3．B【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解.【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为，已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3，即，解得.4．BCD【分析】求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的定义及性质逐项判断.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，，A错误；对于B，的最大值为，B正确；对于C，设的顶点，则，可得的面积，所以的面积的最大值为12，C正确；对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点，当点此交点之一时，，所以存在点，使得，D正确.故选：BCD.5．ABD【分析】A选项，根据渐近线方程得到方程，求出，从而得到双曲线C的焦距；B选项，双曲线定义得；C选项，举出反例；D选项，设，则，故，D正确.【详解】A选项，双曲线C：（）的渐近线方程为，又一条渐近线方程为，故，解得，故，解得，故双曲线C的焦距为，A正确；B选项，由A知，，由双曲线定义得，B正确；C选项，，当直线l与轴垂直时，中，令时，，故，C错误；D选项，，

设，则，即，，D正确.故选：ABD6．ABC【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用抛物线定义求出的最小值即可.【详解】抛物线的焦点，准线，如图，过点作于A，过点作于，连接，由抛物线的定义知，则，当且仅当点在上时取等号，又，所以的最小值为7.故选：ABC7．【分析】由圆心和圆经过原点得圆的半径，由切线的性质，通过勾股定理求得，由椭圆定义求得长轴长.【详解】由题意可知，圆的半径为，

因为直线与圆相切，由圆的几何性质可得，且，由勾股定理可得，因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得．故答案为：.8．7【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解.【详解】由题意可知：，，则，由双曲线定义可得，即，解得或（舍去），且，符合题意，所以.9．4【详解】如图，作垂直于准线，由抛物线定义可知，因为，所以，,所以，代入抛物线解析式得，所以.【考点2】圆锥曲线基本量求解一、单选题1．已知椭圆的焦距为，则（

）A．2 B． C． D．2．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．3．已知抛物线上一点到准线的距离为，则（

）A． B． C． D．2二、多选题4．已知椭圆：，则（

）A．的焦点在轴上 B．的焦距为10C．的离心率为 D．的长轴长是短轴长的5倍5．已知直线经过双曲线（，）的左焦点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得的最小值为4，则下列四个点中，C经过的点为（

）A． B．C． D．6．双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条平面内开口向上的抛物线沿着另一条平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为，则下列说法正确的是（）A．用平行于平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B．用法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D．用过原点且法向量为的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线三、填空题7．已知为椭圆上一点，且直线与有且仅有一个交点，则的焦距为__________.8．已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，且点F到双曲线渐近线的距离等于1，那么双曲线的方程为______．9．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则点、的距离为________.参考答案1．C【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求．【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为．设椭圆的半焦距为，则.因为椭圆的焦距为，即.解得.代入，得.即.所以.解得.因为，所以.2．D【分析】根据题意求圆C的圆心和半径，利用点到直线距离可得焦点到渐近线的距离，结合题意分析求解即可.【详解】因为圆的圆心为，半径，又因为双曲线的一条渐近线为，即，双曲线的左焦点到渐近线的距离，由题意可知：，可得，所以该双曲线的方程为.故选：D.3．C【分析】化为标准方程，得到准线方程，结合点位置得到，从而得到方程，求出答案.【详解】抛物线，故准线方程为，点在轴上方，故准线在轴下方，故，故到准线的距离为，解得.故选：C4．BC【分析】根据椭圆的几何性质即可逐一求解.【详解】对于椭圆：，可得，故椭圆的焦点在轴上，焦距为，离心率为，长轴长为，短轴长为，故AD错误，BC正确.故选：BC5．ACD【分析】根据最短弦长确定双曲线方程，再把点代入验证得出结果.【详解】若直线与C的两支交于顶点A、B，则，若直线与C的一支交于A，B两点，则通径最短，，由题意得，解得，则C的方程为，把选项ABCD分别代入方程，则B选项表示的点不在双曲线上，ACD选项表示的点在双曲线上．故选：ACD．6．AB【分析】利用空间向量的相关知识，结合马鞍面的标准方程，逐一变换方程判断各选项即可得解.【详解】因为马鞍面的标准方程为，对于A，平行于平面的面中为常数，不妨设为，得，故所得轨迹是双曲线.，故A正确；对于B，法向量为的平面中为常数，不妨设为，则，为抛物线方程，故B正确；对于C，垂直于轴的平面中为常数，不妨设为，则，为抛物线方程，故C错误；对于D，不妨设平面上的点坐标为，因为平面过原点且法向量为，由，得，故，代入马鞍面标准方程，得，当时，方程为，不是抛物线，故D错误.故选：AB.7．【分析】将代入椭圆方程，结合题意及关系及焦距定义即可求解.【详解】将代入椭圆方程，得到，又因为直线与仅有一个交点，所以，进而解得，所以的焦距为.故答案为：.8．【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，进而得到双曲线中的值，再利用点到直线的距离公式求出的值，最后结合求出的值，从而得到双曲线的方程.【详解】对于抛物线，其焦点坐标为.在抛物线中，，则，所以焦点的坐标为.因为双曲线与抛物线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距.双曲线的一条渐近线方程为.点到直线（、不同时为）的距离公式为.已知点到双曲线渐近线的距离等于，根据点到直线的距离公式可得.又因为，所以，即，因为，所以.由，，，可得，即，解得，因为，所以.将，代入双曲线方程，可得双曲线的方程为.故答案为：.9．1【分析】根据焦点可得抛物线的标准方程，将点代入可求出，再利用焦半径公式即可求解.【详解】抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为：，因为点在抛物线上，所以，解得，所以.故答案为：1【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，需熟记抛物线的标准方程的四种形式，焦半径公式，属于基础题.试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）【考点3】离心率与渐近线一、单选题1．已知椭圆C：经过点，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（

