2020届高三数学一轮复习教学案：不等式（通用）

1、不等式考纲导读1理解不等式的性质及其证明 2掌握两个（注意不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单应用 3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式 4掌握简单不等式的解法 5理解不等式| a | b| | ab | a | b | 实数的性质不等式的性质均值不等式不等式的证明解不等式不等式的应用比较法综合法分析法反证法换元法放缩法判别式法一元一次不等式(组)一元二次不等式分式、高次不等式含绝对值不等式函数性质的讨论方程根的分布最值问题实际应用问题取值范围问题知识网络高考导航不等式部分的内容是高考较为稳定的一个热点，考查的重点是不等式的性质、证明、解法及最值方面的应用

2、高考试题中有以下几个明显的特点： 1不等式与函数、方程、三角、数列、几何、导数、实际应用等有关内容综合在一起的综合试题多，单独考查不等式的问题很少，尤其是不等式的证明题 2选择题，填空题和解答题三种题型中均有各种类型不等式题，特别是应用题和综合题几乎都与不等式有关 3不等式的证明考得比较频繁，所涉及的方法主要是比较法、综合法和分析法，而放缩法作为一种辅助方法不容忽视 基础过关第1课时 不等式的概念和性质1、实数的大小比较法则：设a，bR，则ab ；ab ；ab 定理2（同向传递性） ab，bc 定理3 abac bc推论 ab，cd 定理4 ab，c0 ab，cb0，cd0 推论2 ab0 (

3、nN且n1)定理5 ab0 (nN且n1) 典型例题例1. 设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0，x1比较f(x)与g(x)的大小.解：(1)(x2y2)(xy)(x2y2)(xy) (2)aabbabba变式训练1：不等式log2x+3x21的解集是_.答案：x|x3且x1,x0。解析：或。例2. 设f(x)1logx3，g(x)2logx2，其中x0，x1比较f(x)与g(x)的大小.解：当0x1或x时，f(x)g(x)；当1x时，f(x)g(x)；当x时，f(x)g(x).变式训练2：若不等式(1)na2对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 .例3. 函数ax2

4、bx满足：12，24，求的取值范围解：由f (x)ax2bx得 f (1)ab，f (1)ab，f (2)4a2b af (1)f(1)，bf (1)f(1) 则f(2)2f (1)f (1)f (1)f (1)3f (1)f (1)由条件1f(1)2，2f (1)4可得3123f(1)f(1)324得f (2)的取值范围是5f (2)10.变式训练3：若13，42，则|的取值范围是 .解： (3，3)例4. 已知函数f (x)x2axb，当p、q满足pq1时，试证明：pf (x)qf (y)f (pxqy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是op1.证明：pf (x)qf (y)f (pxq

5、y)pq(xy)2p(1p)(xy)2充分性：当0p1时，0从而必要性：当时，则有0，又0，从而0，即0p1综上所述，原命题成立变式训练4：已知abc，abc0，方程ax2bxc0的两个实数根为x1、x2 (1)证明：1； (2)若xx1x2x1，求xx1x2x； (3)求| xx|解：(1)abc，abc0，3aabc，abab，a0，1 (2)（方法1）abc0ax2bxc0有一根为1，不妨设x11，则由可得而，x21， (方法2)由， (3)由(2)知， ， 归纳小结1不等式的性质是证明不等式与解不等式的重要而又基本的依据，必须要正确、熟练地掌握，要弄清每一性质的条件和结论注意条件的放宽

6、和加强，条件和结论之间的相互联系 2使用“作差”比较，其变形之一是将差式因式分解，然后根据各个因式的符号判断差式的符号；变形之二是将差式变成非负数（或非正数）之和，然后判断差式的符号 3关于数(式)比较大小，应该将“相等”与“不等”分开加以说明，不要笼统地写成“AB(或BA)” 基础过关第2课时 算术平均数与几何平均数1a0，b0时，称 为a，b的算术平均数；称 为a，b的几何平均数 2定理1 如果a、bR，那么a2b2 2ab（当且仅当 时 取“”号）3定理2 如果a、b，那么 （当且仅当ab时取“”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 4已知x、y，xyP，xyS. 有下列命题：

7、 (1) 如果S是定值，那么当且仅当xy时，xy有最小值 (2) 如果P是定值，那么当且仅当xy时，xy有最大值 典型例题例1设a、bR，试比较， ，的大小解：a、bR+，2即，当且仅当ab时等号成立又 当且仅当ab时等号成立 而于是(当且仅当ab时取“”号)说明：题中的、分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明变式训练1：（1）设，已知命题；命题，则是成立的 （ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解：B.解析： 是等号成立的条件.（2）若为ABC的三条边，且，则（ ）A B C D解：D解

