2026-2027学年高三数学上学期期中考试模拟卷三（全国Ⅰ卷地区适用 ）

2026-2027学年高三数学上学期期中考试模拟卷三（全国Ⅰ卷地区适用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A=1+a，B=−1,a2,2，若A⊆BA．1 B．2 C．3 D．42．设向量a→=x−1,4，b→=1,2，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．1−yx2x+y6的展开式中A．400 B．160 C．−80 D．−2404．在等比数列an中，2a7=a3aA．274 B．92 C．2785．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（

）A．23 B．34 C．266．已知函数fx的定义域为R，f12x+1是奇函数，y=fx的图象关于直线x=−1对称，f−3+f39=3，且当x∈−2,1时，fx=axA．−14 B．−34 C．7．两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（

）A．1280 B．C．135 D．8．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与A．5 B．52 C．10 D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设Z=1+2i，则（

A．Z=1−2i C．Z2=−3+4i 10．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，且c2−43A．B=B．bC．b的取值范围为2,D．b+c的取值范围为2+211．已知a,b,c∈R，满足ea=lnb=1c，则aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sinθ+π6=cos13．某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：lg2≈0.3010，lg14．已知函数fx=x2−2ax，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知O为坐标原点，P(x1,(1)求证：S△OPQ(2)若O为△ABC的重心，其中A(cosα,4sinα)，B(cosβ,4sin16．（15分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他某天选择了米饭套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为13；如果他某天选择了面食套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为23．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；(2)求该同学开学第n天中午选择米饭套餐的概率Pn，并证明：当n≥2时，P17．（15分）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=−4与C交于点A(1)求抛物线C的方程;(2)若p<4，且抛物线C上存在M,N两点关于直线l:x=my+3对称，求m的取值范围.18．（17分）如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别为边AD，BC的中点，M是线段EF上的点，且EM=3MF．把矩形EDCF沿EF折起，设∠AED=θ0<θ<π(1)在DF上找一点P，使得直线MP//平面ADE，并求出DP(2)若BD⊥MC，求cosθ(3)若四棱锥D−ABFE的外接球半径为5，求sinθ19．（17分）已知函数fx=ln(1)若0为fx的极值点，求a(2)若a=−1，求fx在2,3(3)当a≤2时，证明：fx2026-2027学年高三数学上学期期中考试模拟卷三（全国Ⅰ卷地区适用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A=1+a，B=−1,a2,2，若A⊆BA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】由于A⊆B，故1+a=−1或1+a=a2或1+a=2，且即a=−2或a=1±522．设向量a→=x−1,4，b→=1,2，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【详解】因为a//所以x=3是a//3．1−yx2x+y6的展开式中A．400 B．160 C．−80 D．−240【答案】C【分析】先把多项式拆成两项，分别求出两部分中x3【详解】将原式拆分为两个部分的和：(1−y由二项式定理得(2x+y)6的通项为：计算(2x+y)6中x3y3项的系数：令6−k=3计算−yx⋅(2x+y)6中x3y3项的系数：−yx会使令6−k=4，则k=2，该项系数为：−(C综上，展开式中x3y34．在等比数列an中，2a7=a3aA．274 B．92 C．278【答案】A【详解】设等比数列{an}由2a7=因为a1≠0，q≠0，化简得a1由3a5=a2a8则q3所以a115．已知轴截面为正三角形的圆锥的表面积与球的表面积相等，则圆锥的体积与球的体积的比为（

