2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷二（人教A版适用 ）

2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷二（人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆与双曲线考试注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点A2,2，B4,0，则直线AB的倾斜角为（A．π4 B．C．−π4 2．已知平面α内有一个点A2,−1,2，α的一个法向量为n=−3,1,2，则下列点在平面αA．1,−1,1 B．1,3,32 C．−1,3,−33．双曲线x29−y24=1的一条弦ABA．94 B．49 C．−44．已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：x−3r2+y−4r2=36rA．0,2 B．C．211,25．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，A．12 B．C．716 D．6．若直线l1:y=m(x+2)，l2:(n+1)x−y+n=0互相平行，其中m∈RA．2 B．5 C．3 D．107．如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2，AB=2A1BA．−45 B．−25 C．8．若方程16−x2−x−m=0有实数解，则实数mA．−42≤m≤42C．−4≤m≤4 D．4≤m≤4二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．平行六面体ABCD−A1B1C1DA．AA1⊥BDC．AC1=23 10．已知椭圆x29+y2A．椭圆的离心率为5B．△PF1C．|PFD．PF11．已知曲线C：x2m−3+A．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是3,5B．当m=4时，曲线C上的点到直线l：x+y+3=0的距离的最大值为5C．若曲线C是双曲线，且焦点到一条渐近线的距离为2，则实数m=11D．若m>7，曲线C的离心率的取值范围是1,三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a=2,−1,3，b=−1,4,−2，c=3,2,λ，若13．若关于x的方程x+1−x2−b=0有唯一解，则14．已知地球运行的轨道是长半轴长为a千米，离心率约为150的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大距离约为________千米（用a四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）求满足下列条件的直线l的方程.(1)经过两条直线2x−3y+10=0和3x+4y−2=0的交点，且垂直于直线3x−2y+4=0；(2)平行于直线x−y−2=0，且与它的距离为22的直线l16．（15分）在三棱台ABC−A1B1C1中，AB=BC=AC=2，(1)证明：AC⊥BC(2)若AA1=1，求直线AC17．（15分）已知圆M：x2+y2−4y+3=0，直线l的方程为x−2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆M(1)当MP与x轴平行时，求直线AB的方程；(2)求四边形APBM的面积S的最小值．18．（17分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，

(1)求证：BD⊥面CEF；(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；(3)求△CEF的面积；(4)求三棱锥A−CEF的体积．19．（17分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距为23，短轴两端点分别为B1，(1)求椭圆C的方程；(2)过坐标原点O向圆M：x−x02+y−y02=45作两条切线分别与椭圆C交于P（ⅰ）求k1（ⅱ）求1O2026-2027学年高二数学上学期期中考试模拟卷二（人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆与双曲线考试注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点A2,2，B4,0，则直线AB的倾斜角为（A．π4 B．C．−π4 【答案】D【分析】根据斜率公式kAB【详解】设直线AB的倾斜角为αα∈[0,则kAB=tanα=2−02．已知平面α内有一个点A2,−1,2，α的一个法向量为n=−3,1,2，则下列点在平面αA．1,−1,1 B．1,3,32 C．−1,3,−3【答案】D【分析】利用平面内向量与法向量垂直分析判断．【详解】设Px,y,z为平面α内的任意一点，则AP由AP⋅n=0，得−3对于A，代入得−3−1+2+3=1≠0，A错误；对于B，代入得−3+3+3+3=6≠0，B错误；对于C，代入得3+3−3+3=6≠0，C错误；对于D，代入得−3−3+3+3=0，D正确．