广东省佛山市升高中数学讲义 第三讲 函数（二）新人教A版必修1（通用）

1、广东省佛山市升高中数学讲义 第三讲 函数（二）新人教A版必修1一、知识要点（一）函数的单调性1、增（减）函数：如果函数对于定义域I内某个区间D上的 两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有 （ ），那么就说函数在区间D上是增（减）函数。特别注意：x1、x2的三个特征一定要予以重视。增（减）函数定义中的x1、x2有三个特征：一是任意性，即“任意取x1、x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不能随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可。2、函数的单调性、单调区间：如果函数y=在区间D上是 或 ，那么就说y=在这一区间具有（严格的）单调性，

2、区间D叫做y=的单调区间。注意：若函数在其定义域内的两个区间A、B上都是增（减）函数，一般不能简单认为在AB上是增（减）函数。3、函数单调性的几何意义：反映在图象上，若是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是 （ ）的。4、函数的最大（小）值：一般地，设函数y=的定义域为I。如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有M（M）； （2）存在x0I，使得=M，则称M是函数的最大（小）值。（二）函数的奇偶性1、偶（奇）函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有 （ ），那么函数就叫做偶（奇）函数。2、函数的奇偶性：函数是 或 称为函数的奇偶性。函数的奇偶性是函数的

3、整体性质。3、函数的奇偶性的有关性质：（1）函数y=是奇函数（或偶函数）的前提条件是：定义域在数轴上所表示的区间关于原 点对称；否则这个函数既不是奇函数又不是偶函数。（2）函数按奇偶性可分为：奇函数、偶函数，既是奇函数又是偶函数（如=0，xR）,既不是奇函数又不是偶函数。 （3）偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数； 奇（偶）数个奇函数的积、商为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。（4）具有奇偶性的函数的图象特征：偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称。 （5）若奇函数在x=0处有定义，则 ，即其图象过 。二、学法指导1、正确理解函数的

4、单调性，奇偶性的概念，会使用概念进行判断和证明，注意定义的可逆性和灵活性。2、奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同而偶函数相反，简称奇同偶异。3、注意函数性质在解题中的应用。如用单调性求函数的最值等。【例题分析】例1、判断函数在区间上的单调性变式1、画出常见初等函数的图像并判断单调性（1）一次函数 （2）反比例函数 （3）二次函数 例2、已知函数，（1）证明在（1，+）上是减函数；（2）当时，求的最小值和最大值。变式2、已知为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是（ ）ABCD例3、判断下列函数的奇偶性： （1）x3+2x （2）2x4+3x2 （3）x3+x2（4）0 （5

5、）（x1） （6）总结：整式函数（1）（3）中，奇偶性与x的指数有何关系？如在整式函数加上一个常数，如（1）的奇偶性又如何？（2）呢？变式3、（2020广东）若函数与的定义域为R，则（ ）A与均为偶函数B为奇函数，为偶函数C与均为奇函数D为偶函数，为奇函数例4、已知函数ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为a1，2a，求的值域。变式4、若是偶函数，求的大小关系。例5、已知奇函数y是定义在（2，2）上的减函数，若+0，求实数m的取值范围。变式5、已知函数=是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数的解析式 （2）用定义证明在（1，1）上是增函数 （3）解不等式+0【课后练习】1、函数y=

6、x+x+1（xR）的递增区间是（ ）A B1，+）CD（，+）2、若二次函数y=3x2+2（a1）x+b在区间（，1上为减函数，那么（ ）Aa=2 Ba=2 Ca2 Da23、（11广东）设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A是偶函数B是奇函数C是偶函数D是奇函数4、对于定义在R上的任何奇函数都有（ ）A0B0C0 D05、如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么在区间7，3上是（ ）A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为56、若（m1）x2+2mx+3为偶函数，则在区间（5，2）上是（ ）A增函数 B减函数C不具有单

7、调性D单调性由m确定7、已知函数y是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程0的所有实根之和是（ ）A4 B2C1D08、当x（0，5时，函数3x24x+1的值域为（ ）A，B CD0，9、已知，且，则= 。10、函数在R上为奇函数，且当x（，0时，x（x1），求当x（0，+）时，的解析式。11、判断下列函数的奇偶性 （1） （2） （3）12、证明函数=x+在1，+）上是增函数，并求当x1，5时，函数的最大值和最小值。13、求函数。（1）在上有最大值，求的解析式；（2）在上有最小值，求的解析式。高一数学讲义第三讲参考答案三、例题分析例1、解：任取，且。则。由于，故，即。函数在上是减函数。变式1

8、、（1）解：当时，在上是增函数。当时，在上是减函数。（2）解：（3）解例2、（1）任取，且且，故在（1，+）上是减函数。（2）由（1）得f(x)在上是减函数。 变式2、由已知得，解得或，故选D例3、（1）奇 （2）偶（3）非奇非偶 （4）既奇又偶 （5）x（1，1，故非奇非偶 （6）x1，0）（0，1 ，是奇函数。变式3、D例4、由条件得，得 函数的值域为变式4、例5、（2m1）（12m）, 解得m变式5、（1）由(0) 0，可得a1，b0， （2）略 （3）(x1) 在（1，1）是增函数, 1x1x1, 0x四、巩固练习1、A 2、C 3、A4、C5、B6、A7、D8、C 9、1310、x（x+1）11、（1）奇（2）既奇又偶（3）非奇非偶12、设1x1x2，则x2x10 （x2）（x1）=（x2x1）+ =（x2x1）=1x1x2， x1 x21，x1 x210 0即 函数=x+在1，+）上是增函数。由于在1，+）上是增