2026-2027学年沪科版九年级数学上册试题期中考试卷（带答案）

第页2026-2027学年沪科版九年级数学上册试题期中考试卷（带答案）命题范围：第21章二次函数与反比例函数第22章相似形满分：150分考试时间：120分钟班级：＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿得分：＿＿＿＿＿＿注意事项1．本试卷共23小题，满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，请将姓名、班级等信息填写在答题卷规定的位置上。3．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。1．抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是（）A．(2,3)B．(-2,3)C．(2,-3)D．(-2,-3)2．若函数y=(m-1)xm²+1是二次函数，则m的值为（）A．1B．-1C．±1D．03．已知点A(-1,y₁)、B(2,y₂)在反比例函数y=-6/x的图象上，则y₁与y₂的大小关系是（）A．y₁＜y₂B．y₁＞y₂C．y₁＝y₂D．无法比较4．将抛物线y=2x²先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（）A．y=2(x-2)²+1B．y=2(x-2)²-1C．y=2(x+2)²-1D．y=2(x+2)²+15．已知a:b=2:3，则(a+b):b的值为（）A．2:3B．3:2C．5:3D．5:26．线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，则BC的长约为（）A．6.18cmB．7.42cmC．3.82cmD．5cm7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，则与△ACD相似（不包括△ACD本身）的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第7题图8．两个相似三角形的相似比为2:3，若它们的面积之和为52，则较大三角形的面积是（）A．32B．20C．16D．369．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，则一元二次方程ax²+bx+c=0的根是（）A．x₁=-1，x₂=3B．x₁=1，x₂=-3C．x₁=-3，x₂=1D．x₁=x₂=310．已知二次函数y=x²-2x+3，当a≤x≤2时，函数值y的最小值为2，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a≥1C．a≤2D．a=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．二次函数y=2x²-4x+5图象的顶点坐标是＿＿＿＿＿＿.12．已知反比例函数y=k/x，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是＿＿＿＿＿＿.13．在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点A(2,3)放大，得到其对应点A′，位似比为2:1，则点A′的坐标为＿＿＿＿＿＿.14．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，顶点为D，点P是x轴上方抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，点P的坐标为＿＿＿＿＿＿.第14题图三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．已知抛物线经过点A(0,-3)、B(1,0)、C(3,0).（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴.16．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，其坐标分别为A(1,1)、B(4,1)、C(1,3).（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′，并写出点A′、B′、C′的坐标；（2）求△A′B′C′的面积.第16题图四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．某农户打算用一段长为20m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙的一边长为xm.（1）写出菜园面积S（m²）与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？18．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=k/x（k≠0）的图象在第一象限内交于点A(2,4).（1）求反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△AOB的面积.第18题图五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．数学兴趣小组利用平面镜反射原理测量树高：如图，把一面镜子水平放置在地面上的点C处，小明沿着直线BC后退到点D处，恰好从镜子中看到树梢A.已知树AB⊥BD，小明眼睛离地面ED=1.5m，测得BC=8m，DC=2.4m，∠ACB=∠ECD.（1）求树AB的高度；（2）若小明改将镜子放在地面上的点C′处，后退到点D′处（D′C′=3m）时恰好又看到树梢A，求C、C′两点间的距离.第19题图20．已知二次函数y=x²-2x-3.（1）求该抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系中画出该抛物线的草图；（3）结合图象，直接写出当y＜0时x的取值范围.第20题图六、（本题满分12分）21．