01---全等三角形的复习1教师版

1、12教育初一竞赛进阶进度一春季班全等三角形复习（1） 四平路校区：65107076；浦东校区：68869972第01讲 全等三角形复习（1）【知识点】1. 基本知识：经过平移、翻折或旋转三种变换能够重合的图形称为全等形. 全等三角形是全等形的最简单的情形. 全等三角形习题的难点，在于寻找具有能判定全等关系的三角形. 2. 全等三角形的判定和性质（1） 全等三角形的判定在一个三角形中有6个元素，当两个三角形的3组元素对应相等时，某些组合一定可以判定两个三角形全等，某些组合只能判定两个三角形相似，而某些组合在一些附加条件下才可以判定全等. 1) AAA：两个三角形相似，但不一定全等；2) AAS：

2、可以；3) ASA：可以；4) SAS：可以； 5) SSS：可以；6) SSA：不一定. 反例可通过等腰三角形来构造；7) SSA加强版：当对应相等的角是直角或钝角时，可以判定全等，例如直角三角形中的HL.全等判定中，特别强调“对应”，若两个三角形虽有3组元素相等，但这些元素并不对应，是不能得到全等的结论的. 下面给出证明中的常见思路图： （2） 全等三角形的性质1) 3组对应边相等；2) 3组对应角相等；作高：从角分线上的一点向角的两边作垂线段；3) 更任意地，全等三角形的任何对应元素都相等，例如：对应的高、中线、角分线等. 3. 等腰三角形的判定和性质（1） 等腰三角形的判定1) 有两条

3、边相等的两个三角形；2) 等角对等边；3) 两线合一：三角形一个内角的角分线、对边中线、对边上的高的其中两条重合时，这个三角形一定是以该角为顶角的三角形. （2） 等腰三角形的性质1) 等边对等角；2) 三线合一. 4. 等边三角形的判定和性质（1） 等边三角形的判定1) 三边相等的三角形；2) 三个内角都相等的三角形；3) 有一个内角是60的等腰三角形. （旋转中的应用）（2） 等边三角形的性质1) 三边都相等；2) 三个内角都相等. 5. 基本的全等模型及其辅助线：初学全等时，要能够准确读图，迅速找到基本的全等模型，为解题打开突破口. 常见的全等模型有：等腰梯形、三角形沿一边的翻折、一线三

4、等角（三垂直）、三角形的双高、三角形绕某一顶点的旋转、三角形外接等边三角形等.6. 二次全等题目中首先要先通过一组全等得到新的对应关系，再导出第二次全等. 第一次全等证明结束后，必须顺势推导出足够多的对应的等量关系. 7. 常用辅助线（1） 条件中出现中点 倍长中线：构造两组全等三角形和一个平行四边形，转移边和角； 中点在直角三角形斜边上：联结中点和直角顶点，利用斜边中线性质； 构造中位线：再找到或作出新的中点，形成中位线再解题. （2） 条件给出角分线 翻折：沿着角分线翻折角的某一边，这种技巧经常出现在截长补短中； 作高：从角分线上的一点向角的两边作垂线段； 作平行线：从角分线上的一点作角一

5、边的平行线，可以立得等腰三角形. （3） 条件给出高 题目中一定有很好的角度关系； 多条高提示要通过面积法转化. （4） 构造等腰或等边三角形； 中线、角分线和高有两线合一：提示要补出等腰三角形，并通过全等证明之.； 在已有的等腰或等边三角形之外，补出新的等腰或等边三角形. 特别是题目中含有60或120时，常常可以将图形补成等边三角形.【例题讲解】1. 判断以下各组的两个三角形是否全等，能判定全等的说明理由，不能判定全等的给出反例. a) 有两组角相等和一组边相等的两个三角形； （不一定，缺乏对应）b) 两边及一边所对的角对应相等的两个三角形；（不一定，SSA的反例）c) 两边及第三边上的中线

6、对应相等的两个三角形；（可以，倍长中线可证）d) 两边及第三边上的高对应相等的两个三角形；（不可以，内外高）e) 两个直角三角形，斜边和一直角边对应相等；（可以，即HL）2. 已知：AB = AC，DB = DC，F是AD延长线上一点. 请你说明BF = FC的理由.3. 如图，已知A=C90，AB=BC. 试证明：AD=CD.【解答】课内解法：联结AC. 课外解法：SSA（当A为钝角时可得全等）. 【毕】4. 已知BD = CE，ADC =AEB. 证明：AD = AE.【解答】先证CEFBDF. 再证CADBAE. 【毕】5. 如图，AF = CD，BC = FE，AB = ED，A =D