）A．23 B．34 C．26【答案】A【分析】根据条件，结合表面积公式，可得圆锥底面半径r与球的半径R的关系，代入体积公式，整理变形，即可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由题意，圆锥的母线长为2r，高为(2r)则圆锥的表面积S1=1所以3πr2则圆锥的体积V1=1所以圆锥的体积与球的体积的比V16．已知函数fx的定义域为R，f12x+1是奇函数，y=fx的图象关于直线x=−1对称，f−3+f39=3，且当x∈−2,1时，fx=axA．−14 B．−34 C．【答案】D【分析】由f12x+1是奇函数，得到y=fx的图像关于点1,0中心对称，再结合y=fx的图象关于直线x=−1对称，得到函数fx的周期为8，又有f−3+f39=3，进而得到【详解】由题意可知，f−12x+1=−f所以y=ft的图象关于点1,0中心对称，即y=fx的图象关于点所以f2−x因为y=fx的图象关于直线x=−1对称，所以f−1−x=f由f−1−x=f−1+x，得f所以f4+x=−fx，所以f所以f−3由题意，当x∈−2,1时，可设fx=a(x+1)2+3，将点则当x∈−2,1时，f所以f20267．两位小朋友在玩识数游戏时，将各自手中标有1，2，3，4的卡片（两人手中相同数字的卡片完全相同）排成一排，则这8个数字恰有3对相邻的概率为（

）A．1280 B．C．135 D．【答案】D【分析】先算出8张卡片排成一排的总方案数，再结合捆绑法、插空法算出恰有3对相邻的方案数，根据古典概型即可求解.【详解】由题意，两位小朋友共有8张卡片，由于相同数字的卡片不可区分，所以总的排列方案有8！从4个数字中选出3个数字，每个数字的两张卡片捆绑在一起，形成相邻对，有C4再将其进行排列，有A33个捆绑单元排好后产生4个空隙，将剩下的2张相同卡片插入不同的空隙中，有C4综上，这8个数字恰有3对相邻的方案共有C4所以这8个数字恰有3对相邻的概率为14425208．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与A．5 B．52 C．10 D．【答案】D【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得AF1,【详解】由双曲线的定义可知BF1−所以AF1在△BF1Fcos∠B=即3a2所以4c2=10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设Z=1+2i，则（

