2020版高考数学一轮复习 7.2空间点、线、面之间的位置关系精品学案 新人教版（通用）

1、2020版高考数学复试优秀学习案例：第7章立体几何7.2空间点、线、面之间的位置关系高考新趋势首先，空间点、线和平面之间的位置关系1.点击教学大纲(1)理解空间线性和平面位置关系的定义；(2)理解可以作为推理基础的公理和定理；(3)利用公理、定理和所得结论证明某些空间图形位置关系的一个简单命题。2.热门提示(1)以空间几何为载体，检验逻辑推理能力；(2)通过判断位置关系来考察空间想象；(3)应用公理和定理证明共线点和共面线等问题；(4)大部分测试是以选择和填空的形式进行的，有时也会出现在答题中。二、直线与平面平行的判断及其性质1.点击教学大纲(1)基于立体几何的定义、公理和定理，我们应该了解和

2、理解空间线平面平行性的性质和判定定理；(2)利用公理、定理和所得结论证明某些空间图形平行关系的一个简单命题。2.热门提示(1)平行线、线、面的考试是高考的热点；(2)平行关系的判断主要以选择题和填空题的形式进行。很难检查与平行性相关的概念、公理、定理、性质和结论的理解和应用；(3)平行关系的证明和应用大多以解的形式出现，主要考察相关定理和性质的应用以及各种平行关系的相互转化。题目在一定程度上是综合性的，通常与垂直证明、空间角度和空间向量的求解相结合，属于中低年级问题。三、垂直线和平面的判断及其性质1.点击教学大纲(1)基于立体几何的定义、公理和定理，我们应该了解和理解空间中垂直线和平面的相关性

3、质和判定定理；(2)利用公理、定理和所得结论证明某些空间图形的垂直关系的一个简单命题。2.热门提示(1)垂直关系的判断常出现在选择题或填空题中，主要考察与垂直关系相关的概念、公理、定理、性质和结论的理解和应用，常与命题和平行关系结合，难度较小；(2)垂直线和面的证明和运算经常以解题的形式出现，并且经常将命题与平行关系结合起来，这是困难的；(3)通过求解线-面角和二面角来考查学生的空间想象和操作能力，通常以解题的形式进行，难度适中。考试大纲全景分析首先，空间点、线和平面之间的位置关系1.平面的基本性质公理1:如果直线上的两点在一个平面上，那么直线在这个平面上；公理2:如果你通过三个不在一条直线上

4、的点，那么只有一个平面；公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们只有一条公共直线穿过该点。那就是：2.直线和直线之间的位置关系(1)位置关系的分类(2)平行公理和等角定理(1)平行公理：两条平行于同一条直线的直线是平行的。象征性地，让A，B和C是三条直线。如果Ab，bc，那么Ac .等距定理：如果两个角的两边是平行的，那么这两个角是相等的或互补的。(3)直线在不同平面上形成的角度定义：设A和B是两条平面外的直线，并使直线A A和B B穿过空间中的任意一点O。由A和B形成的锐角(或直角)称为由平面外直线A和B形成的角度(或夹角)范围：3.直线与平面的位置关系位置关系线a在平面上直线A与

5、平面相交线a平行于平面共同点有无数的共同点只有一个共同点没有共同点，符号表示图形表示两条平行于同一条线的线是相互平行的。(然而，垂直于同一条线的两条线之间的位置关系可以是平行的、相交的或在平面外的)6.定理在空间中，如果两个角的两边是平行的，那么这两个角是相等的或互补的。二、直线与平面平行的判断及其性质1.直线与平面平行度的判定及性质(1)决策定理：如果平面外的一条直线平行于这个平面上的一条直线，那么这条直线平行于这个平面；(2)性质定理：如果一条直线平行于一个平面，穿过该直线的任何平面与该平面的交点都平行于该直线；2.平面平行于平面的判断和性质(1)决策定理：如果一个平面上的两条相交线平行于

6、另一个平面，那么这两个平面是平行的；(2)性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线是平行的。注意：我们能从线对线的平行中得到面对面的平行吗？(是的。只要一个平面中的两条相交线平行于另一个平面中的两条相交线，这两个平面就是平行的)三、垂直线和平面的判断及其性质1.这条直线垂直于平面(1)定义：如果直线垂直于平面中的任何直线，则该直线垂直于平面；(2)判断定理：如果一条直线垂直于平面上两条相交的直线，则该直线垂直于平面；2.二面角的相关概念(1)二面角：从一条直线开始由两个半平面组成的图形称为二面角；(2)二面角的平面角：以二面角边缘的任意一点为终点，两条垂直于边缘的射线分别在

