有限元分析的基本原理

1、有限元原理与结构通用 有限元软件应用,福州大学 土木工程学院 陈力波 2014年2月,课程目标,学习什么是有限元方法，了解有限元方法的基本思想和流程 学习有限元分析原理，结合弹性力学问题来介绍有限元分析的基本方法，包括单元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参单元的概念等 了解有限元软件发展水平，初步学会应用通用有限元软件解决具体工程问题,主要教材及参考书目,曾攀，有限元基础教程，高等教育出版社，2009 李人宪，有限元法基础，国防工业出版社，2012 王焕定，有限单元法基础及Matlab编程，高等教育出版社，2012 王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003 朱伯芳，有限单元法原理与应用，

2、中国水利水电出版社，2009 王新敏， ANSYS工程结构数值分析，人民交通出版社，2007 龚曙光， ANSYS参数化编程与命令手册，机械工业出版社，2009,Jacob Fish, Ted Belytschko, A First Course in Finite Elements, Wiley, 2007 S. S. Quek , G.R. Liu, Finite Element Method: A Practical Course, Butterworth-Heinemann, 2003 Thomas J. R. Hughes, The Finite Element Method: Li

3、near Static and Dynamic Finite Element Analysis, Dover Publications, 2000 K. J. Bathe, Finite Element Procedures, Cambridge, MA: Klaus-Jrgen Bathe, 2006 R.D. Cook, D.S. Malkus, M.E. Plesha, R.J. Witt, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, Wiley, 4 edition, 2001 O.C. Zienkiewicz , R.L

4、 .Taylor , J.Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann; 7 edition, 2013,教学计划及评分办法,课堂讲授引导为主，课下自学为辅 8周讲授 + 4周上机 有限元基本原理、杆系问题、平面问题、轴对称问题、空间问题、等参数单元等 ANSYS前处理、加载求解、后处理 评分标准 65%期末考试 + 20%期末大作业 + 15%平时作业及考勤,有限元分析的基本原理,有限单元法的形成,两类典型的工程问题 第一类问题可以归结为有限个已知单元体的组合。例如材料

5、力学中的连续梁、建筑结构中的桁架和框架结构。 第二类问题是针对连续介质，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场问题等。,有限单元法的形成,第一类问题的研究对象称为离散系统 离散系统是可解的，但是求解复杂的离散系统，要依靠计算机技术 第二类问题的研究对象称为连续系统 可以建立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解。对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法来求解,有限单元法的形成,为了解决这些困难，工程师和数学家开始寻找一种近似的求解方法，在这个过程中，他们从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限单元法

6、,有限单元法的历史,1870年，英国科学家Rayleigh就采用假想的“试函数”来求解复杂的微分方程，1909年Ritz将其发展成为完善的数值近似方法 1943年，Courant发表了第一篇使用三角形区域多项式函数来求解扭转问题的论文 1956年，波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飞机结构时系统研究了离散杆、梁、三角形的单元刚度表达式,有限单元法的历史,1955年德国的Argyris出版了第一本关于结构分析中的能量原理和矩阵方法的书 1960 年Clough在处理平面弹性问题，第一次提出并使用“有限单元法”(finite element method)的名称 1

7、967年Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著 1970 年以后，有限元方法开始应用于处理非线性和大变形问题，1972年Oden出版了第一本关于处理非线性连续体的专著,有限单元法的历史,我国学者也在有限元领域做出了重要贡献 胡海昌于1954提出了广义变分原理 钱伟长最先研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系 钱令希在20世纪五十年代就研究了力学分析的余能原理 冯康在20世纪六十年代就独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论基础,通用有限元软件概述,随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用,1966

8、NASTRAN MacNeal-Schwendler Corp., USA MARC MARC Anal. Corp., USA 1970 ANSYS Swanson Anal. Syst., USA SAP NISEE, UC Berkeley, USA 1975 ADINA ADINA R&D, Inc., USA 1979 ABAQUS Hibbit, Karlsson & Sorensen, Inc., USA 1984 ALGOR Algor Inc., USA,有限元法的基本思想,有限单元法(finite element method)是求解数学物理问题(复杂微分方程)的一种数值计

