2025年线性代数（向量与线性方程组）大学本科期末考试重点解析试卷

2025年线性代数（向量与线性方程组）大学本科期末考试重点解析试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、设向量组α₁=(1,2,3),α₂=(0,1,1),α₃=(a,0,1),α₄=(2,b,4)。(1)若α₁,α₂,α₃线性无关，求a的取值范围；(2)若α₁,α₂,α₃,α₄线性相关，且α₄不能由α₁,α₂,α₃线性表示，求b的取值范围。二、已知线性方程组：{x₁+2x₂+x₃=12x₁+3x₂+a₃x₃=3x₁+x₂+(a₁+1)x₃=b}其中a₁,a₃,b为参数。(1)讨论该方程组解的存在性（有解、无解）与参数a₁,a₃,b的关系；(2)若方程组有解，求其通解。三、设矩阵A=[(1,2),(3,4)],B=[(1,0),(0,-1)]。(1)求A的逆矩阵A⁻¹（若存在）；(2)计算矩阵方程AX+B=BX+E（E为2x2单位矩阵），其中X为2x2矩阵。四、已知4x₁+x₂-2x₃+x₄=0生成一个向量空间V。(1)求V的一个基；(2)求向量β=(1,2,3,4)在V中的坐标。五、设向量组α₁=(1,1,2,3),α₂=(1,3,a,5),α₃=(2,0,1,a+2)。(1)若α₁,α₂,α₃线性相关，求a的取值；(2)若α₁,α₂,α₃线性无关，求向量β=(4,4,3,a+6)是否在此向量组生成的线性空间中，若是，请表示为α₁,α₂,α₃的线性组合。六、设齐次线性方程组：{x₁+x₂+x₃+x₄=0x₁+2x₂+2x₃+3x₄=0x₂+a₂x₃+a₂x₄=0}的基础解系为(1,-1,1,0)和(2,1,0,1)。(1)求a₂的值；(2)求该方程组的通解。七、设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，且r(A)=n，r(B)=s。(1)证明r(AB)=s；(2)若方程组AX=0只有零解，证明方程组BY=0也只有零解。试卷答案一、(1)设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=0，得方程组：{x₁+0x₂+ax₃=02x₁+x₂+0x₃=03x₁+x₂+x₃=0}其系数矩阵为[(1,0,a),(2,1,0),(3,1,1)]。进行初等行变换：[(1,0,a),(2,1,0),(3,1,1)]→[(1,0,a),(0,1,-2a),(0,1,1-3a)]→[(1,0,a),(0,1,-2a),(0,0,1-3a)]若α₁,α₂,α₃线性无关，则上述方程组只有零解，要求1-3a≠0，即a≠1/3。所以a的取值范围是a≠1/3。(2)α₁,α₂,α₃,α₄线性相关，则存在不全为零的x₁,x₂,x₃,x₄使得x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0。即(x₁+2x₄,2x₁+x₂+bx₄,3x₁+x₃+4x₄)=(0,0,0)。得方程组：{x₁+2x₄=02x₁+x₂+bx₄=03x₁+x₃+4x₄=0}其增广矩阵为[(1,0,0,2),(2,1,0,b),(3,1,1,4)]。进行初等行变换：[(1,0,0,2),(2,1,0,b),(3,1,1,4)]→[(1,0,0,2),(0,1,0,b-4),(0,1,1,-2)]→[(1,0,0,2),(0,1,0,b-4),(0,0,1,-2-(b-4))]=[(1,0,0,2),(0,1,0,b-4),(0,0,1,6-b)]要使α₄不能由α₁,α₂,α₃线性表示，则上述方程组中x₄的系数（即增广矩阵最后一列对应于x₄的数）必须不为零，即6-b≠0，得b≠6。所以b的取值范围是b≠6。二、增广矩阵为[(1,2,1,1),(2,3,a₃,3),(1,1,a₁+1,b)]。进行初等行变换：[(1,2,1,1),(2,3,a₃,3),(1,1,a₁+1,b)]→[(1,2,1,1),(0,-1,a₃-2,1),(0,-1,a₁-1,b-1)]→[(1,2,1,1),(0,1,2-a₃,-1),(0,0,a₁+1,b)](1)若方程组有解，则r(A)=r(A,b)。根据增广矩阵：若a₁+1=0且b≠0，即a₁=-1且b≠0，则r(A)=2,r(A,b)=3，无解。若a₁+1≠0，即a₁≠-1，则r(A)=r(A,b)=3，方程组有唯一解。若a₁+1=0且b=0，即a₁=-1且b=0，则r(A)=r(A,b)=2，方程组有无穷多解。综上，方程组有解的条件是a₁≠-1或(a₁=-1且b=0)。