8、析：，又。（3）设x 0, y 0, ， a 与b的大小关系（ ） Aa b Ba 0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 .解： 解析:由盐的浓度变大得例2. 已知a，b，x，yR+（a，b为常数），求xy的最小值.解： ab2变式训练2：已知a，b，x，yR+（a，b为常数），ab10， ，若 xy的最小值为18，求a，b的值解：或例3. 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 a2b3 + a3b2解：证：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (

9、a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正数，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2变式训练3：比较下列两个数的大小：（1） （2）；（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明解：（1）,（2）（3）一般结论：若成立证明 欲证成立只需证也就是 （） 从而（*）成立，故 例4. 甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过

10、c（千米/小时）已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为yabv2s(bv)，故所求函数及其定义域为ys(bv)v(0,c)(2) s、a、b、vR+，故s(bv)2s 当且仅当bv时取等号，此时v若c即v时，全程运输成本最小若c，则当v(0，c)时，ys(bv)s(bc)(cv)(abcv)cv0，且abc，故

11、有abcvabc20 s(bv)s(bc)，且仅当vc时取等号，即vc时全程运输成本最小变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：第一种传统方法是建造一台超级计算机此种方法在过去曾被普遍采用但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS的传统巨型机的成本为10

12、0万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5万元需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？解：设投入的资金为万元，两种方法所能达到的计算能力为MIPS，则把，代入上式得，又，当时，代入上式得，由得，即0，解得900(万元)答：在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。归纳小结小结归纳1在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件2在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点

13、：“一正”变量为正数，“二定”和或积为定值，“三相等”等号应能取到，简记为“一正二定三相等”第3课时 不等式证明（一）基础过关1比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式(1)作差比较法，它的依据是： 它的基本步骤：作差变形判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等(2) 作商比较法，它的依据是：若0，0，则它的基本步骤是：作商变形判断商与1的大小它在证明幂、指数不等式中经常用到2综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论3分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这

14、个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立典型例题例1. 已知，求证：证法1：0，0， 即 证法2：1 故原命题成立，证毕变式训练1：已知a、b、x、yR+且，xy.求证：解：证法一：(作差比较法) ，又且a、bR+，ba0.又xy0，bxay.0，即.证法二：(分析法)x、y、a、bR+，要证，只需证明x(y+b)y(x+a)，即证xbya.由0，ba0. 又xy0，知xbya显然成立.故原不等式成立.例2. 已知a、bR+，求证：证明：，因此要证明原不等式成立，则只要证由于所以从而原不等式成立

15、变式训练2：已知a、b、cR，求证：证明：左边右边 例3. 已知ABC的外接圆半径R1，、是三角形的三边，令，求证：证明：又 R1， 但的条件是，此时与已知矛盾 变式训练3：若为ABC的三条边，且，则（ ）A B C D答案:D解析：，又。例4. 设二次函数，方程的两个根、满足(1) 当x(0，x1)时，证明：xf (x)x1(2) 设函数f (x)的图象关于直线xx0对称，证明：x0(n)f(n)例4. 证明：证明：设，则(1y)x2x1y0(1)当y1时，xR，14(1y)20得(2)当y1时，由(1y)x2x1y0得x0而x0是函数的定义域中的一个值；y1是它值域中的一个值.综合(1)和

16、(2)可知，即变式训练4：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点(1) 求证：(2) 求证：对于一切实数恒有证明：(1)由ax2(b1)xc0无实根，得1(b1)24ac0由ax2(b1)xc0无实根得2(b1)24ac1(2)4acb210，a(x)与同号，axbxc a(x)2a(x)归纳小结1凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法2在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性3放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等4含有字

17、母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制第5课时 绝对值不等式的应用基础过关1、有关绝对值不等式的主要性质： | x | | x |0 | |a|b|ab| a | b | ab | ， (b0)特别：ab0，|ab| ，|ab| ab0，|ab| ，|ab| 2、最简绝对值不等式的解法 | f(x) |a ； | f(x) |a ； a| f(x) |b 对于类似a | f(x) |b| g(x) | c的不等式，则应找出绝对值的零点，以此划分区间进行讨论求解典型例题例1. 解不等式：| x23x4| x

