数学竞赛平面几何定理

1、1 E D CB A 平面几何平面几何 一、知识点金一、知识点金 1. 梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理：若直线l不经过ABC的顶点， 并且与ABC的三边,BC CA AB或它们的延长线 分别交于,P Q R，则1 BP CQ AR PC QA RB 注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立 （用同一法证明）（用同一法证明） 2.塞瓦定理：塞瓦定理： 设,P Q R分别是ABC的三边,BC CA AB或它们的延长线上的点， 若,AP BQ CR三线共点，则1 BP CQ AR PC QA RB 注：塞瓦定理塞瓦定理的逆定理也成立 3. 托勒密托勒密定理定理： 在四边形ABCD中， 有AB CDBC ADAC

2、BD， 并且当且仅当四边形ABCD 内接于圆时，等式成立。 () ABCDEBAECADABEACD ABBE ABEACDAB CDAC BE ACCD ABAE BACEADABCAED ACAD BCED AD BCAC ED ACAD AB CDAD BCACBEED AB CDAD BCAC BD EBDABCD 证：在四边形内取点 ，使， 则：和相似 又且和相似 且等号当且仅当 在上时成立，即当且仅当 、 、 、 四点共圆时成立； 注：托勒密托勒密定理定理的逆定理的逆定理也成立 2 4.西姆松定理：西姆松定理：若从ABC外接圆上一点P作,BC AB CA的垂线， 垂足分别为,D E

3、 F，则,D E F三点共线。 西姆松定理西姆松定理的逆定理的逆定理：从一点P作,BC AB CA的垂线，垂足分别为,D E F。若,D E F三点共 线，则点P在ABC的外接圆上。 5 蝴蝶定理：蝴蝶定理：圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X，Y，则 M 为 XY 之中 点。 证明：证明：过圆心 O 作 AD 与 BC 的垂线，垂足为 S、T， 连接 OX，OY，OM，SM，MT。 AMDCMBAM/CM=AD/BC AS=1/2AD，BT=1/2BCAM/CM=AS/CT 又A=CAMSCMT MSX=MTY OMX=O

4、SX=90OMX+OSX=180 O，S，X，M 四点共圆 同理，O，T，Y，M 四点共圆 MTY=MOY，MSX=MOX MOX=MOY ，OMPQXM=YM 注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理蝴蝶定理也成立 6 坎迪定理：坎迪定理：设AB是已知圆的弦，M是AB上一点，弦,CD EF 过点M，连结,CF ED，分别交AB于,L N，则 1111 LMMNAMMB 。 7 斯特瓦尔特定理：斯特瓦尔特定理：设P为ABC的BC边上任一点，则有 2222 PCBPBP PC APABACBC BCBCBC BC 。 注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立 8 张角定理

5、张角定理：设, ,A C B顺次分别是平面内一点P所引三条射线,AB AP AC上的点， 线段,AC CB 对点P的张角分别为, ，且180 ，则, ,A C B三点共线的充要条件是： sin()sinsin PCPBPA 3 9九点圆定理九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。ABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所 连线段的中点，九点圆的半径是ABC的外接圆半径的 1 2 。 证明证明：ABC的九点圆与ABC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为 内位似中心。位似比均为1:2。 10

6、欧拉线欧拉线：ABC的垂心H， 重心G， 外心O三点共线。 此线称为欧拉线， 且有关系：2HGGO 11欧拉公式：欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为R和r，则这两圆的圆心距 (2 )OIR Rr。由此可知，2Rr。 证明证明：设外心为O，内心为I，连结OI，延长交外接圆于,N P两点，令dOI，AI交外接 圆于L，则()()2 sin2 2 sin 2 Ar RdRdNI IPLI IALB IARRr A 12笛沙格定理笛沙格定理;在ABC和A B C 中，若,AA BB CC相交于一点O，则AB与A B ，BC与 B C ，AC与A C 的交点,F D E共线。 证明证明：OB