(2)若方程组有解：当a₁≠-1时，r(A)=r(A,b)=3。解为：[(1,2,1,1),(0,1,2-a₃,-1),(0,0,a₁+1,b)]→[(1,2,1,1),(0,1,2-a₃,-1),(0,0,1,b/(a₁+1))]→[(1,2,0,1-(b/(a₁+1))*(2-a₃)),(0,1,0,-1-(b/(a₁+1))*(2-a₃)),(0,0,1,b/(a₁+1))]令x₃=b/(a₁+1)，则x₂=-1-(b/(a₁+1))*(2-a₃)=-1-(b(2-a₃))/(a₁+1)，x₁=1-2x₂-x₃=1-2[-1-(b(2-a₃))/(a₁+1)]-b/(a₁+1)=3+b(2-a₃)/(a₁+1)-b/(a₁+1)=3+b(1-a₃)/(a₁+1)。通解为(x₁,x₂,x₃)=(3+b(1-a₃)/(a₁+1),-1-(b(2-a₃))/(a₁+1),b/(a₁+1))。当a₁=-1且b=0时，r(A)=r(A,b)=2。解为：[(1,2,1,1),(0,1,a₃-2,-1),(0,0,0,0)]→[(1,2,1,1),(0,1,a₃-2,-1),(0,0,0,0)]令x₃=t(t为参数)，则x₂=-1-(a₃-2)t=-1-t(a₃-2)，x₁=1-2x₂-x₃=1-2[-1-t(a₃-2)]-t=3+2t(a₃-2)-t=3+t(2a₃-5)。通解为(x₁,x₂,x₃)=(3+t(2a₃-5),-1-t(a₃-2),t)。三、(1)设AX=E，即[(x₁,x₂),(x₃,x₄)]*[(1,2),(3,4)]=[(1,0),(0,1)]。得方程组：{x₁+3x₃=12x₁+4x₃=0x₂+3x₄=02x₂+4x₄=1}解第一个方程组：[(1,3,1),(2,4,0)]→[(1,3,1),(0,-2,-2)]→[(1,3,1),(0,1,1)]→[(1,0,-2),(0,1,1)]得x₁=-2,x₃=1。令x₂=s,x₄=t(s,t为参数)。解第二个方程组：[(1,3,0),(2,4,1)]→[(1,3,0),(0,-2,1)]→[(1,3,0),(0,1,-1/2)]→[(1,0,3/2),(0,1,-1/2)]得x₂=3/2,x₄=-1/2。令x₁=u,x₃=v(u,v为参数)。比较两组解，发现矛盾，说明原方程组无解。因此A不可逆。(2)AX+B=BX+E等价于(A-B)X=E-B。A-B=[(1,2),(3,4)]-[(1,0),(0,-1)]=[(0,2),(3,5)]。E-B=[(1,0),(0,1)]-[(1,0),(0,-1)]=[(0,0),(0,2)]=[(0,0),(0,1)]。即[(0,2),(3,5)]*[(x₁,x₂),(x₃,x₄)]=[(0,0),(0,1)]。得方程组：{2x₃=03x₁+5x₃=00=00=1}第一个方程组：[(2,0),(3,5)]→[(1,0),(3,5)]→[(1,0),(0,5)]得x₃=0,x₁=0。令x₂=s,x₄=t(s,t为参数)。第二个方程组：[(0,0),(0,1)]只有当(0,1)列对应的x₄=1时才成立，但此时x₂=s任意。这与x₂=s,x₄=t矛盾。说明不存在这样的X。因此方程无解。四、(1)取V中任意两个向量，如v₁=(1,1,2,3),v₂=(2,0,1,3)。检查线性相关性：k₁v₁+k₂v₂=0，即k₁(1,1,2,3)+k₂(2,0,1,3)=(0,0,0,0)。得方程组：{k₁+2k₂=0k₁=02k₁+k₂=03k₁+3k₂=0}由k₁=0，得2k₂=0，即k₂=0。只有零解k₁=k₂=0。所以v₁,v₂线性无关。又因V由4x₁+x₂-2x₃+x₄=0生成，该方程表示一个3维超平面（在4维空间中），所以V的维数为4-1=3。因此{v₁,v₂}不是V的基。需要找到3个线性无关的向量。考虑原方程4x₁+x₂-2x₃+x₄=0。取x₃=1,x₄=0,得4x₁+x₂-2=0=>x₂=2-4x₁。令x₁=1,得v₃=(1,-2,1,0)。取x₃=0,x₄=1,得4x₁+x₂+1=0=>x₂=-1-4x₁。令x₁=0,得v₄=(0,-1,0,1)。检查v₁,v₂,v₃的线性相关性：k₁v₁+k₂v₂+k₃v₃=0，即k₁(1,1,2,3)+k₂(2,0,1,3)+k₃(1,-2,1,0)=(0,0,0,0)。得方程组：{k₁+2k₂+k₃=0k₁-2k₃=02k₁+k₂+k₃=03k₁+3k₂=0}化简为：[(1,2,1),(1,0,-2),(2,1,1)]→[(1,2,1),(0,-2,-3),(0,-3,-1)]→[(1,2,1),(0,1,3/2),(0,0,7/2)]只有零解k₁=k₂=k₃=0。