高中数学 第4章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.2 圆的一般方程教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、4.1.2元的一般方程式牛起水泡知识聪明圆的一般方程式对于方程式X2 y2 Dx Ey F=0，在D2 E2-4F0中，此方程式表示以()为中心具有半径的圆。D2 E2-4F=0时，方程式仅表示一个点()；D2 E2-4F0不显示图形。注意：1.在研究方程的过程中，我们可以看到两个方程的本质关系。也就是说，正则表达式可以通过拟合偏食轻松转换为标准形式，通过展开圆的标准表达式，可以得到正则表达式。要使两种形式的方程相互化，特别是需要通过一般公式进行细致的计算。2.将圆的正则表达式与二进制二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0进行比较，形式上的特征很明显。x2和y2的系数相同，不等于0

2、；没有像xy这样的第二个项目。圆的一般方程包含三个参数d，e，f，所以要确定圆，必须有三个独立条件。晶体d，e，f通常使用待定系数法。3.待定系数法是数学中常用的方法。例如，已知条件确定了二次函数，使用根和系数的关系确定了一次二次方程的系数。该方法广泛应用于求圆的方程或其他问题。需要熟练程度才能使用待定系数方法解决问题。方程式(例如X2 y2 Dx Ey F=0)不是表示圆的一般方程式，而是仅在D2 E2-4F0的情况下表示圆。对于D2 E2-4f=0，表示点；对于D2 E2-4f 0，不表示任何图形。因此，如果表示圆，给出包含参数的二进制二次幂，这个不等式就必须成立。如果给定圆的方程式为x2

3、 y2 Dx Ey F=0，则中心点座标为()半径。探索问题问题1提供二进制二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0，如何知道是否表示圆？如果探究：表示圆，则易于知道的B=0，A=C0，圆的一般方程式x2 y2 Dx Ey F=0需要圆D2 E2-4F0，因此原始二进制二次方程式可以变形为：X2 y2，因此，当二进制二次方程表示B=0，A=C0，()2 ()2-4，即D2 E2-4AF0时，此二进制二次方程表示圆。问题2元的一般方程与圆的标准方程有什么关系？各自的优点是什么？根据标题选择适当的方程式形式来表示圆的方法是什么？:圆的一般方程式为x2 y2 Dx Ey F=0(D2 E2

4、-4F0)。公式后可以做成圆的标准方程式，即()2 ()2=，简化圆的标准方程式展开，就可以得到圆的一般方程式。标准方程的优点是通过方程可以直接推导中心坐标和圆的半径，通用方程更好地突出了方程形式的特性。x2和y2的系数相同，不等于0，没有xy条目。选择方程形式时，当主题与圆的相关特性相关时，通常选择标准方程，当涉及方程的思想时，例如求解圆的相关方程时，则选择一般方程。经典标题列问题如果范例1从原点建立两条切线，即圆x2 y2-12y 27=0，则圆嵌入两条切线之间的较小弧长为()A. B.2 C.4 D.6想法分析：解决这个问题有很多想法。一个是根据问题的意义求出两条切线的斜率，结果解列号对

5、的圆严重性，进一步求出弧长。另一个想法是利用数模的结合，通过圆的相关性直接解决。解法1:如果设定原点的相切方程式为y=kx(k2 1) x2-128kx 27=0。因此=(-12k) 2-427 (k2 1)=0，解决方案k=。这是两个切向角，d，e是切向点，即CDod，ceOE。dce=。所以劣弧长度是dcer=。解法2:圆的方程式x2 y2-12y 27=0，x2 (y-6)2=9，已知圆为C(0，6)的中心，3的半径。d，e设定为接点时，CE=R=3、OC=6、cos-oce=。所以oce=，所以DCE=。所以劣弧长度是dcer=。答案：b深化升华这个问题调查了圆的基本，关于圆的问题。必

6、须注意圆的相关特性，如在池中拖曳长度问题、圆的切线、圆中直角三角形的使用、圆中对称的应用等。而且，还必须掌握应用转换思想解决曲线问题的方法。范例2寻找通过点P(-2，4)、Q(3，-1)两点且在x轴线上切割的弦长为6的圆的方程式。想法分析：根据待定系数法，求出适当的量即可。当圆的多个点已知时，可以设定圆的一般方程式。解法：设定圆的方程式为x2 y2 Dx Ey F=0，并分别取代p，qpoint的座标分别设定Y=0、x2 Dx F=0、x1和x2。|x1-x2|=6，D2-4F=36。由上而下整合、D=-2、E=-4、F=-8或D=-6、E=-8、F=0。圆的方程式为x2 y2-2x-4y-8

7、=0或x2 y2-6x-8y=0。方法该问题在应用待定系数法得到圆方程时，建立了圆的一般方程。那么，选择使用标准方程式时，什么时候使用一般方程式呢？通常，在问题中给出中心点和坐标之间的关系或与圆心的特殊位置关系时，使用标准方程式。给出了圆上三点坐标的圆的一般方程。很多主题都要用标准方程式或一般方程式来符合条件，在解决问题中找到条件，更好地选择方程式，使问题变得简单。范例3已知点A(2，0)，圆x2 y2=1有点q，AOQ的角度平分线与点p相交AQ以寻找点p的轨迹。想法分析：解决两个或更多移动点的轨迹问题，带有一个移动点的曲线方程通常用“备用方法”解决。解决方案：转至点p的坐标为(x，y)，Q(x1，y1)，角度平分线性质，范例。使用分数点坐标公式，也就是说x12y12=1，2()2=1。goto点p的轨迹方程为()2 ()2=1。点p的轨迹是半径圆(，0)的中心。深化升华这个问题应用了求轨迹方程的一种方法。收购方法。此方法适用于处理活动点和手动点问题。也就是说，在此问题中，如果q点在已知圆上移动，导致AOQ和段AQ的变化，则点q是活动点，点p是手动点，此时我们将查找这两个坐标之间的关系(用手动点坐标表示活动