浙江省金华十校2026-2027学年高三（上）模拟数学试卷（11月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年浙江省金华十校高三（上）模拟数学试卷（11月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|x>1}，则A∩B=(

)A.(1,3] B.[−1,1) C.(1,3) D.[−1,+∞)2.下列复数中，属于纯虚数的是(

)A.3 B.2i C.1+2i D.03.某正方体的棱长为2，则它的内切球体积为(

)A.83π B.8π C.434.过点(0,−1)作曲线f(x)=lnx的切线，则切点的横坐标为(

)A.1e B.1 C.e D.5.已知tan(α+π4)=4A.−17 B.−7 C.176.已知函数f(x)=−x+1，x∈(0,1)，若a=f(x)，b=f(x2)，c=fA.b<a<c B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为e，O为坐标原点.点P在C上且满足PF⊥PA，若A.1+1e B.22(1+18.已知数列{an}共有4项，其中a1=1，且ak+1ak∈{−2,1,12}A.1216 B.−1216 C.1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某市2026年10月中旬连续6天的最高气温(单位：摄氏度)分别为：15，18，20，22，22，23，则这6个数据的(

)A.极差为6 B.众数为22

C.第40百分位数为20 D.平均数为2110.三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，∠A1AB=∠A1AC=60°.点P，A.AA1⊥BC B.PQ//面BCC1B1

11.在平面中，O为坐标原点，单位向量OE，OF为一组基底，夹角为θ.定义：

①点集Sθ={P|OP=xOE+yOF,x,y∈Z}；

②Dθ是以OE，OF为邻边的菱形．

已知AA.当θ=23π时，若A为定点，则存在六个满足条件的点B

B.对于任意θ，|m|≤1且|n|≤1恒成立

C.边长为1的正十边形可以由若干个D25π拼成

D.用若干个Dπ4与三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=2a113.若x=0是函数f(x)=(x−a)(ex−1)的极值点，则a=

14.已知A(−1,0)，B(1,0)为平面直角坐标系中两定点，M0为动直线l：x=t上的一点，且满足对于任意点M∈l，∠AMB≤∠AM0B，记点M0形成的轨迹为曲线Γ，若圆心在y轴上的圆与曲线Γ有且仅有三个公共点，则该圆的半径为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，AC=6，∠ACB=30°，S△ABC=3，延长CB至点D，连接AD．

(1)求AB的长；

(2)若16.(本小题15分)

如图，三棱锥A−BCD中，AB=BD=2，BC=1，∠ABD=90°，∠CBD=60°，平面BCD⊥平面ABD．

(1)求证：CD⊥平面ABC；

(2)若P为直线AD上的动点，求直线BP与直线CD所成角的余弦值的最大值．17.(本小题15分)

某箱子中有2个白球和1个红球，每次从箱子中取出1个小球，观察颜色后放回，同时再放入1个同色球，如此操作n(n∈N∗)次，记取到白球的次数为随机变量X．

(1)若n=2，求随机变量X的分布列；

(2)求18.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点M满足OM=OA+OB，直线AM，BM分别与C交于另外的点P，Q.记△AMQ与△BMP面积分别为S1，S2，四边形ABPQ面积为S．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)证明：PQ垂直x轴；19.(本小题17分)

对于定义域为R的函数f(x)，定义g(x)=x−1≤s≤xmax[s≤t≤s+1minf(t)]，其中a≤x≤bminf(x)，a≤x≤bmaxf(x)分别表示函数f(x)在[a,b]上的最小值和最大值．

(1)若f(x)=1−x2写出g(1)，g(0)；

(2)设f(x)是以2为周期的连续函数，且f(x)在区间[0,1]上递减，在区间[1,2]上递增，记E={x∈R|g(x)=f(x)}．

(i)证明：存在唯一的λ∈(0,1)，使得f(λ)=f(λ+1)；

(ii)对实数θ∈(0,2)，若对任意x∈R，三个数x1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】BC

10.【答案】ABD

11.【答案】AD

12.【答案】8

13.【答案】0

14.【答案】215.【答案】解：(1)由题意得S△ABC=12⋅AC⋅BC⋅sin∠ACB，

即3=12⋅6⋅BC⋅sin30°，可得3=64⋅BC，解得BC=22，

在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2−2⋅AC16.【答案】(1)证明：在△BCD中，BD=2，BC=1，∠CBD=60°，

由余弦定理知，CD2=BD2+BC2−2BD⋅BCcos∠CBD=4+1−2×2×1×12=3，

所以BD2=CD2+BC2，即CD⊥BC，

由∠ABD=90°，知AB⊥BD，

又平面BCD⊥平面ABD，平面BCD∩平面ABD=BD，AB⊂平面ABD，

所以AB⊥平面BCD，

而CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，

又BC∩AB=B，BC、AB⊂平面ABC，

所以CD⊥平面ABC．

(2)解：以B为原点，BD，BA所在直线分别为y，z轴，在平面BCD内作Bx⊥BD，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，C(32,12,0)，D(0,2,0)，A(0,0,2)，