7、. 求证：BCFE.6. 如图，凸四边形ABCD中，A=C，B=D. 试证明：（1） ABCD且ADBC；（2） AB=CD且AD=BC. 7. 试着说明：三角形中有两线合一，即可判定等腰三角形. 已知ABC中，D是BC上一点. 请说明：在以下三种条件中，无论挑选哪两个作为条件，都可证明ABC是等腰三角形. AD是角平分线； AD是中线； AD是高. 【解答】：倍长中线、过D作到角两边的距离两次全等或面积可证. 【毕】8. ABC中，AB=3，AC=4，D是BC中点，则AD的取值范围是 . 【解答】. 【毕】9. 阅读材料，按要求填空. 题目：RtABC中，ACB=90，O是斜边AB的中点，连

8、接CO. 证明：CO = AO = BO. 证明：延长CO至点D，使OD = OC.在AOC和BOD中， （S.A.S） CAO =DBO ， AC = BD （全等三角形对应角、对应边相等）DBC = ABC + DBO = ABC + CAO = 90 在ABC和DCB中， ABC DCB （S.A.S）AB = CD （全等三角形的对应边相等） 10. ABC中，已知AB=AC，D是AC边上一点，E是AB延长线上一点，连接DE交BC于点F. 若CD = BE，证明：F是线段DE的中点.【解答】过点E作AC的平行线交CB延长线于点G. 或过点D作AE的平行线交CB于点G. 注意让学生总结：

9、有中点条件或要证中点条件，就想办法构造平行四边形. 【毕】11. RtABC中，BAC = 90，AB=AC，D是BC中点. E、F分别是AB、AC边上的动点，且满足EDF = 90. （1） 试证明： EDA FDC；（2） 试判断线段BE、EF、FC组成的三角形的形状（按角分）. 【解答】（2）直角三角形. 【毕】12. ABC中，AB=AC，D、E、F分别在BC、AB、AC上，且有EDF=B，BE=CD. G是EF的中点. 试证明：EFGD.13. 如图，锐角ABC中，B=2C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD. 【解答】 本题要向同学解释B=2C条件的处理方法：构造等腰三角形

10、！ 第一种方法：延长CB至E，使AB=BE；第二种方法：过AC作中垂线交CB于点F，可得AF=FC. 【毕】14. ABC中，AB=AC，BDBC，且BD=BC. DBC的平分线交AC于点E，连接DE. 试说明DEAB的理由. 【解答】先证BDEBCE. 再证D+DBA=90. 【毕】15. 两个不全等的直角三角形OAB和OCD的直角顶点都是点O，且OA=OB，OC=OD. 如图所示，连接AD，BC. 证明：AD = BC 且 ADBC；16. RtABC中，BAC=90. ACB的角平分线交AB于点D. 过点A作BC的垂线交BC于点G，AG交CD于点F，过点F作EFAB交BC于点E. 试回答

11、下列问题：1) 证明AFD为等腰三角形；2) 联结DE，试证明DEBC.17. 四边形ABCD中，ADBC，B=60，DEC是等边三角形. 试证明：AB=BC. 【解答】在BC上取BP=BE. 或延长BA至Q，使得AQ=AD. 再证全等即可. 【毕】18. 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?【解答】在AD上取AE=AM，证EDMBMN. 【毕】19. 在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC. 如图试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由【解答】相等. 过E作EFBC交AC于F，得等边AEF

12、，AE=EF. 再证EFCDBE. 20. 如左图，已知点P是线段AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1） 证明：BC = AD（2） 连结AD、BC，相交于点Q，设 ，那么的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3） 如右图，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）（4） 连接PQ，试证明PQ平分AQB. 【课后作业】1. 如图所示，将绕着点C逆时针转过一定角度得到. A 恰好落在AB边上. 1) 证明：1=2=BAB；2) 若A = 80，B = 40，则的的三个内角的度数是多少？【解答】（2）120、20、40. 【毕】2. 如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC. 【解答】证明：解法一：延长