所以v₁,v₂,v₃线性无关。检查v₁,v₂,v₃,v₄的线性相关性：k₁v₁+k₂v₂+k₃v₃+k₄v₄=0。得方程组：{k₁+2k₂+k₃=0k₁-2k₃-k₄=02k₁+k₂+k₃=03k₁+3k₂=0}化简为：[(1,2,1,0),(1,0,-2,-1),(2,1,1,0)]→[(1,2,1,0),(0,-2,-3,-1),(0,-3,-1,0)]→[(1,2,1,0),(0,1,3/2,1/2),(0,0,7/2,3/2)]只有零解k₁=k₂=k₃=k₄=0。所以v₁,v₂,v₃,v₄线性无关。因此{v₁,v₂,v₃}是V的一个基。(2)β=(1,2,3,4)在V中的坐标为(x₁,x₂,x₃)使得β=x₁v₁+x₂v₂+x₃v₃。即(1,2,3,4)=x₁(1,1,2,3)+x₂(2,0,1,3)+x₃(1,-2,1,0)。得方程组：{x₁+2x₂+x₃=1x₁-2x₃=22x₁+x₂+x₃=33x₁+3x₂=4}化简为：[(1,2,1,1),(1,0,-2,2),(2,1,1,3),(3,3,0,4)]→[(1,2,1,1),(0,-2,-3,1),(0,-3,-1,1),(0,3,-3,1)]→[(1,2,1,1),(0,1,3/2,-1/2),(0,0,7/2,0),(0,0,3/2,0)]→[(1,2,1,1),(0,1,3/2,-1/2),(0,0,1,0),(0,0,0,0)]回代得x₃=0,3/2*x₃=-1/2=>x₂=-1/3,x₁+2(-1/3)+0=1=>x₁=1+2/3=5/3。所以β在V中的坐标为(5/3,-1/3,0)。五、(1)设x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃=0，得方程组：{x₁+x₂+2x₃=0x₁+3x₂=02x₁+x₃=0ax₁+x₃=0}其系数矩阵为[(1,1,2),(1,3,0),(2,0,1),(a,0,1)]。进行初等行变换：[(1,1,2),(1,3,0),(2,0,1),(a,0,1)]→[(1,1,2),(0,2,-2),(0,-2,-3),(0,-a,1-2a)]→[(1,1,2),(0,1,-1),(0,0,-1),(0,0,1-2a)]→[(1,1,2),(0,1,-1),(0,0,1),(0,0,1-2a)]若α₁,α₂,α₃线性相关，则上述方程组有非零解，要求r(A)<3。即第四行必须为零行，即1-2a=0，得a=1/2。(2)若α₁,α₂,α₃线性无关，则r(α₁,α₂,α₃)=3。即系数矩阵[(1,1,2),(1,3,0),(2,0,1)]的秩为3。进行初等行变换：[(1,1,2),(1,3,0),(2,0,1)]→[(1,1,2),(0,2,-2),(0,-2,-3)]→[(1,1,2),(0,1,-1),(0,0,-1)]秩为3，说明α₁,α₂,α₃线性无关。向量空间V由α₁,α₂,α₃生成，维数为3。β在V中当且仅当β是α₁,α₂,α₃的线性组合。设β=x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃，即(4,4,3,a+6)=x₁(1,1,2,3)+x₂(1,3,0,1)+x₃(2,0,1,a+2)。得方程组：{x₁+x₂+2x₃=4x₁+3x₂=42x₁+x₃=33x₁+x₂+(a+2)x₃=a+6}化简为：[(1,1,2,4),(1,3,0,4),(2,0,1,3),(3,1,a+2,a+6)]→[(1,1,2,4),(0,2,-2,0),(0,-2,-3,-5),(0,-2,a-4,a)]→[(1,1,2,4),(0,1,-1,0),(0,0,-1,-5),(0,0,a-6,a)]→[(1,1,2,4),(0,1,-1,0),(0,0,1,5),(0,0,0,a-30)]若a≠30，则r(A)=3,r(A,β)=4，无解，β不在V中。若a=30，则r(A)=r(A,β)=3，有解。此时方程组为：[(1,1,2,4),(0,1,-1,0),(0,0,1,5)]回代得x₃=5,-x₂-x₃=0=>x₂=-5,x₁+x₂+2x₃=4=>x₁=4-(-5)+2*5=4+5+10=19。所以当a=30时，β=19α₁-5α₂+5α₃。即β在V中，且其表示为α₁,α₂,α₃的线性组合为β=19α₁-5α₂+5α₃。六、(1)基础解系由(1,-1,1,0)和(2,1,0,1)组成，说明齐次线性方程组的基础解系向量个数为2，即解空间的维数为2。