）

A． B．C． D．3．已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（

）．A． B． C． D．4．双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．二、多选题5．已知在平面直角坐标系中，曲线的离心率为直线在某一坐标轴上的截距，则的值可能是（

）A．57 B． C． D．6．若圆锥曲线的离心率为，则实数的关系为（

）A． B．C． D．7．已知双曲线，则下列关于双曲线的结论正确的是（

）A．实轴长为6 B．焦距为5C．离心率为 D．焦点到渐近线的距离为48．已知双曲线C：，则下列结论正确的是（

）A．m的取值范围是B．C的焦距与m的取值无关C．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为D．存在实数，使得点在C上三、填空题9．已知椭圆（）的离心率为，则______．10．设椭圆的左、右焦点分别为、，左顶点为，若椭圆的离心率为，则的值为________.11．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为___________.12．如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．

参考答案1．A【详解】已知椭圆C：经过点，则，解得，，．2．C【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于，根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故，根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故，综上，故选：C.3．A【详解】由双曲线的离心率，得，所以该双曲线的渐近线方程为．4．B【分析】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案.【详解】设双曲线的方程为，，代入点，则，则方程为，即.故选：B.5．ABD【分析】求得直线在，轴上的截距，分类讨论可求得的值.【详解】由，可得直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，若曲线的离心率为，则或，解得或，若曲线的离心率为，则，解得，综上所述：的值可能是.故选：ABD.6．AC【分析】先根据离心率判断曲线类型为椭圆，再将方程化为标准式.因椭圆焦点位置有两种情况，所以分情况讨论：焦点在轴时，确定、，由求出，结合离心率公式列方程求解与关系.焦点在轴时，同样确定、、，再根据离心率公式列方程求解与关系.【详解】因为圆锥曲线的离心率，所以该圆锥曲线为椭圆.方程可化为.当焦点在轴上时，此时，即，，，根据可得.已知离心率，则，即.化简，则当焦点在轴上时，此时，即，，，根据可得.已知离心率，则，即.化简得，实数与的关系为或.故选：AC.7．AD【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，可得双曲线的实轴长为，焦距为，离心率为，所以A正确，B、C不正确；又由双曲线的渐近线方程为，即，且焦点，不妨设右焦点，渐近线为，则焦点到渐近线的距离为，所以D正确.故选：AD.8．ABC【分析】A.由求解判断；B.由C的焦距为2判断；C.由和求解判断；D.结合，由判断.【详解】由题意得，则，A正确．由题意知，故C的焦距为2，与m的取值无关，B正确．由，解得，又，所以m的取值范围为，C正确．假设存在实数，使得点在C上，则，．当时，，则，所以在上无实数解，D错误．9．4【详解】显然，故，解得.10．【分析】根据题意写出焦点与左顶点的坐标，表示出线段长，利用离心率写出等量关系，可得答案.【详解】由题意可得，则，，由椭圆离心率为，可得，则，所以.故答案为：.11．【详解】的一条渐近线方程为，，．12．【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，又由，可得，根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，所以.故答案为：.【考点4】焦点三角形与焦半径一、单选题1．椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，则面积的最大值是（

