磁流体力学之四

1、等离子体物理,磁流体力学,双磁流体力学方程组,16个方程 16个未知数,双磁流体力学方程组,洛伦兹力项,4,磁压力 磁张力 磁扩散 磁冻结 磁漂移,利用双磁流体力学方程组讨论以下问题：,磁压力磁张力,回顾,磁感应方程,磁场与等离子体作用时，磁场随时间的变化规律,回顾,磁扩散效应,磁雷诺数,问题1、非静止的导电流体？ 问题2、磁扩散本质是什么？,实际的等离子体是不能忽略对流的！,注意：,不成立,等离子体就可以被看成是理想导体。,当,磁感应方程,考虑对流，显然，磁场或者磁力线可以进入等离子体,问题：进入等离子体的磁场能否稳定，方向能否维持？,磁场或者磁力线不能深入等离子体,不忽略对流，考虑稳态情况

2、,稳态时候：,有,垂直于磁场的速度,有,由运动方程 稳态时候：,有,设温度均匀,稳态的成因,有,在具有有限碰撞频率的等离子体中,只有存在横越磁场的稳态扩散流，稳态磁场的方向可以得到维持，不过，磁场足够大的时候，横向扩散可以被限制在很小的范围内,垂直于磁场的流速,垂直于磁场的密度梯度,稳态时候,磁扩散的物理本质是什么?,麦克斯韦方程组,欧姆定律,磁感应方程,在这个过程中,由于欧姆损耗,一部分磁场的能量转换成热能,所以磁场衰减. 从能量角度考虑一下.,磁扩散的物理本质是什么?,磁场做功:,随时间的变化率:,罗仑兹力,导电流体磁能的减少是由于电阻引起的欧姆损耗 磁能变成了流体的热能!,磁扩散=磁衰减

3、,导电流体磁能的减少是由于电阻引起的欧姆损耗 磁能变成了流体的热能!,磁扩散=磁衰减,磁扩散的物理本质是什么?,3.4.2 磁冻结效应,磁场强度为很大:有限拉莫半径效应，由于回旋半径非常小，无法感知到磁场在空间的非均匀性。没有漂移，只能围绕这根磁力线运动。换句话说，带电粒子被强磁场所约束，或者说被磁感应线套住不能离开。相反的过程是：被约束在磁力线上的电荷粒子高速运动的时候会把约束它的磁场一起带走!磁冻结,阿尔文：瑞典天文学家太阳和宇宙磁流体力学获1970年诺贝尔奖（阿尔文波，磁冻结）,这个方程和无粘滞不可压缩流体中的涡旋所满足的方程相似：,或者,该方程的意义：涡旋附着在流体质元上，随着质元一起

4、运动。,磁感应方程,磁粘滞系数,理想导体,没有电阻,没有感生电动势,冻结,磁通不变,磁感应方程,该方程的意义：磁场的变化如同磁力线粘附于流体质元上，或者说，磁力线被冻结在导电流体中。所以上面的方程叫冻结方程。,讨论：,考虑有一个封闭的曲线,考察穿过封闭的曲线磁力线的变化,冻结,在t2时刻，如图，考虑一个封闭的曲面。,由图可以看出，,下面我们讨论的目的是为了观察磁场随时间的变化,讨论如图情况下磁场随时间的变化最直接的物理量是什么?,磁通变化率为：,磁通变化率,磁通变化率为：,或者,注意我们的条件是：,磁雷诺数,磁感应方程,任意流体曲面中的磁通不随时间改变，也就是说，处于导电流体中的磁力线与流体质

5、元黏附在一起，随着流体一起运动，或者：磁力线被冻结在导电流体中。,注意：只有把等离子体看成理想导体才有这个结论。,这个结果表明：,相对磁冻结需要建立适当的电场，在实验室等离子体有外加电场时存在。 但在空间等离子体中，一般均为绝对冻结！即：理想磁流体中，流体不能作垂直于磁力线的相对流动，流体携带着磁场运动，不同区域的流体和磁场不能交融，即磁场拓扑不能改变，这就是理想MHD冻结效应！,磁冻结的物理意义：,当流体相对于磁场产生运动，运动流体切割磁力线所产生的感应电场。,对于理想导体,或者,所以导电流体只有在磁力线上运动，没有垂直与磁力线的运动，即磁冻结。,关于磁冻结一点说明：,由雷诺数表达,宇宙等离