7、两个半平面内形成，这两条射线形成的角称为二面角的平面角。3.该平面垂直于该平面(1)定义：如果由两个平面形成的二面角是直的二面角，则这两个平面相互垂直；(2)判断定理：如果一个平面通过另一个平面的垂线，那么两个平面是垂直的；(2)性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面中垂直于交线的直线垂直于另一个平面。注意：两个垂直于同一平面的平面是平行的吗？(可以平行或相交)4.直线和平面形成的角度一个平面的对角线和它在平面上的投影形成的锐角叫做这条线和这个平面形成的角。当直线垂直于并平行于平面(包括平面内的直线)时，规定直线与平面形成的角度分别为900和00。热点和难点的全面分析首先，空间点、线和平面之间

8、的位置关系(a)确定不同表面上的直线相关链接证明两条直线是不同平面上的直线的方法；1.定义方法(不易操作)2.相反证明：首先假设两条直线不是平面外直线，即两条直线平行或相交。从假设的条件出发，经过严格的推理，矛盾被推导出来，从而否定了假设，并确认两条直线是平面外的。这种方法常用于判断不同平面上的直线。3.在客观问题中，也可以使用以下结论：穿过平面上的一点和平面上的一点的直线是平面外的直线，如图所示：实例分析示例如图所示，在立方体ABCD-A1B1C1D1中，m和n分别是A1B1和B1C1的中点。问题：(1)1)上午和下午的直线在不同的平面？解释原因；(2)2)D1B和CC1直线在不同的平面上吗

9、？给出理由。思维分析：(1)很容易证明MN/AC、AM和CN没有什么不同。(2)从图中很容易判断D1B和CC1是不同平面上的直线，反证法常用于证明。回答：(1)这不是一条离面线。原因：连接MN、A1C1和AC。m和n是A1B1和B1C1的中点，MN/A1C1，A1A CC1和A1ACC1是平行四边形。A1C1/AC，MN/AC得到，A，m，n和c在同一个平面上，所以am和CN在不同的平面上不是直线。(2)它是一条具有不同平面的直线。证明如下：ABCD-a1b1c1 D1是一个立方体，1、平面基本性质的应用(1)公理1:它可以用来证明一个点在一个平面上或者一条直线在一个平面上；(2)公理2:它可

10、以用来确定一个平面，准备展平或证明点和线是共面的；(3)公理3:它可以用来确定两个平面的交点，或者证明三个点共线，三条线共线。2.平行公理主要用来证明空间中的直线是平行的。3.公理2的推论：(1)只有一个平面穿过一条直线和该直线外的一个点；(2)只有一个平面穿过两条相交的线；(3)通过两条平行线，只有一个平面。4.点共线，线共线，点和线共面(1)点共线性问题证明空间点的共线性的问题通常转化为证明这些点是两个平面的公共点，然后根据公理3证明这些点在这两个平面的交点上。(2)线的公共点问题要证明空间中三条线共享点的问题，首先证明两条线在一点相交，然后证明第三条线穿过该点，然后将问题转化为证明该点在

11、一条直线上。(3)证明点和线共面的常用方法结合平面法：先确定一个平面，然后证明相关的点和线在这个平面上；辅助平面法：首先证明相关点和线决定平面，然后其他元素决定平面，最后证明平面和重合。实例分析示例如图所示，四边形ABEF和ABCD是直角梯形，BAD=FAB=900，BCAD、BEFA、g和h分别是FA和FD的中点。(1)证明了四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F和E共面吗？为什么？思维分析：(1)G和H是中点GHAD和BCADGHBC；(2)方法1:证明点D在由EF和GJ确定的平面内。方法二：延长有限元和DC与AB在M处的交点，证明M与AB重合，从而有限元与DC相交。回答：(1)(2