）A．12 B．15 C．20 D．252．已知是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，则（

）A． B． C． D．3．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题4．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的短轴长为 B．的坐标为C．椭圆的离心率为 D．存在点P，使得5．已知双曲线：（）的左右两个焦点分别是，，焦距为8，则（

）A．B．双曲线的离心率为2C．双曲线的渐近线方程为D．若是双曲线上一点，且，则的周长为22或146．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（

）A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为C．若，则 D．三、填空题7．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为__________.8．双曲线的两个焦点分别是与，焦距为4，M是双曲线上的一点，且，则的面积是_______.9．已知抛物线的焦点为，若点为在第一象限内的一点，且，则直线的斜率为________．参考答案1．A【分析】利用焦点三角形的几何性质求解即可.【详解】的面积为所以故选：A.2．C【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求.【详解】由题设，双曲线的实半轴长，且，因为，故在右支上且，而，故，由余弦定理可得：，故选：C.3．B【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由抛物线，可得，准线方程，则，所以．根据抛物线的定义可得，则，解得．即点的横坐标为.4．AC【分析】由椭圆标准方程可得基本量，从而可求离心率，故可判断ABC的正误，根据的大小关系可判断D的正误.【详解】椭圆的焦点在轴上，，则短轴长为，A正确；的坐标为，B错误；离心率为，C正确；因为，故以原点为圆心，为半径的圆与椭圆没有交点，故不存在点P，使得，D错误，故选：AC.5．BC【分析】先根据题意，求出的值，再由选项内容逐一判断A，B，C项；对于D，需要按照点在双曲线的左支还是右支进行分类，结合双曲线上的点到焦点距离的范围进行判断取舍即可.【详解】对于A，因双曲线的焦距为，即得，由：（）可得，则，故A错误；对于B，由上分析，，故B正确；对于C，由上分析可得，，则该双曲线的渐近线方程为，即，故C正确；对于D，若点在双曲线的左支上，由可得，此时，的周长为；若点在双曲线的右支上，因，这与已知不符，故D错误.故选：BC.6．BC【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断.【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确；对于C，将代入，得，则，故C正确；对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误.故选：BC.7．【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得.【详解】由椭圆定义可得，则有，即，，又，由，故，故.故答案为：.8．6【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，进而求出三角形面积.【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得，由，，解得或，当时，点为双曲线离焦点较近的顶点，与共线，不符合要求，因此，，为直角三角形，所以的面积是.故答案为：69．【分析】设，根据焦半径公式得，进而求得，再计算斜率即可.【详解】由已知得，设，所以，根据焦半径公式得，解得，代入得，解得，所以直线的斜率为．【考点5】点差法（中点弦）一、单选题1．椭圆中以点为中点的弦所在直线方程为（

）A． B．C． D．2．已知双曲线，双曲线的某弦中点为，且点在第一象限，弦所在直线与双曲线的一条渐近线垂直，则的值为（

）A． B．2 C． D．3．已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．4．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．二、多选题5．已知圆在椭圆的内部，点为上一动点，为坐标原点.过点作圆的一条切线，交于另一点，切点为，若为的中点，且直线的斜率为，则（

）A．直线的斜率为 B．直线的斜率是C．直线的斜率是 D．椭圆的离心率为6．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（

）A．直线与恰有两个公共点B．双曲线的离心率为C．当时，的面积为D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，7．已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是（

）A．B．若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2C．若，则直线恒过点D．若直线过点F，则直线，的斜率之和为08．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（