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点A出发，沿A→B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点B出发，沿B→C方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一点到达端点时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒（t＞0）.（1）当t为何值时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使得△PBQ的面积等于△ABC面积的四分之一？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.第21题图七、（本题满分12分）22．如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，且∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB=6，AC=10，BD=4，求BC和AD的长.第22题图八、（本题满分14分）23．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C.（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）求△BCD的面积；（3）点P是直线BC下方抛物线上一动点（不与B、C重合），当△BCP的面积最大时，求点P的坐标及△BCP面积的最大值.第23题图参考答案一、选择题（每小题4分，满分40分）题号12345678910答案ABBCCCBDAA二、填空题（每小题5分，满分20分）11．(1,3)12．k＜013．(4,6)或(-4,-6)（写对一个得3分，两个全对得5分）14．P(1,4)三、解答题（满分90分）15．（8分）（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c.因为抛物线经过A(0,-3)，所以c=-3；又经过B(1,0)、C(3,0)，得a+b-3=0，9a+3b-3=0，解得a=-1，b=4.所以y=-x²+4x-3.（5分）（2）y=-x²+4x-3=-(x-2)²+1，所以顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x=2.（3分）16．（8分）（1）△A′B′C′如图所示：A′(2,2)，B′(8,2)，C′(2,6).（画图3分，坐标2分）（2）因为△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2，所以面积比为1:4.S△ABC=1/2×3×2=3，所以S△A′B′C′=4×3=12.（3分）17．（8分）（1）矩形与墙平行的一边长为(20-2x)m，所以S=x(20-2x)=-2x²+20x，自变量取值范围为0＜x＜10.（4分）（2）S=-2x²+20x=-2(x-5)²+50，因为-2＜0，0＜x＜10，所以当x=5时，S取最大值50.即当垂直于墙的一边长为5m时，菜园面积最大，最大面积为50m².（4分）18．（8分）（1）将A(2,4)代入y=k/x，得k=8，所以反比例函数的解析式为y=8/x.（3分）（2）由x+2=8/x，得x²+2x-8=0，解得x₁=2，x₂=-4.当x=-4时，y=-2，所以B(-4,-2).（3分）设直线AB与y轴交于点M(0,2)，则S△AOB=S△AOM+S△BOM=1/2×2×2+1/2×2×4=2+4=6.（2分）19．（10分）（1）由题意得∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，所以△ABC∽△EDC.所以AB/ED=BC/DC，即AB/1.5=8/2.4，解得AB=5.所以树AB的高度为5m.（5分）（2）同理△ABC∽△ED′C′，所以AB/ED=BC′/D′C′，即5/1.5=BC′/3，解得BC′=10.所以CC′=BC′-BC=10-8=2（m）.（5分）20．（10分）（1）令y=0，得x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0).因为y=x²-2x-3=(x-1)²-4，所以顶点坐标为(1,-4).（4分）（2）草图如图所示.（3分）（3）由图象可知，当y＜0时，-1＜x＜3.（3分）21．（12分）（1）由题意得AP=t，PB=6-t，BQ=2t，其中0＜t≤4，∠PBQ=∠ABC=90°.分两种情况：①当PB/BA=BQ/BC时，即(6-t)/6=2t/8，解得t=2.4；②当PB/BC=BQ/BA时，即(6-t)/8=2t/6，解得t=18/11.经检验，两个t值均在0＜t≤4范围内.所以当t=2.4或t=18/11时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.（7分）（2）存在.S△ABC=1/2×6×8=24，S△PBQ=1/2×PB×BQ=1/2×(6-t)×2t=t(6-t).令t(6-t)=24×1/4=6，即t²-6t+6=0，解得t₁=3+√3，t₂=3-√3.因为3+√3≈4.73＞4（不合题意，舍去），所以t=3-√3.即存在t=3-√3秒，使得△PBQ的面积等于△ABC面积的四分之一.（5分）22．（12分）（1）证明：因为∠BAD=∠C，∠ABD=∠CBA（公共角），所以△ABD∽△CBA.（6分）（2）由△ABD∽△CBA得AB/CB=BD/BA，即6/BC=4/6，解得BC=9.又AD/CA=BD/BA，即AD/10=4/6，解得AD=20/3（即6又2/3）.（6分）23．（14分）（1）将A(1,0)、B(3,0)代入y=ax²+bx+3，得a+b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=1，b=-4.所以抛物线的解析式为y=x²-4x+3=(x-2)²-1，顶点D的坐标为(2,-1).（4分）（2）由y=x²-4x+3得C(0,3).连接OD.S△OBC=1/2×3×3=9/2，S△OBD=1/2×3×1=3/2，S△OCD=1/2×3×2=3，所以S△BCD=S△OBC+S△OBD-S△OCD=9/2+3/2-