7、C和梅尼线B C D ，1 OBBD CC B B DC C O ；OAB和梅尼线A B F ，1 OAAFBB A A FBB O ； OAC和梅尼线A C E ，1 OCCEAA C CEA A O ，三式相乘，得1 BD CEAF DCEA FB 。得证 13牛顿（牛顿（Newton）定理）定理1： 圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。 证证法法1：设四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 与内切圆分别切于点 E,F,G,H. 首先证明,直线 AC,EG,FH 交于一点.设 EG,FH 分别交 AC 于点 I,I. 显然 AHI=BFI ，因此易知

8、AI*HI/FI*CI=S(AIH)/S(CIF)=AH*HI/CF*FI 故 AI/CI=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG 又 AE=AH,CF=CG.故 AI/CI=AH/CF=AI/CI. 从而 I,I重合.即直线 AC,EG,FH 交于一点. 同理可证:直线 BD,EG,FH 交于一点. 因此 直线 AC,BD,EG,FH 交于一点。 证证法法 2：外四边形为 ABCD，对应内切四边形为 EFGH。连接 EG，FH 交于 P。 下面证明 BD 过 P 即可。 过 D 座 EG 的平行线交 BA 与 S，过 D 做 FH 的平行线交 BC 于 T。由于弦切角及同位角，角 BE

9、G=角 CGE=角 CDS=角 BSD。所以 SEGD 四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆 M，圆 M 与 圆 O，内切圆交于 EG，所以其根轴为 EG，同理对圆 N，DHFT，与圆 O 交于 HF。HF 为此两圆 的根轴。由根轴定理，只需证明 BD 为圆 M 与圆 N 的根轴即可证明 BD，EG，HF 共于点 P。 D 在圆 M 和圆 N 上， 所以其为根轴一点。 由于 SEGD， 和 DHFT 为等腰梯形， 所以 ES=DG， DH=FT。由切线长定理，DH=DG，BE=BF；所以 BE=BF，ES=FT，BS=BT。若 B 为圆 M 与圆 N 的根轴上一点，则 BE*BS=BF*BT，其

10、为割线长。 明显等式成立。 所以 BD 为圆 M 与圆 N 的根轴， 则 BD，EG，HF 共于点 P。同理 AC，EG，HF 共于点 P。命题得证。 4 14牛顿牛顿（Newton）定理定理 2：圆外切四边形的两条圆外切四边形的两条对角线对角线的的中点中点， 及该圆的及该圆的圆心圆心，三点共线。，三点共线。 证明：证明：设四边形 ABCD 是I 的外切四边形，E 和 F 分别 是它的对角线 AC 和 BD 的中点，连接 EI 只需证它过点 F，即 只需证BEI 与DEI 面积相等。 显然，SBEI=SBIC+SCEI-SBCE，而 SDEI=SADE+SAIE-SAID。 注意两个式子，由

11、ABCD 外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S 四边形 ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S 四边形 ABCD 即 SBIC+SAID=SADE+SBCE，移项得 SBIC-SBCE=SADE-SAID，由 E 是 AC 中 点 ， SCEI=SAEI ， 故 SBIC+SCEI-SBCE=SADE+SAIE-SAID ， 即 SBEI=DEI，而 F 是 BD 中点，由共边比例定理 EI 过点 F 即 EF 过点 I，故结论成立。 15牛顿（牛顿（Newton）定理）定理3：完全完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点

12、和两条对 角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线牛顿线。 证明：证明：四边形 ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD 中点 M,AC 中点 L,EF 中点 N取 BE 中点 P,BC 中点 R,PNCE=Q R,L,Q 共线，QL/LR=EA/AB；M,R,P 共线，RM/MP=CD/DE； N,P,Q 共线，PN/NQ=BF/FC。 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 PQR及梅尼线 LMN， 由梅涅劳斯定理的逆定理知 L，M，N 三点共线。 5 16布利安双布利安双定理定理：设一六角

13、形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。在此， 提供用初等几何证明外切于圆的情形。 记六边形为 ABCDEF 外切于圆 O， AB， BC， CD,DE,EF,FA 上的切点分别是 G,H,I,J,K,L.设 AB,DC 交于 X,AF,DE 交于 Y.则四边形 AXDY 外切于圆 O,切点分别是 G,I,J,L。圆外切四边形对边切点连圆外切四边形对边切点连 线与主对角线交于一点线与主对角线交于一点，有 AD,GJ,LI 共点(记为点 P)。同理，BE,GJ,KH 共点(记为点 r),CF,LI,KH 共点（记为点 q 则命题可转为证明 DP,BR,FQ 共点。 17拿破仑定理拿破