3．双曲线x29−y24=1的一条弦ABA．94 B．49 C．−4【答案】B【详解】设弦端点Ax1,y1，B点A,B在双曲线上，满足方程x1两式作差并整理得：(x故k=y1−4．已知圆O1：x2+y2=1，圆O2：x−3r2+y−4r2=36rA．0,2 B．C．211,2【答案】C【分析】作出辅助线，得到以O1为圆心，2为半径的圆与圆O【详解】过M作圆O1的两条切线，设切点分别为A,B，则∠AMB=90°故四边形O1AMB为正方形，故以O1为圆心，2为半径的圆与圆O又O1O2解得211≤r≤2，所以r5．设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，A．12 B．C．716 D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出a2,c2，从而可得【详解】设F1(−c,0),F2(c,0)，令P所以(λ+1)n=2a，所以(λ+1)2在△F1PF1所以4c所以e2令t=λ+1，由13≤λ≤3，可得e2当t=4或t=43时，e2所以e的最大值为746．若直线l1:y=m(x+2)，l2:(n+1)x−y+n=0互相平行，其中m∈RA．2 B．5 C．3 D．10【答案】A【分析】根据给定条件，利用平行性质确定m,n的关系，再利用平行线间距离公式，结合基本不等式求出最大值.【详解】由直线l1:mx−y+2m=0与直线得m=n+12m≠n，则n=m−1,m≠−1因此直线l1与l2=m2+2m+1所以l1与l2之间距离的最大值为7．如图，正四棱台ABCD−A1B1C1D1的高为2，AB=2A1BA．−45 B．−25 C．【答案】D【分析】通过建立空间直角坐标系，求出直线D1O与【详解】设上底面中心为O1，连接O因为几何体为正四棱台，所以OO1⊥因为AB=22，所以底面正方形ABCD的对角线AC=BD=2×2因为A1B1=2，所以上底面正方形A以O为坐标原点，分别以OB→，OC→，OO1→的方向为x由题意可知OO1=2，则O(0,0,0)，C(0,2,0)，D(−2,0,0)，O1(0,0,2)所以OD1→设直线D1O与CC1所成的角为故直线D1O与CC8．若方程16−x2−x−m=0有实数解，则实数mA．−42≤m≤42C．−4≤m≤4 D．4≤m≤4【答案】B【分析】将问题转化为直线y=x+m与半圆x2+y【详解】由16−x2−x−m=0由y=16−x2则原方程有实根等价于直线y=x+m与半圆x2当直线y=x+m与x2+y2=16当直线y=x+m过点4,0时，m=−4；结合图象可知：当−4≤m≤42时，直线y=x+m与半圆x即当−4≤m≤42时，方程16−二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．平行六面体ABCD−A1B1C1DA．AA1⊥BDC．AC1=23 【答案】AB【分析】通过设基向量将空间向量的垂直、模长、夹角、线性分解问题转化为向量的数量积和线性运算问题，再逐一判断各选项即可.【详解】设AB→=a→，AD→=b→，选项A：BD⃑=AD⃑−选项B：AC1→=a→+b→+c选项C：由上述计算得|A选项D：由空间向量基本定理得AC1→=AB10．已知椭圆x29+y2A．椭圆的离心率为5B．△PF1C．|PFD．PF【答案】ABC【详解】选项A，椭圆半长轴长a=3，半短轴长b=2，半焦距c=9−4=5选项B，因P为椭圆上异于长轴端点的动点，则|PF则△PF1F选项C，由上得|PF1|+|PF2选项D，设P(x,y)，则y2=4(1−x29则PF1⃗⋅P11．已知曲线C：x2m−3+A．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是3,5B．当m=4时，曲线C上的点到直线l：x+y+3=0的距离的最大值为5C．若曲线C是双曲线，且焦点到一条渐近线的距离为2，则实数m=11D．若m>7，曲线C的离心率的取值范围是1,【答案】ABD【分析】对于选项A，由条件结合焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特征列不等式组，求解对应参数的取值范围，对于选项B，设椭圆上任意一点P的坐标为(cos【详解】对于选项A：若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则{m−3>07−m>07−m>m−3此时m的取值范围是3,5，A正确，对于选项B：当m=4时，曲线C的方程为x2设椭圆上任意一点P的坐标为(cos点P到直线x+y+3=0的距离d=∣cos当sin⁡(θ+π6)=1时，d取最大值52对于选项C：若曲线为双曲线，需满足(m−3)(7−m)<0，即m>7或m<3，当m>7时，双曲线方程为x2m−3−y2当m<3时，双曲线方程为y27−m−x2因此m=11或m=−1，C错误；对于选项D：当m>7时，曲线为焦点在x轴上的双曲线x2则a2=m−3，b2由m>7得m−3>4，故0<4m−3<1，因此e∈(1,三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知a=2,−1,3，b=−1,4,−2，c=3,2,λ，若【答案】4【分析】因为a,b,【详解】因为a,所以a,则存在x,y∈R，使得c=xa+y所以2x−y=3−x+4y=23x−2y=λ,解得故答案为：413．