1.3.条件概率与独立性ppt课件

1、00:22:50,袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？,?,1. 条件概率与事件独立性,00:22:50,若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？,已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在A条件下B发生的条件概率，记作P(B|A),若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？,00:22:50,一、条件概率 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）

2、求第一次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率,设A第一次取到红球,B第二次取到红球,00:22:50,显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则,称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,一般地，设A、B是中的两个事件，则,00:22:50,条件概率的性质,(1) 非负性: P(B|A) 0； (2) 规范性: P(|A)1； (3) 可列可加性：设B1，B2，, 是一列两两互不相容的事件，即BiBj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( B1 B2 )|A P(B1 |A ) P(B2 |A)+.,00:22:

3、50,例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,设A-从盒中随机取到一只红球. B-从盒中随机取到一只新球.,A,B,00:22:50,二、乘法公式,设A、B ，P（A）0,则 P(AB)P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。,乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,00:22:50,例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后

4、放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,00:22:50,P21.例1.22,00:22:50,定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个完备事件组（分割），若满足：,A1,A2,An,B,三、全概率公式与贝叶斯公式,00:22:50,定理 设A1，, An是的一个分割，且P(Ai)0，(i1，n)， 则对任何事件B有,称为全概率公式。,00:22:50,例4 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又

5、这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。,解：,00:22:50,若该厂规定，出了次品要追究有关流水线 的经济责任。现在出厂产品中任取一件， 结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？,例5 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。,00:22:50,定理 设A1，, An是的一个分割，且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件B，有,称为贝叶

6、斯公式。,00:22:50,例5 四条流水线各应承担多大责任问题求解,00:22:50,例6 某研究机构研发了一种诊断早期肝癌的方法，数据显示，患者用此法被查出的概率为0.95，非患者用此法被误诊的概率为0.1.假如人群中肝癌的患病率为0.0005，现在若有一人被此法诊断为患有早期肝癌，求此人确实患有早期肝癌的概率?,00:22:50,作业：p66-67 17、18、19、21,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,公式复习,乘法定理,说明1. 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,说明2. 贝叶斯公

7、式计算的是后验概率，利用观测或实验的结果来修正之前的认识。,例 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.,00:22:50,例 数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和

8、“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?,解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号,0 1 不清,00:22:50,袋中有a只白球，b只黑球，有放回的每次从袋中取一球，问 第一次取得白球的条件下第二次取得白球的概率是多少？ 第二次取得白球的概率是多少？,?,四 、事件的独立性,00:22:50,（一）两事件独立,定义 设A、B是两事件，若 P(AB)P(A)P(B) 则称事件A与B相互独立。,事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关.,说明:,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立，但两

9、事件不互斥.,两事件相互独立与两事件互斥的关系.,请同学们思考,则,由此可见两事件互斥但不独立.,则,00:22:50,（二）多个事件的独立,定义 若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立；,若在此基础上还满足： (4)P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,00:22:50,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P

10、(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1，A2，An相互独立。,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,00:22:50,定理 设A、B是两事件相互独立，P(A) 0,则 P(B)P(B|A),00:22:50,定理、以下四件事等价： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,00:22:50,1.若n个事件A1，A2，An相互独立，则其中任意k个事件也相互独立。,两个结论：,2.若n个事件A1，A2，An相互独立，则其中任意k个事件也相互独立，则将A1，A2，An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个

11、事件仍然独立。,00:22:50,（三）事件独立性的应用,例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,00:22:50,00:22:50,伯恩斯坦反例,例 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立?,00:22:50,例 在可靠性理论上的应用:

12、 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,00:22:50,设A=R-L至R为通路,Ai=第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,00:22:50,五、 贝努利概型,定义：有一随机试验，观察事件A发生与否，,将此试验独立地重复进行n次，则称此模型为n重贝努利概型。,求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。,00:22:50,00:22:50,00:22:50,00:22:50,定理：事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，在n次Bernoulli试验中事件A恰好发生k次 的概率记作：B(k;n,p)。则,00:22:50,例9 某物业公司负责小区内的40家住户的各种维修业务，已知一周内向物业公司保修的概率为0.1，求一周内至