数学人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径.1.2 垂直于弦的直径(第2课时).ppt

1、问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,创设情境：,由此你能得到圆的什么特性？,可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?,探究：,探究：,如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?,O,A,B,C,D,E,线段: AE=BE,图 1,图 2,图 3,AE = BE，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,动脑

2、筋,AE = BE，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,证明：,连结OA、OB，则OA=OB。,垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是O的对称轴。,当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。,因此：,AE = BE，,AE = BE，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,二、垂径定理,AE = BE，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：

3、,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,二、垂径定理,条件：,1、CD为直径 2、CDAB,3、CD平分弦AB 4、CD平分弧ACB 5、CD平分弧ADB,结论：,AE = BE，,求证：,在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。,已知：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,垂径定理：,二、垂径定理,条件：,结论：,一条直线满足：,1、过圆心 2、垂直弦,3、平分弦 4、平分弦所对的劣弧 5、平分弦所对的优弧,垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB,如图 CD是直径, AE=BE,O,A,B,C,D,E,归纳：,老师

4、提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,深化：,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB于E,AE=BE,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。,O,A,B,E,解：连接OA， OEAB, AB=2AE=16cm,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,O,A,B,E,解：过点

5、O作OEAB于E，连接OA,即O的半径为5cm.,例2、如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 求证：AC = BD,E,证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AE = BE, CE = DE,AE CE = BE DE 即 AC = BD,辅助线：垂直于弦的直径。 实际上从圆心作与弦垂直的线段。,练习,变 换,A,B,C,D,O,1、如图1，在O中, AB是 弦, OC = OD。 求证：AC = BD,(1),A,B,C,D,O,2、如图2，在O中, CD是 弦, OA = OB。 求证：AC = BD,(2),2.已知：如图，在O中，AB、AC为互相垂直的两条相

6、等的弦，ODAB,OEAC,D、E为垂足。求证：ADOE为正方形。,练习,1. 在半径为50mm的O中，有长50mm的弦AB。计算：,（1） 点O与AB的距离；,（2）AOB的度数。,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA，, CD是直径，OEAB, AE=1/2 AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D