6、子体的尺寸很大，所以对于宇宙等离子体，可以看成磁场几乎被冻结在等离子体中。 而实验室等离子体确很难满足这个条件，所以实验室等离子体中的磁场很容易扩散到外面。,32,宇宙等离子体中磁场冻结的实例：,太阳爆发所发射的太阳风中总是携带着磁场。,33,宇宙中绝大部分天体都象太阳一样时刻把等离子体抛射到天际，这些等离子体中都携带着被它所冻结的磁场。,34,太阳风中的等离子体被地球磁场捕获后，这些等离子体总是被冻结在地球磁场中。,范艾仑辐射带,35,实验室等离子体,磁场很容易扩散到等离子体区外面。,一个重要推论：,理想导电流体中，初始位于磁力线上的流体质元，以后也一直位于该磁力线上。,如果地球磁场是严格对

7、称的，粒子在地球磁场中漂移会回到同一根磁力线上，这也是一种周期运动。实际上，不可能是完全对称的,这个推论是磁冻结的另一种表述：,一个重要推论：,磁冻结方程:,证明:,连续性方程,证毕,磁感应线在导电流体中运动所满足的方程:,还可证明，对于等离子体中一根细流体线元矢量满足完全相同的方程！,比较有意思的另一个重要推论：,具有相同的 运动方程,说明磁场与流体线元矢量如果初始平行，则时时平行，且量值的比值不变。如果初始流体元位于同一根力线上，则二者将始终位于同一根力线上,而且流体元位于一根力线上,则有:,该流体元将位于同一根力线上, 有:,对于理想流体：,如果密度变化不大时, 磁场与力线长度成比例改变

8、,磁力线长度越长,则磁场越强.,这个结论说明冻结在流体中的磁场像一根有弹性的线,磁力线拉长,(张力)增强,即磁场越强.,太阳存在着赤道转得快,而两极慢的情况.这样初始的场位形将被这种差别改变,使力线长度不断被拉长. 在这个过程中,磁场就从普通的几个高斯被放大到几千高斯,然后浮出太阳表面形成双极黑子,这就是Babook太阳发电机原理过程之一。动能磁能,44,磁压力 磁张力 磁扩散 磁冻结 磁漂移,以上利用双磁流体力学方程组中的个别方程（主要是运动方程和麦克斯韦方程）讨论以下问题：,3.5 均匀定常磁场中的流体漂移,3.5.1 抗磁性漂移(垂直于B的流体漂移),梯度漂移速度:,单粒子轨道运动,由于

9、一个流体元由很多个别粒子组成，如果单个粒子的导向中心具有垂直于B的漂移，是否整个流体元也具有这样的漂移？我们希望流体元也有这个方向的漂移。,没有电场 没有梯度,流体运动方程：,p只出现在流体方程中，它是一个统计量，和单粒子运动相比，流体存在一项单粒子没有的漂移，显然它与p有关,我们关注的焦点是漂移，所以忽略碰撞项，为了方便忽略下标。,考虑项1与项3的比：,对每种粒子，有一个方程：,我们关心的是垂直于磁场的运动，磁场只影响垂直运动,上面已经取了 ，且仅与u相联系。对于比c时标缓慢的漂移，可以忽略1项和 。,令B和E是均匀的，但n和p有一个梯度，如图所示的等离子体柱。用B叉乘方程，忽略左边有：,所

10、以,一般很小,其中,EB漂移,抗磁性漂移,漂移vE与导向中心的漂移相同，抗磁性漂移vD是一个新的漂移。,可以将抗磁性漂移写成：,对于等离子体的准静态绝热过程：,抗磁性电流,由于离子和电子以相反的方向漂移，就存在一种电流。对于=1 ,且：,抗磁性电流,抗磁性漂移,抗磁漂移的物理原因,通过任何体积元向下的运动的离子比向上的离子多,向下的离子：来自高密度区 向上的离子：来自低密度区,结果:产生一个向下的漂移,注意：,1、导向中心没有移动;,2、抗磁漂移方向与电荷种类有关.,3、与电荷质量没有关系.,关于单粒子轨道理论和磁流体力学的讨论,单粒子图象：导向中心不漂移，没有净电流。 流体元图象：导向中心不