若关于x的方程x+1−x2−b=0有唯一解，则【答案】{b|−1≤b<1或b=2【分析】运用代数式的几何意义，将方程解的问题转化成半圆与直线两个函数交点的问题.【详解】由题意，1−x2≥0问题等价于1−x2=b−x令y=1−x2而y=b−x表示斜率为−1的直线，如下图示：只需y=1−x2与y=b−x①当直线与半圆右上部相切时，b>0，由1=b1+1解得当直线过(1,0),(0,1)时，直线方程为y=1−x，由图知当1≤b<2当直线过(−1,0)时，直线方程为y=−1−x，由图知−1≤b<1时恒有一个公共点.综上，b的范围为{b|−1≤b<1或b=214．已知地球运行的轨道是长半轴长为a千米，离心率约为150的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最大距离约为________千米（用a【答案】5150a【详解】椭圆长半轴为a，离心率e=150，则半焦距地球到太阳的最大距离为远日点距离，即a+c=51所以最大距离约为5150四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）求满足下列条件的直线l的方程.(1)经过两条直线2x−3y+10=0和3x+4y−2=0的交点，且垂直于直线3x−2y+4=0；(2)平行于直线x−y−2=0，且与它的距离为22的直线l【答案】(1)2x+3y−2=0(2)x−y+2=0或x−y−6=0.【分析】（1）联立直线方程解方程组可得直线交点，由垂直关系可得直线l的斜率，利用点斜式可求得直线l的方程；（2）由平行关系可设直线的方程为x−y+c=0，由点到直线的距离公式可得c+22【详解】（1）2x−3y+10=03x+4y−2=0⇒x=−23x−2y+4=0的斜率为k1=32，所以直线从而直线l的方程为y−2=−23x+2（2）设直线l的方程为x−y+c=0.两平行线间距离为c+22=22，所以c+2=4，解得所以直线l的方程为x−y+2=0或x−y−6=0.16．（15分）在三棱台ABC−A1B1C1中，AB=BC=AC=2，(1)证明：AC⊥BC(2)若AA1=1，求直线AC【答案】(1)证明：取BC的中点为M，因为AB=AC，所以AM⊥BC.以A为原点，CB，AM，AA1的方向分别为x轴、y轴、设AA1=m，则A0,0,0，B1,AC=−1,3因为AC⃗所以AC⊥BC(2)21【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用AC⋅（2）利用空间向量法即可求直线AC与平面BCC【详解】（1）略（2）当AA1=1BC=−2,0,0，CC设平面BCC1B则n⋅BC=0取y=2，则x=0,z=3，所以n设直线AC与平面BCC1则sinθ=所以直线AC与平面BCC1B17．（15分）已知圆M：x2+y2−4y+3=0，直线l的方程为x−2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆M(1)当MP与x轴平行时，求直线AB的方程；(2)求四边形APBM的面积S的最小值．【答案】(1)x=(2)55【分析】（1）由题意可求出点P的坐标，结合圆的切线性质，求出以MP为直径的圆G的方程，可判断AB为圆M与圆G的公共弦，联立两圆方程即可求得答案；（2）表示出四边形APBM的面积，再结合点到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆M：x2+y2−4y+3=0由MP与x轴平行，可得直线MP的方程为y−2=0．由x−2y=0y−因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，又MP=4，所以以MP为直径的圆G的圆心为(2,2)所以以MP为直径的圆G的方程为x−22故AB为圆M与圆G的公共弦，联立x2+(y−2即直线AB的方程为x=1（2）因为过点P作圆M的切线PA,PB，切点分别为A,B，所以所以四边形APBM的面积S=2×1当PM最小时，四边形APBM的面积S最小，而PM的最小值为点M到直线x−2y=0的距离，即|0−所以四边形APBM的面积S的最小值为16518．（17分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，

(1)求证：BD⊥面CEF；(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；(3)求△CEF的面积；(4)求三棱锥A−CEF的体积．【答案】(1)如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系则D0,0,0、A4,0,0、B4,2,0、C0,2,0、所以DB=4,2,0，CE=所以DB⋅CE=4−4+0=0所以DB⊥CE，DB⊥CF，即又CE∩CF=C，CE、CF⊂平面CEF，所以BD⊥平面CEF.(2)15(3)5(4)2【分析】（1）建立直角坐标系，证明BD⊥CE，BD⊥CF，即可证明BD⊥平面CEF；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）求出点F到CE的距离，再结合三角形