14、仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。 证明：证明：设等边ABD 的外接圆和等边ACF 的外接圆相交于 O；连 AO、CO、BO。 ADB=AFC=60；A、D、B、O 四点共圆；A、F、C、O 四点共圆； AOB=AOC=120； BOC=120； BCE 是等边三角形 BEC=60； B、E、C、O 四点共圆； 这 3 个等边三角形的外接圆共点。 设等边ABD 的外接圆N， 等边ACF 的外接圆M， 等边BCE 的外接圆P 相交于 O； 连 AO、CO、BO。 A、D、B、O 四点共圆； A、F、C、O 四点共圆，B、E、C、O 四点 共圆，AFC=AD

15、B=BEC=60； AOB=AOC=BOC=120； NP、 MP、 MN是连心线；BO、 CO、 AO是公共弦； BONP于X；COMP 于 Y；AONM 于 Z。 X、P、Y、O 四点共圆；Y、M、Z、O 四点共圆；Z、N、X、O 四点共圆； N=M=P=60；即MNP 是等边三角形。 18帕斯卡帕斯卡（Pascal）定理定理：如图，圆内接六边形 ABCDEF 的边 AB、DE 的延长线交于点 G，边 BC、EF 的延长线交于点 H，边 CD、FA 的延长线交于点 K。则 H、G、K 三点共线。 证明：证明：延长 AB、CD、EF，分别交直线 CD、EF、AB 于 M、N、L 三点，构成L

16、MN。 直线 BC 截 LM、MN、NL 于 B、C、H 三点，则 直线 DE 截 LM、MN、NL 于 G、D、E 三点，则|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1 直线 AF 截 LM、MN、NL 于 A、K、F 三点，则 连 BE，则 LALB=LFLE，。同理，。 将相乘，得。 点 H、G、K 在LMN 的边 LN、LM、MN 的延长线上，H、G、K 三点共线。 6 19蒙日定理蒙日定理（根心定理根心定理） ：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交 于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。 注：注：在平面上任给两不同心的圆，

17、则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称 为这两个圆的根轴。 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等 幂轴。 （1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； （2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； （3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 20莫利定理（莫利定理（Morleys theorem） ，也称为莫雷角三分线定理莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等 分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。 这个三角形常被称作莫利正三角形。 证法一证法一： 在ABR 中，由正弦定理，得 AR=csin/sin(+)

18、。不失一般性，ABC 外 接 圆 直 径 为 1 ， 则 由 正 弦 定 理 ， 知 c=sin3 ， 所 以 AR=（ sin3*sin ） /sin(60-)=sin*sin(3-4sin2)/1/2(3cos-sin)=2sinsin （ 3cos+sin ） =4sinsinsin（60+）.同理,AQ=4sinsinsin(60+)在ARQ 中,由余弦定理, 得 RQ2 =16sin2 sin2 sin2 (60+)+sin2 (60+)-2sin(60+)*sin （60+） cos=16sin2 sin2 sin2 .这是一个关于，的对称式，同理可得 PQ2 ，PR2 有相同的对

19、 称性，故 PQ=RQ=PR,所以PQR 是正三角形。 证法二证法二： AE：AC=sin：sin（+） ，AF：AB=sin：sin（+） ， AB：AC=sin3：sin3，AE:AF=（ACsin（+）/sin） ： （ABsin（+）/sin） ， 而 sin3：sin3=（sinsin(60+)sin(60-) ） ： （sin sin(60+) sin(60-) ） ， AE：AF=sin(60+)：sin(60+)，在AEF 中，AEF=60+， 同理CED=60+，DEF=60，DEF 为正三角形。 7 21斯坦纳斯坦纳莱默斯定理：莱默斯定理： 如图，已知ABC 中，两内角的平