A．Z=1−2i C．Z2=−3+4i 【答案】ACD【详解】已知Z=1+2i，则ZZ+1=1+2i+1=2+2iZ+i=1+2i+iZ2Z+1Z−310．记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=4，且c2−43A．B=B．bC．b的取值范围为2,D．b+c的取值范围为2+2【答案】ABD【分析】本题可通过对已知等式变形结合余弦定理求出角B，再利用正弦定理、锐角三角形的内角约束推导各选项相关结论，逐一验证选项正误.【详解】将已知等式变形为16+c由余弦定理cosB=又因△ABC是锐角三角形，B=π由正弦定理asinA=依题意，可得0<A<π20<C=由正弦定理得b=a因A∈π3,π2由正弦定理得c=asin则b+c=2+2由A∈π3,π2，得A11．已知a,b,c∈R，满足ea=lnb=1c，则aA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】ABC【分析】引入中间变量k>0将原等式转化为a=lnk、b=ek和【详解】令ea=lnb=1则有a=ln设f(x)=ex−x−1当x>0时，f′(x)=e当x<0时，f′(x)=e所以f(x)min=f(0)=即ex−x−1≥0，即令x=k，则有ek≥k+1，进而有令x=lnk，因为k>0.所以x∈R，即elnk因此ek>k>ln取k=1，a=ln此时0<1<e，即a<c<b取k=12，b2=e，c2=4，c取k=2，a=ln由上知e12<2，所以ln2>ln三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知sinθ+π6=cos【答案】3【分析】利用已知条件得到tanθ=【详解】已知sinθ+π6=cos则3sinθ=cosθ，由于sin2θ+cos由二倍角的正切公式，可得tan2θ=13．某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：lg2≈0.3010，lg【答案】2036【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为20%【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，…，c由题意得c1=1200，并且设cn+1−x=1.2cn−x，则c∴cn+1−500=1.2cn−500，即数列{cn−500令cn=500+700×1.2n−1>8900即(n−1)>2lg2+lg32022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，故答案为：203614．已知函数fx=x2−2ax，【答案】−1【分析】分x<0和x≥0两种情况讨论f(x)的取值范围即可求解.【详解】当x≥0时，f(x)=2−x−1=由于fx≥a恒成立，则当x<0时，f(x)=x2−2ax由于a≤−1,所以当x<0时，f(x)则−a2≥a由于a≤−1,则a=−1,当a=−1时，x<0时，f(x)=xx≥0时，f(x)∈(−1,0],满足fx综上，a=−1故答案为：−1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知O为坐标原点，P(x1,(1)求证：S△OPQ(2)若O为△ABC的重心，其中A(cosα,4sinα)，B(cosβ,4sin【答案】(1)因为P(x1,y1)，设OP，OQ的夹角为θ，则cosθ=可得sinθ=所以S△OPQ(2)S【分析】（1）已知三点坐标，则可以求出三边长度及对应向量，由向量数量积公式可以求出夹角余弦值，从而算出正弦值，利用面积公式计算即可证明；（2）结合（1），取BC的中点M，结合三角形重心特点计算即可求解.【详解】（1）略（2）取BC的中点M，因为O为△ABC的重心，所以OA=−2OM=−(因为A(cosα,4sinα)，所以cosα+cosβ+所以2+2cos(α−β)=1，解得所以|sin(α−β)|=3同理S△OBC=S16．（15分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他某天选择了米饭套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为13；如果他某天选择了面食套餐，那么他后一天选择米饭套餐的概率为23．已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；(2)求该同学开学第n天中午选择米饭套餐的概率Pn，并证明：当n≥2时，P【答案】(1)49(2)设An=“第n天选择米饭套餐”则Pn=PAn， P由全概率公式，得PA即Pn+1=−1∵P1−12=16，当n为大于1的奇数时，Pn当n为正偶数时，Pn综上可得：当n≥2时，Pn【分析】（1）设Ai=“第i天选择米饭套餐”i=1,2，则Ai（2）设An=“第n天选择米饭套餐”n=1,2,⋯，由题可得Pn−1【详解】（1）设Ai=“第i天选择米饭套餐”i=1,2，则Ai根据题意PA1=23， 由全概率公式，得PA（2）略.17．（15分）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=−4与C交于点A(1)求抛物线C的方程;(2)若p<4，且抛物线C上存在M,N两点关于直线l:x=my+3对称，求m的取值范围.【答案】(1)y2=4x(2)−【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程中，再结合焦半径公式可求；（2）设M,N的坐标，利用对称性得出a+b=−4m，【详解】（1）由题意可设点Ax0,−4，则4因为AF=x0+p2=5，所以x故抛物线C的方程为y2=4x或（2）若p<4，则抛物线C的方程为y2=4x，设Ma若m=0，则l:x=3，此时不合题意；若m≠0，由于M，N两点关于直线l对称，故kMN=b−a则线段MN中点的纵坐标为−2m，将其代入x=my+3中，可得又a24+则ab=a+b则a,b为方程x2故Δ=16m2−4即m的取值范围为−∞18．（17分）如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别为边AD，BC的中点，M是线段EF上的点，且EM=3MF．把矩形EDCF沿EF折起，设∠AED=θ0<θ<π(1)在DF上找一点P，使得直线MP//平面ADE，并求出DP(2)若BD⊥MC，求cosθ(3)若四棱锥D−ABFE的外接球半径为5，求sinθ【答案】(1)DP(2)cos(3)sin【分析】（1）根据线面平行的判定定理及平行线的性质求解即可.（2）建立空间直角坐标系，根据垂直关系的向量表示及数量积的坐标表示求解即可.（3）判断球心位置并设出坐标，根据两点间的距离公式求解即可.【详解】（1）过点M在平面CDEF中作MP//ED，交DF于点P.因为DE⊂平面ADE，MP⊄平面ADE，所以MP//平面ADE又EM=3MF，所以DPPF（2）以点E为原点，以EA,EF为x,y轴，以过点E且垂直于平面ABFE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则E0,0,0，B4,8,0，M0,6,0，D所以BD=4cos因为BD⊥MC，所以BD⋅MC=0整理得16cosθ=0，即（3）连接AF,BE，交于点O′，设四棱锥D−ABFE的外接球球心为O，连接O则OO′⊥平面连接OE,OD，则OE=OD=5.底面