18、1解 :xx1或1x3或x5变式训练1：若不等式|x4|x3|a对一切实数x都成立，则实 数a的取值范围是（ ）Aa1 Ba1 Ca1 Da1解 :D例2. 设f(x)x2xb，| xa |1，求证：| f(x) f(a) |0)， 当a4时，求的最小值； 若不等式1对x1, 4恒成立，求a的取值范围解 : (1)a4时，最小值15；(2)，x1，4恒成立等价变形后，只要a(t)2，t1，2恒成立(t)设h(t)a(t)，h(t) a(1)当0t时，h(t)0，h(t)单调递减；当t时，h(t)0，h(t)单调递增；当t时，h(t)0，h()为极小值；这样对于t1，2有 2时，h(t)minh

19、(2)a(2)2 a4 12时，h(t)minh2a2 1a4 01时，h(t)minh(1)a(a1) 无解综上知：a1变式训练3：已知适合不等式| x24xp| x3 |5的x的最大值是3，求p的值解 :P8例4. 设a、bR，已知二次函数f(x)ax2bxc，g(x)cx2bxa，当x1时，f(x) 求证：g(1)； 求证：当x1时，| g(x)|4.证明(1) x1时，f(x)2g(1)cbaf (x)2(2) 当x1时，g(x)cx2bxac(x21)bxac c(x21)bxaccabc224变式训练4：(1) 已知：| a |1，| b |1，求证：|1；(2)求实数的取值范围，

20、使不等式|1对满足| a |1，| b |1的一切实数a、b恒成立；(3) 已知| a |1，若|1，求b的取值范围.(1)证明：|1ab|2|ab|21+a2b2a2b2(a21)(b21).| a |1，| b |1，a210，b210.|1ab|2|ab|20. |1ab|ab|，1.(2)解：|1|1ab|2|ab|2(a221)(b21)0.b21，a2210对于任意满足| a |1的a恒成立.当a0时，a2210成立；当a0时，要使2对于任意满足| a |1的a恒成立，而1， |1. 故11.(3)|1()21(a+b)2(1+ab)2a2+b21a2b20(a21)(b21)0.

21、|a|1，a21.1b20，即1b1.归纳小结1利用性质|a|b|ab|a|b|时，应注意等号成立的条件2解含绝对值的不等式的总体思想是：将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式求解3绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新，教学中，应注意绝对值与函数问题的结合第6课时 含参数的不等式基础过关含有参数的不等式可渗透到各类不等式中去，在解不等式时随时可见含参数的不等式而这类含参数的不等式是我们教学和高考中的一个重点和难点解含参数的不等式往往需要分类讨论求解，寻找讨论点（常见的如零点，等值点等），正确划分区间，是分类讨论解决这类问题的关键在分类讨论过程中要做到不重，不漏典型例题例1.

22、已知Ax| 2ax2(2ab)xb，Bx| x，其中b0，若AB，求a、b的取值范围解:a且0b6变式训练1：不等式的解集是x| x2，则a 解:a例2. 已知关于x的不等式m(x21)对满足2m2的所有m都成立，求x的取值范围解: x变式训练3：若不等式对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是 解:a例4. 解关于x的不等式ax222xax(aR)解:a0时，x1；a0时，x1或x，2a0时，x1；a2时，x1；a2时，1x变式训练4：解关于x的不等式解：(1)当2a10，即a时，原不等式为(x4a)(x6a)0当a0时，x(，4a)(6a，)当a0时，x当a0时，x(，0)(0，)(2)当

23、2a10，即a时，原不等式为(x4a)(x6a) x(6a，4a)综合以上，原不等式的解集为：当a0时，解集为(，4a)(6a，)当a0时，解集为(，6a)(4a，)当a时，解集为(6a，4a)归纳小结解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，应注意寻找讨论点，以讨论点划分区间进行讨论求解能避免讨论的应设法避免讨论第7课时 不等式的应用基础过关1不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域，值域的确定，三角、数列、立体几何，解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切关系2能够运用不等式的性质、定理和方法分析解决有关函数的性质，方程

24、实根的分布，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其它数学问题典型例题例1.若关于x的方程4xa2xa10有实数解，求实数a的取值范围.解:令t2x(t0)，则原方程化为t2ata10，变形得变式训练1：已知方程sin2x4sinx1a0有解，则实数a的取值范围是 （ ）A3，6B2，6C3，2D2，2解:B例2. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出设箱体的长度为a米，高度为b米已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60平方米问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B