9、算近似方法。它发源于固体力学，以后迅速扩展到流体力学、传热学、电磁学、声学等其它物理领域。 有限元法的基本思想可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。,有限元分析的目的,固体力学领域：针对具有任意复杂几何形状变形体，完整获取在复杂外力作用下它内部的准确力学信息，即求取该变形体的三类力学信息(位移、应变、应力) 在准确进行力学分析的基础上，设计师就可以对所设计对象进行强度、刚度等方面的评判，以便对不合理的设计参数进行修改，以得到较优化的设计方案，再次进行方案修改后的有限元分析，以进行最后的力学评判和校核,有限元

10、法的基本原理,有限元方法基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原函数 两种典型的函数逼近思想 经典瑞利-里兹思想：基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开) 有限元方法的思想：基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接),有限元分析的目的和作用,有限元法的基本原理,基于分段的函数描述的优点 1. 可以降低原函数复杂性，方便描述求解 2. 可以人工选取简单的分段函数形式 3. 可以将原始微分求解变为线性代数方程 基于分段的函数描述的缺点 1. 所采用简单函数的描述能力和效率较低 2. 由于简单函数的描述能力较低，必然将使用数量众多的分段来进行弥补，

11、因此带来较多的工作量,一维阶梯杆结构问题的求解,一维问题是最简单的分析对象，以一阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求解的过程，直观地引入有限元分析基本思路 图示阶梯杆结构，已知相应的弹性模量和结构尺寸，用材料力学方法求解该问题,一维阶梯杆结构问题的求解,一维阶梯杆结构问题的求解,基于节点位移的求解方法,一维阶梯杆结构问题的求解,基于节点位移的求解方法 平衡关系 矩阵形式,一维阶梯杆结构问题的求解,基于位移求解的通用形式 平衡关系 分解,一维阶梯杆结构问题的求解,基于位移求解的通用形式 左端的第1项实质为 左端的第2项实质为,一维阶梯杆结构问题的求解,材料力学求解 求解的基本力学变量是力(或应力)

12、 静定问题，可直接求出 静不定问题，则需要变形协调方程(一定技巧) 采用位移作为求解的基本变量 原来的基于节点的平衡关系，变为通过每一个杆件的平衡关系来进行叠加 单元：基于节点位移写出该“构件”的内力表达关系， “构件”在几何形状上、节点描述上都有一定普遍性和标准性,一维阶梯杆结构问题的求解,杆单元的标准形式 单元节点位移 单元节点外力,一维阶梯杆结构问题的求解,杆单元的标准形式 单元节点内力为 它将与单元的节点外力相平衡，方程可以写成,一维阶梯杆结构问题的求解,有限元分析的基本流程,例 1D三连杆结构的有限元分析过程 采用杆单元的方法，求解图示结构的所有力学参量。相关的材料参量和尺寸如下,有

13、限元分析的基本流程,求解思路：基于单元的分析方法 首先将原整体结构按几何形状的变化性质划分节点并进行编号 然后将其分解为一个个小的构件(即单元)，基于节点位移，建立每一个单元的节点平衡关系(叫做单元刚度方程) 下一步就是将各个单元进行组合和集成，以得到该结构的整体平衡方程(也叫做整体刚度方程),有限元分析的基本流程,接下来按实际情况对方程中一些节点位移和节点力给定相应的值(叫做处理边界条件)，就可以求解出所有的节点位移和支反力 最后在得到所有的节点位移后，就可计算每一个单元的其它力学参量(如应变、应力),有限元分析的基本流程,有限元分析的基本流程,(2) 计算各单元的单元刚度方程 单元的刚度方程 单元的刚度方程 单元的刚度方程,有限元分析的基本流程,(3) 组装各单元刚度方程 由于整体结构是由各个单元按一定连接关系组合而成的，因此需要按照节点的对应位置将以上方程进行组装，以形成一个整体刚度方程 实际上组装过程，就是将各个单元方程按照节点编号的位置进行集成,有限元分析的基本流程,节点1、2、3、4上合成节点力如下，实际上在单元组装后只需要合成后的节点力 代入结构的材料参数和几何尺寸参数,有限元分析的基本流程,有限元分析的基本流程,(5) 求支反力 方程组的最后一行方程，可求出支反力 (6) 求各个单元的