12、)方法1:方法2:如图所示，扩展的FE、DC和AB在点m相交，点m,beam、B是MA的中点。bcad，B是中点，M不谋而合，即FE和DC在点m()相遇，而C、d、f和e共面。(3)直线在不同平面上形成的角度示例在空间四边形ABCD中，AB=CD，AB与CD形成的角度为300，e和f分别是BC和ad的中点。找出英制和英制形成的角度。思维分析：要求EF和AB形成的角度能够通过某一点平行于两条直线。考虑到E和F是中点，它们可以通过E或F平行于AB.取交流的中点，平移AB和CD，这样已知的角度和得到的角度可以在三角形中求解。答：取交流的中点G，连接EG和FG，然后是EG/AB，GF/CD。从AB=C

13、D，我们知道EG=FG，GEF角(或它的互补角)是EF和AB形成的角，而 EGF(或它的互补角)是AB和CD形成的角。ab和CD之间的夹角为300 ,EGF=300或1500。从EG=FG，EFG是一个等腰三角形。当环境融资=300时，环境融资=750；当环境融资=1500时，环境融资=150。因此，ef和AB形成的角度是150或750。注：(1)要找出不同曲面上直线形成的角度，关键是将一条直线平移到某个位置，使其与另一条直线相交，或者将两条直线同时平移到某个位置，使其相交。直线的翻译方法有：直接翻译中线翻译互补翻译；(2)找出直线在不同表面上形成的角度的步骤：(1)制作：通过制作平行线得到相

14、交的直线；2证明：证明交线形成的角度是非平面线形成的角度；寻找：通过解三角形，找到角度。二、直线与平面平行的判断及其性质(一)直线与平面平行的判断相关链接判断直线与平面平行有三种主要方法：(1)定义的使用(常用反证)；(2)运用判断定理：关键是在平面上找到一条与已知直线平行的直线。首先，我们可以通过视觉判断它是否存在于飞机中。如果没有，我们需要走直线。我们经常考虑三角形的中线，平行四边形的对边示例如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC具有公共边BC，BE/CF，BCF=900。验证：AE/平面DCF思维分析：EGCF在gadega/dgae/plane DCF回答：如果你穿过点e作为EGCF，穿

15、过CF到g，连接DG，你可以得到四边形BCGE是一个矩形。ABCD是矩形，所以ADEG，所以四边形ADGF是平行四边形，所以AE/DG。因为声发射平面离散余弦函数和微分平面离散余弦函数(二)平面与平面平行的判断相关链接确定平面与平面平行度的常用方法如下：(1)定义的使用(常用反证)；(2)利用判断定理：将其转化为判断一个平面上的两条相交线平行于另一个平面。在客观问题中，也可以通过直接利用一个平面上的两条交线平行于另一个平面上的两条交线来证明两个平面是平行的。(3)利用平行曲面的传递性：(4)利用垂直线和平面的性质。实例分析示例如图所示，棱镜ABC-A1B1C1的长度为4，e、f、g和h分别是A

16、B、AC、A1C1和A1B1的中点。核实：飞机A1EF/飞机BCGH思维分析：这个问题证明了平面是平行的，这可以证明平面A1EF中的两条交线分别平行于平面BCGH，然后可以根据平面平行性的判断定理来证明。答：在ABC中，e和f是AB和AC的中点，EF/BC.和： EF平面BCGH、BC平面BCGH、EF/平面BCGH。g和f分别是A1C1，AC的中点，A1GFC.四边形A1FCG是一个平行四边形。A1F/GC。A1F平面BCGH、CG平面BCGH、A1F/平面BCGH。且a1fef=f，平面A1EF/平面BCGH(3)直线与平面平行的性质及应用示例如图所示，在四面体ABCD中，横截面EFGH平

17、行于相对的边AB和CD，当横截面位于时，横截面面积最大。思维分析：首先利用平行线和平面的性质确定截面形状，然后建立面积函数，寻找最大值。答：AB/平面EFGH、平面EFGH、平面ABC和平面ABD分别与FG、EH、AB/FG、AB/EH、FG/EH相交。可以用同样的方法证明EF/GH是平行四边形。设AB=a，CD=b，FGH=(是AB和CD形成的角或它的互补角)。设FG=x，GH=y，则可以从平面几何知识中得到这两个公式加在一起:如果且仅在那时，取最大值。此时，当横截面EFGH的顶点e、f、g和h是边AD、AC、BC和BD的中点时，横截面积最大。注：利用线平面平行性，可以实现线平面平行到线平面平行的转换。在解决问题的通常过程中，如果直线和平面是平行的，就有必要在