设AP=λAD=λ(0,2,−2)，λ∈R，

则BP=BA+AP=(0,0,2)+λ(0,2,−2)=(0,2λ,2−2λ)，

而CD=(−32,32,0)，

设直线17.【答案】解：(1)某箱子中有2个白球和1个红球，每次从箱子中取出1个小球，

观察颜色后放回，同时再放入1个同色球，

如此操作n(n∈N∗)次，记取到白球的次数为随机变量X，

当n=2时，X的所有取值为0，1，2，

P(X=0)=1×23×4=16，

P(X=1)=2×1+1×2X012p111(2)P(X=1)=2×1×2×…×(n−1)+1×2×2×…×(n−1)+…+1×2×…×(n−1)×23×4×⋯×(n+2)

=2×1×2×…×(n−1)3×4×⋯×(n+2)×n=4(n+2)(n+1)，

X=n−1表示取到1个红球，由上计算得18.【答案】解：(1)由题意抛物线的焦点为F(1,0)，即p2=1，解得p=2，

因此抛物线的标准方程为y2=4x；

证明：(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(xp,yp)，Q(xQ,yQ)，直线AB：x=ty+1，

由OM=OA+OB，得M(x1+x2,y1+y2)，

由A，M，P三点共线，故kAP=kAM，即yp−y1xp−x1=(y1+y2)−y1(x1+x2)−x1，

抛物线上两点连线的斜率满足kAP=4yp+y1，

又点B在抛物线上，y22=4x2，因此y2x2=4y2，

于是4yp+y1=y2x2=4y2，则yp=y2−y1，

所以xp=yp24=(y2−y1)24，即P((y2−y1)24,y219.【答案】解：(1)g(x)=max−1≤s≤xx{mis≤t≤s+1nf(t)}表示在所有包含x且长度为1的闭区间上，分别求函数f的最小值，再取这些最小值中的最大值．

故g(0)=max−1≤s≤0{mins≤t≤s+1f(t)}=34；g(1)=max0≤s≤1{mins≤t≤s+1f(t)}=0．

(2)(i)证明：令F(x)=f(x)−f(x+1)，0≤x≤1.因为f连续，所以F也连续．

由于f在[0,1]上严格递减⇒f(0)>f(1)，

f的周期为2⇒f(0)=f(2)⇒F(0)=f(0)−f(1)>0和F(1)=f(1)−f(2)<0，

由零点存在定理，∃λ∈(0,1)使得F(λ)=0，即f(λ)=f(λ+1)．

再证唯一性．x从0增加到1时，f(x)严格递减，f(x+1)严格递增，

故方程f(x)=f(x+1)在(0,1)上至多有1个解．故λ唯一．

(ii)先研究g(x)的结构，记c=f(λ)=f(λ+1)=f(λ−1)．

①先证λ−1≤x≤λ时g(x)=c．

对t∈[λ−1,0]，f(t)=f(t+2)≥f(λ+1)=c(t+2∈[λ+1,2]，f在[1,2]上严格递增)；

对t∈[0,λ]，f在区间[0,1]上严格递减⇒f(t)≥f(λ)=c.因此mis≤t≤s+1nf(t)=c，故对∀x∈[λ−1,λ]，g(x)≥c．

另一方面，任取一个包含x且长度为1的闭区间[s,s+1]，由于x∈[λ−1,λ]，故这样的区间必包含端点λ−1，λ中的一个．

故mis≤t≤s+1nf(t)≤c⇒g(x)≤c(λ−1≤x≤λ).因此g(x)=c(λ−1≤x≤λ)．

②再证λ≤x≤λ+1时g(x)=f(x)．

当λ≤x≤1时，考察长度为1的区间[x−1,x]，在[0,x]上由单调性f(t)≥f(x)，t∈[0,x]；

在[x−1,0]上，由周期性平移到[x+1,2]上，由单调性f(t)≥f(x+1)≥f(x)，t∈[x−1,0].(x≥λ，f(x)随x递减，f(x+1)随x递增，x=λ时相等)

故mix−1≤t≤xnf(t)=f(x)⇒g(x)≥f(x)，结合g(x)≤f(x)⇒g(x)=f(x)．

当1≤x≤λ+1时，令y=x−1∈[0,λ]，考察区间[x,x+1]．

在[x,2]上，f(t)≥f(x)(t∈[x,2])；在[2,x+1]，平移至[