大一高等代数期末考试试题及参考答案

大一高等代数期末考试试题及参考答案适用专业：数学与应用数学、统计学、数据科学与大数据技术等大一本科专业考试时长：120分钟满分：100分考试说明：本试卷共五大题，答题请书写规范，计算题需写出核心步骤，证明题逻辑清晰、步骤完整。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.以下关于行列式的说法正确的是（）A.行列式两行元素对应成比例，行列式值为1B.行列式某一行元素全为0，行列式值为0C.行列式互换两行元素，行列式值不变D.常数乘以行列式，仅需乘以行列式中任意一行元素2.设三阶方阵$A$满足$|A|=2$，则$|2A^{-1}|=$（）A.2B.4C.1D.83.向量组$\alpha_1=(1,0,0),\alpha_2=(1,1,0),\alpha_3=(0,0,0)$的秩为（）A.0B.1C.2D.34.齐次线性方程组$Ax=0$有非零解的充分必要条件是（）A.$r(A)<$未知量个数B.$r(A)>$未知量个数C.$r(A)=$方程组方程个数D.$A$为可逆矩阵5.二次型$f(x_1,x_2)=x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2$的矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.二阶行列式$\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}=$__________。2.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，则$AB=$__________。3.三维向量空间$\mathbb{R}^3$中，向量组$\varepsilon_1=(1,0,0),\varepsilon_2=(0,1,0),\varepsilon_3=(0,0,1)$的极大线性无关组为__________。4.线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2=1\\2x_1+2x_2=2\end{cases}$的通解中自由未知量的个数为__________。5.矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$的全部特征值为__________。三、计算题（本大题共4小题，每小题8分，共32分）1.计算四阶行列式的值：D=2.设矩阵A=13.判定向量组$\alpha_1=(1,2,3),\alpha_2=(2,4,6),\alpha_3=(1,1,4),\alpha_4=(0,3,-1)$的线性相关性，并求出该向量组的秩和一个极大线性无关组。4.求解非齐次线性方程组的通解：x四、正交与二次型题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）1.将向量组$\alpha_1=(1,1,0),\alpha_2=(1,0,1),\alpha_3=(0,1,1)$施行施密特正交化，化为标准正交向量组。2.求二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3$的标准形，并判断该二次型的正定性。五、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1.设$A,B$均为$n$阶可逆方阵，证明：$(AB)^*=B^*A^*$（其中$A^*$为$A$的伴随矩阵）。2.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，证明：向量组$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$也线性无关。参考答案及详细解析一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.B解析：行列式核心性质：两行成比例值为0，互换两行值变号，常数乘行列式需乘所有元素，某行全零行列式值为0。2.B解析：$n$阶方阵满足$|kA^{-1}|=k^n|A^{-1}|$，三阶方阵$n=3$，$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac{1}{2}$，故$|2A^{-1}|=2^3\times\frac{1}{2}=4$。3.C解析：零向量不影响向量组的线性无关性，$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，向量组秩为2。4.A解析：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量个数。5.B解析：二次型矩阵为对称矩阵，平方项系数为对角元，交叉项系数平分，$2x_1x_2$对应矩阵元素为1，故矩阵为$\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}$。二、填空题（每小题3分，共15分）1.10解析：$3\times4-1\times2=10$2.$\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$解析：矩阵乘法直接计算可得。3.$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$解析：三维单位向量组线性无关，自身即为极大无关组。4.1解析：系数矩阵秩为1，未知量个数2，自由未知量个数$2-1=1$。5.1,2,3解析：对角矩阵的特征值即为其主对角线元素。三、计算题（每小题8分，共32分）1.解答：该行列式为四阶范德蒙德行列式，范德蒙德公式：D本题中$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$，代入得：$D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=1\times2\times3\times1\times2\times1=12$最终结果：122.解答：构造增广矩阵$(A|E)$，初等行变换化为$(E|A^{-1})$：(A|E)=行变换：$r_2-2r_1,r_3-3r_1$得：1$r_3-r_2$、化简行向量，最终求得：A3.解答：将向量按列构成矩阵，做初等行变换：A=矩阵秩$r(A)=3<4$，故向量组线性相关。向量组的秩为3，一个极大线性无关组为：$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$（答案不唯一）。4.解答：对增广矩阵做初等行变换：A$r(A)=r(\overline{A})=2<4$，方程组有无穷多解。取$x_2,x_4$为自由未知量，令$x_2=k_1,x_4=k_2$，得通解：x四、正交与二次型题（每小题9分，共18分）1.解答：施密特正交化过程第一步：正交化$\beta_1=\alpha_1=(1,1,0)$$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},1)$$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2=(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$第二步：单位化ηηη$\eta_1,\eta_2,\eta_3$即为所求标准正交向量组。2.解答：二次型矩阵：A=配方法化简：$f=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2-2x_2x_3+2x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2-x_3)^2+x_3^2$令可逆线性变换，得二次型标准形：$f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$标准形中三个平方项系数均为正，正惯性指数为3，故该二次型为正定二次型。五、证明题（每小题10分，共20分）1.证明：已知$A,B$为$n$阶可逆方阵，则$AB$可逆，且满足伴随矩阵基本公式：$CC^*=|C|E$。$(AB)(B^*A^*)=A(BB^*)A^*=A(|B|E)A^*=|B|AA^*=|B||A|E=|AB|E$由伴随矩阵唯一性，若$CC^*=|C|E$，则$(AB)^*=B^*A^*$，原式得证。2.证明：设$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$，代入向量表达式：$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$整理得：$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$因$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线