11、移动，但压强梯度可以产生电流。,单粒子图象：单个粒子的运动，没有统计概念。 流体元图象：流体元包含众多粒子，必须从统计的角度来考虑。,在流体图象中：磁场不改变粒子的能量，因此不会改变粒子的速度分布,从统计角度：对于一个流体元，能量的改变为零 所以：尽管磁场的弯曲和梯度可以使单粒子产生漂移，但不会使流体产生漂移。,垂直于磁场 平行于磁场,3.5.2 玻耳兹曼关系(平行于B的流体漂移),流体运动方程的z分量是：,状态方程得到,这说明在静电力和压力梯度的联合作用下，流体沿B加速。,为了简单起见，假设uz视为空间均匀：,将这个方程用于无质量的电子，取极限m0，并使q= -e，,讨论：,平衡方程,电场力

12、和压力的平衡方程,平行于磁场方向上的密度梯度 -电荷分离-电场-恢复力,假定电子是等温的，且=1,这恰好是电子的波耳滋曼关系式。,在平行于磁场的方向上，电子是自由的。轻的电子是很活动的，如果有净力作用到电子上，则它们很快地被加速到高能量。由于电子不能同时离开而不留下大量离子电荷，因此作用在电子上的静电力和压力梯度必须接近于平衡，这就导致了玻尔兹曼关系。,它的物理意义是：,等离子体自身的调节作用,等离子体存在居于密度块区的现象如图所示：令密度梯度向着图的中心方向，这时有一个向着中心的梯度压力。,考虑作用在电子上的梯度压力Fp，这个力驱动活动的电子离开中心，留下的离子产生电场E，它在电子上的作用力

13、FE与Fp相反，当它们平衡时，才达到稳定态。,p,Fp,FE,E, - + -,密度和势之间波耳滋曼关系的物理道理,61,磁压力 磁张力 磁扩散 磁冻结 磁漂移,以上利用双磁流体力学方程组中的个别方程（主要是运动方程和麦克斯韦方程）讨论以下问题：,MHD平衡与等离子体约束,使作用在所有等离子体流体元上的合力达到平衡，是约束等离子体的第一步。 通常，受到约束的等离子体总是存在着压力梯度，这种梯度产生的力总是试图使等离子体占具更多的空间，进而“烟消云散”。 在无磁场的等离子体中，等离子体流体元上平衡压力梯度的力依赖于中性气体的碰撞而产生的“摩擦力”。 在有磁场的情况下，洛伦兹力起着平衡等离子体压力

14、的作用，这就是各种类型磁约束等离子体装置的基础，等离子体平衡问题的研究主要是针对有磁场的情况。 一般说来，由于磁场位形的复杂性，平衡问题的精确计算非人力可以胜任，但我们仍然可以通过对基础原理的分析得到一些清晰的图像。,磁流体平衡（磁约束）,问题的提出：高温等离子体的应用，如何把炽热的等离子体约束在一定的范围内？,前面我们讲到，等离子体中存在漂移、扩散等过程，我们也注意到等离子体的温度很高，特别是在核聚变过程中。,磁镜,粒子可以沿着磁场自由地移动，甚至不用穿过磁场，但是，不能将粒子明显地限制在直线磁场里。,显而易见的思路：磁力线弯曲成没有起始端的圆环,问题,曲率漂移 梯度漂移,曲率漂移/梯度漂移

15、,离子向上移动，电子向下移动。没有约束存在。当密度有限时，情况就更糟了，因为此时发生了电荷的分离EEB向外移动,需要什么样的B来消除这一现象？ 附加的B起到补偿作用。,托克马克聚变装置,Toroidal field,Vectical field,合成,IMHD不稳定性,等离子体 如何由磁场“控制”。 平衡v/t=0。因此磁流体方程得到简化。,运动方程,如果我们不需要对欧姆定律提出问题。 E 并不出现在MHD平衡方程中。,连续性方程和电荷守恒定律,注意：,这些看起来简单的方程是核聚变研究的主要主题。困难的问题是考虑复杂的几何形状。我们可以对简单的几何形状做一些有用的计算。,简化后：,-Pinch箍缩,Z-Pinch箍缩,-Pinch箍缩,由于电流在方向流动，所以称为箍缩。,考虑无限长度，z方向均匀。 由于对称性，磁场B仅有z分量。 由于对称性，电流j仅有分量。 由于对称性， p仅有r分量。,用MHD方程,箍缩平衡方程,Z-Pinch箍缩,Z-Pi