20、分线 BD=CE。求证：AB=AC。 证法证法作BDF=BCE；并使 DF=BC BD=EC， BDFECB,BF=BE,BEC=DBF. 设ABD=DBC=,ACE=ECB=， FBC=BEC+=180-2-+=180-(+); CDF=FDB+CDB=+180-2-=180-(+); FBC=CDF，2+2 可推出 ABAC 矛盾！ 若 可推出 AB AC 矛盾！所以 AB=AC 22费尔马点：费尔马点：费尔马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个顶角不 超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角 形，费尔马点就是最大的内

21、角的顶点。 证明证明： 在平面三角形中: (1).三内角皆小于 120的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角 形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点 P,则点 P 就是所求 的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于 120 度,则此钝角的顶点就是所求. (3)当ABC 为 等边三角形时,此时外心与费马点重合（1） 等边三角形中 BP=PC=PA，BP、PC、PA 分别为三 角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。BPCCPAPBA。 （2） 当 BC=BA 但 CAAB 时，BP 为三角形 CA 上的高

22、和中线、三角上的角分线。 证明(1)费马点对边的张角为 120 度。 CC1B 和AA1B 中,BC=BA1,BA=BC1,CBC1=B+60 度=ABA1, CC1B 和AA1B 是全 等三角形,得到PCB=PA1B同理可得CBP=CA1P由PA1B+CA1P=60 度，得 PCB+CBP=60 度 , 所 以 CPB=120 度同 理 ,APB=120 度 ， APC=120 度 (2)PA+PB+PC=AA1 将BPC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与BDA1 重合，连结 PD，则PDB 为等边三角形，所以BPD=60 度又BPA=120 度，因此 A、P、D 三点在同一直线上，又

23、CPB=A1DB=120 度，PDB=60 度，PDA1=180 度，所以 A、P、D、A1 四点在同一直线 上，故 PA+PB+PC=AA1。(3)PA+PB+PC 最短在ABC 内任意取一点 M（不与点 P 重合） ， 连结 AM、BM、CM，将BMC 以点 B 为旋转中心旋转 60 度与BGA1 重合，连结 AM、GM、 8 A1G(同上)，则 AA1A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点 A、B、C 的距离最短。 平面四边形费马点平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。 （1） 在凸四边形 ABCD 中，费马点为两对角线 AC、BD 交点 P。（

24、2）在凹四边形 ABCD 中，费马 点为凹顶点 D（P） 。 23等差幂线等差幂线定理定理：已知 A、B 亮点，则满足 AP-BP=k(k 为常数)的点 P 轨迹是垂直于 AB 的一 条直线。 24婆罗摩笈多定理婆罗摩笈多定理 若圆内接四边形 ABCD 的对角线相互垂直，则垂直于一边 CD 且过对角线交点 E 的直 线 EF 将 AB 平分对边。 25莱莫恩莱莫恩（Lemoine）定理定理：过ABC 的三个顶点 A、B、C 作它的外接圆的切线，分别和 BC、 CA、AB 所在直线交于 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线。直线 PQR 称为ABC 的莱莫恩线。 证明：证明：由弦切角定理可以得到

25、： sinACR=sinABC ，sinBCR=sinBAC sinBAP=sinBCA，sinCAP=sinABC sinCBQ=sinBACsinABQ=sinBCA 所以， 我们可以得到： (sinACR/sinBCR)*(sinBAP/sinCAP)*(sinCBQ/sinABQ)=1， 这是角元形式的梅涅劳斯定理，所以，由此，得到ABC 被直线 PQR 所截，即 P、Q、R 共线。 9 26清宫定理清宫定理：设 P、Q 为ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点，P 关于三边 BC、CA、 AB 的对称点分别是 U、V、W，且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线 于 D、E、F，则 D、E、F 在同一直线上 证明证明：设 P、Q 为ABC 的外接圆上异于 A、B、C 的两点，P 关于三边 BC、CA、AB 的对称点分别是 U、V、W，且 QU、QV、QW 分别交三边 BC、CA、AB 或其延长线于 D、 E、F这时，P、Q 两点和 D、F、E