25、孔的面积忽略不计)解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k0为比例系数.依题意，即所求的a，b值使y值最小.根据题设，有4b2ab2a60(a0，b0)，得b(0a30) 于是 y当a2时取等号，y达到最小值.这时a6，a10(舍去).将a6代入式得b3.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a，b的值使ab最大.由题设知 4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2bab30(a0，b0).因为 a2b2，所以 +ab30，当且仅当a2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18.即当a2b时，ab取得最大值，其最大值为18.所

26、以2b218.解得b3，a6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小变式训练2：一批物资要用11辆汽车从甲地运到360千米外的乙地，若车速为v千米/小时，两车的距离不能小于()2千米，运完这批物资至少需要（ ）A10小时 B11小时C12小时 D13小时解:C例3. 已知二次函数yax22bxc，其中abc且abc0.（1） 求证：此函数的图象与x轴交于相异的两个点.（2） 设函数图象截x轴所得线段的长为l，求证：l2.证明:(1)由abc0得b(ac).(2b)24ac4(ac)24ac4(a2acc2)4(a)2c20.故此函数图象与x轴交于相异的两点.(2)ab

27、c0且abc，a0，c0.由ab得a(ac)，2.由bc得(a+c)c，.2. l|x1x2|.由二次函数的性质知l(，2)变式训练3：设函数f(x)x22bxc (cb1)，f(1)0，且方程f(x)10有实根(1)证明：3c1且b0；(2)若m是方程f(x)10的一个实根，判断f(m4)的正负，并加以证明证明:(1)又cb1，故又方程f(x)10有实根，即x22bxc10有实根故4b24(c1)0，即(c1)24(c1)0c3或c1由由(2)f(m)10cm1c4m43cf(m4)(m4c)(m41)0f(m4)的符号为正例4. 一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲乙两地相距S(千米)，水速为

28、常量p(千米/小时)，船在静水中的最大速度为q(千米/小时)(qp)，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为k 把全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v的函数，并求出这个函数的定义域 为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？解:(1) ykv2，v(p，q(2) i) 2pq时，船的实际前进速度为p； ii) 2pq时，船的实际前进速度为qp变式训练4：某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆

29、汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？解:设购卡x张，总费用y元y240(x)3840x8时，ymin3840 38404880(元)答：每人最少交80元钱归纳小结小结归纳不等式的应用主要有两类： 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围，这类问题所进行的必须是等价转化注意沟通各知识点之间的内在联系，活用不等式的概念、方法，融会贯通 一类是解决与不等式有关的实际问题，这类问题首先应认真阅读题目，理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决不等式章节测试

30、题一、选择题1. 关于x的不等式|x1|m的解集为R的充要条件是（ ）Am0Bm1Cm0Dm12. 若、是任意实数，且，则（ ）ABCD3 若则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD4 欲证，只需证（ ）ABCD5. 设x1，x2是方程x2px40的两个不相等的实根，则（ ）A| x1 |2且| x1 |2B| x1x2|4C| x1x2|4D| x1 |且| x2 |16. 对一切正整数n，不等式恒成立，则b的范围是（ ）A(0, )BC() D(, 1) 7. 已知函数f (x) ，则不等式f(x)20的解区间是（ ）A(2，2)B(, 2)(2, )C(1，1)D(, 1)(1, )8.

31、在R上定义运算若不等式对任意实数恒成立，则（ ）A B C D9 某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg20.3010，lg30.4771）（ ）A5B10 C14D1510.集合、，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件二、填空题11若的取值范围是 .12若不等式的解集为，则 .13实数x满足，则的值为 .14已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边，若点(m，n)在直线axby2c0上，则m2n2的最小值是 15对a，bR，记max| a，b

32、| ，函数f(x)max| | x1 |，| x2 | | (xR)的最小值是 三、解答题16. 若a、b、c都是正数，且abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc17已知函数f(x)，x(1) 当a时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围18（理）解关于x的不等式（文）解关于x的不等式：19设函数yf(x)的定义域为(0，)，且对任意x、yR，f(xy)f(x)f(y)恒成立，已知f(8)3，且当x1时，f(x)0(1)证明：函数f(x)在(0，)上单调递增；(2)对一个各项均正的数列an满足f(Sn)f(an)f(an1)1 (nN*)，其中Sn是数列an的前n项和，求数列an的通项公式；(3)在()的条件下，是否存在正整数p、q，使不等式对nN*恒成立，求p、q的值20对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗该物体初