）A．的周长为8B．若直线经过点，则的最小值是1C．若线段中点坐标为，则直线的方程为D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为三、填空题9．已知椭圆的离心率为,直线与椭圆交于,两点,当的中点为时,直线的方程为___________.10．已知斜率为且不经过坐标原点O的直线与椭圆＝1相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则直线OM的斜率为________．11．若双曲线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为______.12．过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为__________.参考答案1．A【分析】利用点差法求出斜率，即可求出直线方程.【详解】设点为中点的弦的端点，则有：，两式相减得：，因为为中点，所以，所以斜率，所以所求直线方程为：，即.故选：A2．D【分析】由点差法即可求解．【详解】由双曲线方程得，渐近线方程为，则直线的斜率，设，代入双曲线方程得，两式相减得，，所以，因为弦中点为，所以，当时，，当时，，又因为点在第一象限，所以，所以．3．D【分析】设、，由，利用点差法求解.【详解】解：设、，若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，因为线段的中点坐标为，则，则，两式相减得，则，因为，所以，，所以，，解得，因此，双曲线的标准方程为.故选：D.4．D【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出.【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得，因为的中点为，则，所以，即直线的斜率为.故选：D.5．AD【分析】根据题意可知这是一个中点弦问题，一般采用点差法求解.【详解】设，则，将的坐标代入椭圆的方程，得两式相减得，所以，因为直线的斜率为，所以的斜率为，A正确；所以.如图，设为椭圆的左顶点，连接，则，所以.解得或（舍去），直线的斜率为，B错误，C错误；所以，所以，故，D正确.故选：AD.6．BC【分析】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项.【详解】对于A选项，联立可得，所以，直线与恰有只有一个公共点，A错；对于B选项，对于双曲线，则，，，所以，双曲线的离心率为，B对；对于C选项，设，，由双曲线的定义可得，由余弦定理可得，可得，则，C对；对于D选项，设点、，线段的中点为，则，，则，由题意可得，所以，，则，D错.故选：BC.7．ABD【分析】由点到点F的距离根据抛物线定义可以求得，判断A选项；点差法即可得直线的斜率，判断B选项；利用数量积为0表示垂直关系，得到，根据斜率写出直线的方程，代入化简可得定点，判断C选项；根据直线的方程，代入点F可得，代入化简即可判断D选项.【详解】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确；则；对于B，若中点M的纵坐标为2，则AB斜率存在，设，则，两式作差得，所以直线的斜率为，故B正确；对于C，设，若，则，，当AB斜率存在时，直线：，过定点，当斜率不存在时，，，过点，故C错误；D选项，设，当斜率存在时，直线：，代入点可得，则，当AB斜率不存在时，，此时，D正确；故选：ABD.8．BCD【分析】对于A，利用椭圆的定义计算可判断；对于B，利用焦点弦长通径最短可判断；对于C，利用点差法，即可得直线方程；对于D，利用点到圆心的距离最大值，再加上半径即为的最大值.【详解】对于A，若直线经过点，如图一，则的周长为，若直线不经过点，如图二，则的周长为，故A错误；对于B，过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短，即，故B正确；对于C，显然直线的斜率存在，设，易知，若中点为，则，则直线的方程为,即，故C正确；对于D，设，圆心，则，因为，所以当时，取得最大值为，此时取得最大值为，故D正确．故选：BCD.9．【分析】根据点差法和椭圆的离心率可求出，再根据的中点为，可得，由此可得直线的斜率，再根据点斜式，即可求出结果.【详解】由题可知直线的斜率存在；设,由于点都在椭圆上，所以①,②,，化简得；又因为离心率为，所以，所以，即；又线段的中点为，所以，所以直线的斜率为，故所求直线的方程为，即．故答案为：.10．/【分析】先设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式得到点的坐标，再利用斜率公式进行求解.【详解】设直线的方程为，联立，得，即，由，得，设，，，则，，即，则直线OM的斜率为.故答案为:.11．【分析】设双曲线上两点，，，，直线的方程是，代入双曲线方程化简得，的中点是，，利用判别式大于0，韦达定理结合的中点在直线上，转化求解的范围即可．【详解】解：依题意，双曲线上两点，，，，若点A、B关于直线对称，则设直线的方程是，代入双曲线方程化简得：，则，且，解得，且又，设的中点是，，所以，．因为的中点在直线上，所以，所以，又所以，即，所以所以，整理得，所以或，实数的取值范围为：故答案为：.12．16【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得．【详解】设，则，两式相减得，∴，∵的中点是，∴．∴直线方程为，即，由，得，则，∴．故答案为：16【考点6】直线与圆锥曲线联立一、解答题1．已知椭圆E经过点且直线过椭圆E的焦点.(1)求椭圆E的标准方程；(2)斜率为的直线l与椭圆E交于P，Q两点.已知O为坐标原点，若直线OP，OQ的斜率分别为求的值.2．已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率.(1)求出椭圆的标准方程；(2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若过点作轴的垂线交双曲线于点，则.(1)求的标准方程；(2)已知直线与双曲线交于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．4．在平面直角坐标系中，已知点，、动点满足，，记点的轨迹为曲线．(1)求的方程：(2)已知点，，过点作斜率为的直线交于，两点，设直线，的斜率分别为，，若，求．5．设抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交于，两点．(1)证明：点在以为直径的圆上；(2)若，求的面积．6．已知点在抛物线上，焦点为，，经过点的直线交抛物线于，两点.(1)求抛物线的方程；(2)若，求直线的方程.参考答案1．(1)(2)【分析】（1）易得为椭圆的焦点，得到，再由椭圆经过点，代入椭圆方程求解；（2）设直线平行的方程为，与椭圆的方程联立，结合韦达定理求解.【详解】（1）因为椭圆E的焦点在x轴上，且直线过椭圆E的焦点，所以

∴，∴，∵椭圆经过点

解得.故椭圆的标准方程为.（2）∴设直线的方程为，点，.将直线的方程代入椭圆的方程得，，解得，由韦达定理得.∴.2．(1)(2)存在，【分析】（1）根据离心率以及四边形面积解方程可求得，，得出椭圆方程；（2）显然直线斜率不存在时不合题意，设出直线方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量关系，可求得直线方程.【详解】（1）由，得，由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，可得，即，再由，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，设点，，当直线的斜率不存在时，，此时交点为和,不满足，舍去；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得到，其中，且；，，即；因此，解得；解得，即，直线的方程为.3．(1)(2)或.【分析】（1）根据弦长求出即可；（2）根据题意联立得，设，则，再由进行求解．【详解】（1）由题可知，则，即，解得，，所以双曲线；（2）由直线与双曲线联立方程组消可得：，又直线与双曲线交于两点，所以，即，设，则，

因为以为直径的圆过点，所以，即，化简得：，解得或，都满足，所以直线的方程为或.4．(1)；(2).【分析】（1）利用双曲线定义求出点的轨迹方程，再利用坐标代换法求出曲线的方程.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率公式列式求解.【详解】（1）由，得点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为2的双曲线，实半轴长，半焦距，虚半轴长，因此点的轨迹方程为，设，由，得，于是，即，所以曲线的方程为.（2）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，，由消去得，，则，，，由，即，则，即，所以.5．(1)证明：设直线的方程为，，联立，即，则，，，因为，则，又，所以，所以，即，所以点在以为直径的圆上；(2)【分析】（1）设直线方程及，两点坐标，联立方程组，列出韦达定理，要证点在以为直径的圆上，即证即可；（2）先根据已知条件可求出，再通过弦长公式及点到直线的距离公式，将面积表示成关于的式子，从而求出面积.【详解】（1）略（2）由题可得，，则，所以，又，所以，由（1）知，，所以，解得，由弦长公式可得，又点到直线：的距离，所以.6．(1)(2)或【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的定义列方程组求，即可得抛物线方程；（2）设直线，，，与抛物线方程联立可得韦达定理，结合弦长公式运算求解即可.【详解】（1）由抛物线方程可知：焦点，准线，由题意可知：，解得，所以抛物线的方程为.（2）因为点在抛物线内部，则直线的斜率不为0，且直线与抛物线必相交，设直线，，，联立方程，消去y可得，则，，可得，则，解得，所以直线的方程为或.【考点7】圆锥曲线最值问题一、解答题1．已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．（ⅰ）求证：；（ⅱ）求面积的最大值．2．已知椭圆的上顶点为，离心率为，为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)动直线过点且与椭圆的另一个交点为，若，求△面积的最大值.3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点.(1)证明：平分；(2)过原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值.4．已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，，(1)求双曲线C的方程;(2)若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点(i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标;(ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值.5．已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；(2)求的最小值；(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．6．已知动圆（为圆心）过定点，且与定直线相切．(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设过点且斜率为的直线与（1）中的曲线交于、两点，求；(3)设点是轴上一定点，求、两点间距离的最小值．参考答案1．(1)(2)（ⅰ）设过点的直线的方程为，，，由，得，，所以，．因直线的斜率分别为，因为则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ）【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程；（2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值.【详解】